Stała Legendre'a - Legendre's constant

Pierwsze 100 000 elementów sekwencji a _n = ln( n ) −  n / π ( n ) (linia czerwona) wydaje się zbiegać do wartości około 1,08366 (linia niebieska).

Późniejsze elementy do 10 000 000 tej samej sekwencji a _n = ln( n ) -  n / π ( n ) (linia czerwona) wydają się być konsekwentnie mniejsze niż 1,08366 (linia niebieska).

Stała legendre'a jest stałą matematyczną występujących w formule conjectured przez Adrien-Marie Legendre uchwycić asymptotyczne zachowanie z funkcji prime-liczenia . Obecnie wiadomo, że jego wartość wynosi  1 . ${\displaystyle \pi (x)}$

Badanie dostępnych dowodów liczbowych dla znanych liczb pierwszych doprowadziło Legendre'a do podejrzeń, że spełnia on przybliżony wzór. ${\displaystyle \pi (x)}$

Legendre przypuszczał w 1808 roku, że

${\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)}}}$

gdzie .... OEIS :  A228211${\displaystyle \lim _{x\to \infty }B(x)=1.08366}$

Lub podobnie

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-{n \over \pi (n)}\right)=B}$

gdzie B jest stałą Legendre'a. Domyślił się, że B wynosi około 1,08366, ale niezależnie od jego dokładnej wartości, istnienie B implikuje twierdzenie o liczbach pierwszych .

Pafnuty Chebyshev udowodnił w 1849 roku, że jeśli granica B istnieje, musi być równa 1. Łatwiejszy dowód podał Pintz w 1980 roku.

Jest to bezpośrednia konsekwencja twierdzenia o liczbach pierwszych , pod dokładną postacią z wyraźnym oszacowaniem członu błędu

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

(dla pewnej dodatniej stałej a , gdzie O (…) jest dużym oznaczeniem O ), jak udowodnił w 1899 Charles de La Vallée Poussin , że B rzeczywiście jest równe 1. (Twierdzenie o liczbach pierwszych zostało udowodnione w 1896, niezależnie przez Jacquesa Hadamarda i La Vallée Poussin, ale bez żadnego oszacowania związanego z tym terminu błędu).

Ocena do tak prostej liczby sprawiła, że ​​termin stała Legendre ma głównie wartość historyczną, przy czym często (technicznie niepoprawnie) jest używany w odniesieniu do pierwszego przypuszczenia Legendre'a 1.08366 ... zamiast tego.

Pierre Dusart udowodniony w 2010 roku

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x-1}}\leq \pi (x)}$dla , i${\displaystyle x\geq 5393}$

${\displaystyle \pi (x)\leq {\frac {x}{\ln x-1.1}}}$dla .${\displaystyle x\geq 60184}$

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Stała legendy” . MatematykaŚwiat .