Istnienie i gładkość Naviera-Stokesa - Navier–Stokes existence and smoothness

Wizualizacja przepływu strumienia turbulentnego, wykonana za pomocą fluorescencji indukowanej laserem . Strumień wykazuje szeroki zakres skal długości, co jest ważną cechą przepływów turbulentnych.

Problem istnienia i gładkości Naviera-Stokesa dotyczy matematycznych właściwości rozwiązań równań Naviera-Stokesa , układu równań różniczkowych cząstkowych opisujących ruch płynu w przestrzeni. Rozwiązania równań Naviera-Stokesa są wykorzystywane w wielu praktycznych zastosowaniach. Jednak teoretyczne zrozumienie rozwiązań tych równań jest niepełne. W szczególności rozwiązania równań Naviera-Stokesa często uwzględniają turbulencję , która pozostaje jednym z największych nierozwiązanych problemów w fizyce , pomimo jej ogromnego znaczenia w nauce i inżynierii.

Jeszcze bardziej podstawowe właściwości roztworów firmy Navier-Stokes nigdy nie zostały udowodnione. W przypadku trójwymiarowego układu równań i przy pewnych warunkach początkowych matematycy nie udowodnili jeszcze, że rozwiązania gładkie zawsze istnieją. Nazywa się to problemem istnienia i gładkości Naviera-Stokesa .

Ponieważ zrozumienie równań Naviera-Stokesa jest uważane za pierwszy krok do zrozumienia nieuchwytnego zjawiska turbulencji , Clay Mathematics Institute w maju 2000 r. uczynił ten problem jednym z siedmiu problemów związanych z Nagrodą Milenijną w matematyce. Zaoferował nagrodę w wysokości 1 000 000 USD pierwszej osobie, która zapewni rozwiązanie konkretnego problemu:

Udowodnij lub podaj kontrprzykład następującego stwierdzenia:

W trzech wymiarach przestrzennych i czasie, przy początkowym polu prędkości, istnieje prędkość wektorowa i pole ciśnienia skalarnego, które są zarówno gładkie, jak i globalnie zdefiniowane, które rozwiązują równania Naviera-Stokesa.

Równania Naviera-Stokesa

W matematyce równania Naviera-Stokesa są układem nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych dla abstrakcyjnych pól wektorowych o dowolnej wielkości. W fizyce i inżynierii są układem równań, które modelują ruch cieczy lub nierozrzedzonych gazów (w których średnia droga swobodna jest na tyle krótka, że ​​można ją traktować jako średnią kontinuum zamiast zbioru cząstek) za pomocą mechaniki kontinuum . Równania są stwierdzeniem drugiego prawa Newtona , z siłami modelowanymi zgodnie z siłami w lepkim płynie newtonowskim — jako suma udziałów ciśnienia, naprężenia lepkiego i siły zewnętrznej ciała. Ponieważ ustawienie problemu zaproponowanego przez Clay Mathematics Institute jest trójwymiarowe, dla nieściśliwego i jednorodnego płynu, tylko ten przypadek jest rozważany poniżej.

Niech będzie trójwymiarowym polem wektorowym, prędkością płynu i niech będzie ciśnieniem płynu. Równania Naviera-Stokesa to: ${\ Displaystyle \ mathbf {v} ({\ pogrubiony symbol {x}} t)}$${\ Displaystyle p ({\ pogrubienie {x}}, t)}$

${\displaystyle {\frac {\częściowy \mathbf {v}}{\częściowy t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla)\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho} }\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$

gdzie jest lepkością kinematyczną , zewnętrzną siłą objętościową, jest operatorem gradientu i jest operatorem Laplace'a , który jest również oznaczony przez lub . Zauważ, że jest to równanie wektorowe, tzn. ma trzy równania skalarne. Zapisywanie współrzędnych prędkości i siły zewnętrznej ${\ Displaystyle \ nu > 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {f} ({\ pogrubiony symbol {x}} t)}$${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle \displaystyle \delta}$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ nabla}$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} ({\ pogrubienie {x}}, t) = {\ duży (} \, v_ {1} ({\ pogrubiony symbol {x}}, t), \, v_ {2} ( {\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol { x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\, f_{3}({\symbol pogrubienia {x}},t)\,{\duży )}}$

wtedy dla każdego istnieje odpowiednie skalarne równanie Naviera-Stokesa: ${\displaystyle i=1,2,3}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy V_ {i}}{\ częściowy t}} + \ suma _ {j = 1} ^ {3} {\ Frac {\ częściowy V_ {i}}{\ częściowy X_ {j }}}v_{j}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{ 3}{\frac {\częściowy ^{2}v_{i}}{\częściowy x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t).}$

Niewiadome to prędkość i ciśnienie . Ponieważ w trzech wymiarach istnieją trzy równania i cztery niewiadome (trzy prędkości skalarne i ciśnienie), potrzebne jest równanie uzupełniające. To dodatkowe równanie jest równaniem ciągłości dla płynów nieściśliwych, które opisuje zachowanie masy płynu: ${\ Displaystyle \ mathbf {v} ({\ pogrubiony symbol {x}} t)}$${\ Displaystyle p ({\ pogrubienie {x}}, t)}$

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = 0.}$

Ze względu na tę ostatnią właściwość, rozwiązania równań Naviera-Stokesa są poszukiwane w zbiorze funkcji solenoidu („bez rozbieżności ”). Dla tego przepływu jednorodnego ośrodka gęstość i lepkość są stałe.

Ponieważ pojawia się tylko jego gradient, ciśnienie p można wyeliminować, biorąc krzywiznę obu stron równań Naviera-Stokesa. W tym przypadku równania Naviera-Stokesa sprowadzają się do równań wirowo-transportowych .

Dwa ustawienia: przestrzeń nieograniczona i okresowa

Istnieją dwa różne ustawienia problemu egzystencji i gładkości nagrody Naviera-Stokesa o wartości miliona dolarów. Pierwotny problem tkwi w całej przestrzeni , która wymaga dodatkowych warunków na zachowanie wzrostu w stanie początkowym i rozwiązaniach. Aby wykluczyć problemy w nieskończoności, równania Naviera-Stokesa można ustawić w układzie okresowym, co oznacza, że ​​nie działają już na całej przestrzeni, ale na trójwymiarowym torusie . Każda sprawa będzie traktowana osobno. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {3} = \ mathbb {R} ^ {3}/\ mathbb {Z} ^ {3}}$

Stwierdzenie problemu w całej przestrzeni

Hipotezy i warunki wzrostu

Zakłada się, że warunek początkowy jest gładką i wolną od dywergencji funkcją (patrz funkcja gładka ) tak, że dla każdego indeksu wieloindeksowego (patrz notacja wieloindeksowa ) i any , istnieje stała taka, że ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _{0} (x)}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle K> 0}$${\displaystyle C=C(\alfa,K)>0}$

${\ Displaystyle \ vert \ częściowy ^ {\ alfa} \ mathbf {v_ {0}} (x) \ vert \ leq {\ Frac {C} {(1 + \ vert x \ vert) ^ {K}}} \ qquad }$ dla wszystkich ${\ Displaystyle \ qquad x \ w \ mathbb {R} ^ {3}.}$

Zakłada się, że siła zewnętrzna jest również funkcją gładką i spełnia bardzo analogiczną nierówność (obecnie multiwskaźnik obejmuje również pochodne czasowe): ${\ Displaystyle \ mathbf {f} (x, t)}$

${\ Displaystyle \ vert \ częściowy ^ {\ alfa} \ mathbf {f} (x, t) \ vert \ leq {\ Frac {C} {(1 + \ vert x \ vert + t) ^ {K}}} \qquad }$ dla wszystkich ${\ Displaystyle \ qquad (x, t) \ w \ mathbb {R} ^ {3} \ razy [0, \ infty}.}$

Dla warunków rozsądnych fizycznie, spodziewanym typem rozwiązań są funkcje gładkie, które nie rozrastają się tak jak . Dokładniej, przyjmuje się następujące założenia: ${\ Displaystyle \ vert x \ vert \ do \ infty}$

1. ${\ Displaystyle \ mathbf {v} (x, t) \ w \ lewo [C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {3} \ razy [0, \ infty}} \ po prawej] ^ {3} \,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}$
2. Istnieje stała taka, że dla wszystkich${\ Displaystyle E \ w (0, \ infty )}$${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ vert \ mathbf {v} (x, t) \ vert ^ {2} \ dx < E}$${\displaystyle t\geq 0\,.}$

Warunek 1 oznacza, że ​​funkcje są gładkie i zdefiniowane globalnie, a warunek 2 oznacza, że energia kinetyczna rozwiązania jest globalnie ograniczona.

Przypuszczenia o Nagrodzie Milenijnej w całej przestrzeni

(A) Istnienie i płynność rozwiązań Naviera-Stokesa w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Niech . Dla dowolnego warunku początkowego spełniającego powyższe hipotezy istnieją gładkie i globalnie zdefiniowane rozwiązania równań Naviera-Stokesa, tj. istnieje wektor prędkości i ciśnienie spełniające warunki 1 i 2 powyżej. ${\ Displaystyle \ mathbf {f} (x, t) \ równoważnik 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _{0} (x)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} (x, t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

(B) Podział rozwiązań Naviera-Stokesa w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Istnieje warunek początkowy i siła zewnętrzna takie, że nie ma rozwiązań i spełniających warunki 1 i 2 powyżej. ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _{0} (x)}$${\ Displaystyle \ mathbf {f} (x, t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} (x, t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

Stwierdzenie problemu okresowego

Hipotezy

Poszukiwane teraz funkcje są okresowe w zmiennych przestrzennych okresu 1. Dokładniej niech będzie wektorem unitarnym w kierunku i -: ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1)}$

Wtedy jest okresowa w przestrzeni zmienne jeśli for any , to: ${\ Displaystyle \ mathbf {v} (x, t)}$${\displaystyle i=1,2,3}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} (x + e_ {i}, t) = \ mathbf {v} (x, t) {\ tekst {dla wszystkich}} (x, t) \ w \ mathbb {R} ^ {3}\razy [0,\infty ).}$

Zauważ, że uwzględnia to współrzędne mod 1 . Pozwala to na pracę nie na całej przestrzeni, ale na przestrzeni ilorazowej , która okazuje się być trójwymiarowym torusem: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}/\ mathbb {Z} ^ {3}}$

${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\{(\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3}):0\leq \theta_{i}<2\ pi \,,\quad i=1,2,3\}.}$

Teraz można poprawnie postawić hipotezy. Zakłada się, że warunek początkowy jest funkcją gładką i pozbawioną dywergencji, a siła zewnętrzna również jest funkcją gładką. Rodzaje rozwiązań, które są fizycznie istotne, to te, które spełniają te warunki:${\ Displaystyle \ mathbf {v} _{0} (x)}$${\ Displaystyle \ mathbf {f} (x, t)}$

Podobnie jak w poprzednim przypadku, warunek 3 oznacza, że ​​funkcje są gładkie i zdefiniowane globalnie, a warunek 4 oznacza, że energia kinetyczna rozwiązania jest globalnie ograniczona.

Okresowe twierdzenia o Nagrodzie Milenijnej

(C) Istnienie i płynność rozwiązań Naviera-Stokesa w ${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {3}}$

Niech . Dla dowolnego warunku początkowego spełniającego powyższe hipotezy istnieją gładkie i globalnie zdefiniowane rozwiązania równań Naviera-Stokesa, tj. istnieje wektor prędkości i ciśnienie spełniające warunki 3 i 4 powyżej. ${\ Displaystyle \ mathbf {f} (x, t) \ równoważnik 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _{0} (x)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} (x, t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

(D) Podział rozwiązań Naviera-Stokesa w ${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {3}}$

Istnieje warunek początkowy i siła zewnętrzna takie, że nie ma rozwiązań i spełniających warunki 3 i 4 powyżej. ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _{0} (x)}$${\ Displaystyle \ mathbf {f} (x, t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} (x, t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

Wyniki częściowe

1. Problem Naviera-Stokesa w dwóch wymiarach został rozwiązany do lat sześćdziesiątych: istnieją gładkie i globalnie zdefiniowane rozwiązania.
2. Jeśli prędkość początkowa jest wystarczająco mała, wtedy prawdziwe jest stwierdzenie: istnieją gładkie i globalnie zdefiniowane rozwiązania równań Naviera-Stokesa.${\ Displaystyle \ mathbf {v} _{0} (x)}$
3. Przy danej prędkości początkowej istnieje skończony czas T , zależny od takiego, że równania Naviera-Stokesa na mają gładkie rozwiązania i . Nie wiadomo, czy rozwiązania istnieją poza tym „czasem narastania” T .${\ Displaystyle \ mathbf {v} _{0} (x)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _{0} (x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ razy (0, T)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} (x, t)}$${\displaystyle p(x,t)}$
4. Jean Leray w 1934 udowodnił istnienie tzw. słabych rozwiązań równań Naviera-Stokesa, spełniających równania w wartości średniej, a nie punktowo.
5. Jr John Forbes Nash . w 1962 udowodnił istnienie unikalnych regularnych rozwiązań równania Naviera-Stokesa w czasie lokalnym.
6. Terence Tao w 2016 roku opublikował skończony wynik powiększania w czasie dla uśrednionej wersji trójwymiarowego równania Naviera-Stokesa. Pisze, że wynik formalizuje „barierę nadkrytyczną” dla globalnego problemu regularności dla prawdziwych równań Naviera-Stokesa i twierdzi, że metoda dowodu wskazuje na możliwą drogę do ustalenia powiększenia prawdziwych równań.

W kulturze popularnej

Nierozwiązane problemy zostały wykorzystane do wskazania rzadkiego talentu matematycznego w fikcji. Problem Naviera-Stokesa pojawia się w The Mathematician's Shiva (2014), książce o prestiżowej, zmarłej fikcyjnej matematyk Racheli Karnokovitch, która w proteście przed środowiskiem akademickim zabiera dowód do grobu. Film Gifted (2017) odnosił się do problemów związanych z Nagrodą Milenijną i dotyczył możliwości rozwiązania problemu Naviera-Stokesa przez 7-letnią dziewczynkę i jej zmarłą matkę-matematyczkę.

Zobacz też

• Lista nierozwiązanych problemów matematycznych
• Lista nierozwiązanych problemów z fizyki

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

• Konstantyn, Piotr (2001). „Niektóre otwarte problemy i kierunki badawcze w matematycznym studium dynamiki płynów”. Matematyka bez ograniczeń — 2001 i dalej . Berlin: Springer. s. 353–360. doi : 10.1007/978-3-642-56478-9_15 . Numer ISBN 3-642-63114-2.

Zewnętrzne linki

• Aizenman, Michael . „Navier Stokes wyrównuje globalną egzystencję i niepowtarzalność” .Dodany przez: Jakow Sinai
• Nagroda za równanie Naviera-Stokesa przyznawana przez Clay Mathematics Institute
• Dlaczego globalna prawidłowość dla Naviera-Stokesa jest trudna — Możliwe drogi rozwiązania są analizowane przez Terence Tao .
• Navier-Stokes istnienie i gładkość (Problem Nagrody Tysiąclecia) Wykład Luisa Caffarelliego na temat problemu .
• „Równanie Naviera Stokesa – pytanie za milion dolarów w mechanice płynów” . Alef Zero . 3 czerwca 2020 r. – przez YouTube .