Przypuszczenie Hodge'a - Hodge conjecture

Problemy z Nagrodą Milenijną
Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera Przypuszczenie Hodge'a Istnienie i gładkość Naviera-Stokesa Problem P kontra NP Przypuszczenie Poincarégo (rozwiązane) Hipoteza Riemanna Istnienie Yang–Mills i masowa luka
v T mi

W matematyce The przypuszczenie Hodge jest głównym problemem nierozwiązanym algebraicznej geometrii i złożonych geometrii , która odnosi się do topologii algebraicznej o nieosobliwej złożonej algebraicznej różnych do jego subvarieties.

W prostych słowach, hipoteza Hodge twierdzi, że podstawowe informacje topologiczne jak liczby otworów w niektórych miejscach geometrycznych , złożone odmiany algebraiczne , można zrozumieć, badając możliwe kształty ładne siedzących wewnątrz tych przestrzeni, które wyglądają jak zerowych zbiorów z równań wielomianowych . Te ostatnie obiekty mogą być badane przy użyciu algebraiczne i rachunek w funkcji analitycznych , a to pozwala na pośrednio zrozumieć szeroki kształt i konstrukcję pomieszczeń, a często wyższe przestrzennych, które nie mogą być w inny sposób łatwo widoczny.

Dokładniej, przypuszczenie mówi, że niektóre klasy kohomologii de Rhama są algebraiczne; czyli są one sumy Poincaré felg bliźniaczych tych klasach homologii z subvarieties. Została ona sformułowana przez szkockiego matematyka Williama Vallance Douglasa Hodge'a w wyniku pracy w latach 1930-1940 w celu wzbogacenia opisu kohomologii de Rhama o dodatkową strukturę, która występuje w przypadku złożonych rozmaitości algebraicznych. Nie poświęcono jej zbyt wiele uwagi, zanim Hodge przedstawił ją w przemówieniu podczas Międzynarodowego Kongresu Matematyków w 1950 roku , który odbył się w Cambridge w stanie Massachusetts . Hodge przypuszczenie jest jednym z Clay Mathematics Institute „s problemy milenijne , z nagrodą 1.000.000 $ za każdy, kto może udowodnić lub obalić hipotezę Hodge.

Motywacja

Niech X będzie zwartą rozmaitością zespoloną o wymiarze zespolonym n . Wtedy X jest orientowalną, gładką rozmaitością rzeczywistego wymiaru , więc jej grupy kohomologiczne leżą w stopniach od zera do . Załóżmy, że X jest rozmaitością Kählera , tak że istnieje rozkład na jej kohomologii ze złożonymi współczynnikami${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n}$

${\ Displaystyle H ^ {k} (X \ mathbb {C} ) = \ bigoplus _ {p + q = k} H ^ {p, q} (X)}$

gdzie jest podgrupą klas kohomologii reprezentowanych przez formy harmoniczne typu . Oznacza to, że są to klasy kohomologii reprezentowane przez formy różniczkowe, które przy pewnym wyborze lokalnych współrzędnych można zapisać jako funkcję harmoniczną razy ${\ Displaystyle H ^ {p, q} (X)}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle z_{1},\ldots,z_{n}}$

${\ Displaystyle dz_ {i_ {1}} \ klin \ cdots \ klin dz_ {i_ {p}} \ klin d {\ bar {z}} _ {j_ {1}} \ klin \ cdots \ klin d {\ bar {z}}_{j_{q}}.}$

(Zobacz teorię Hodge'a, aby uzyskać więcej szczegółów.) Wzięcie produktów klinowych tych przedstawicieli harmonicznych odpowiada iloczynowi kielichowemu w kohomologii, więc iloczyn kielichowy jest zgodny z rozkładem Hodge'a:

${\ Displaystyle \ filiżanka \ dwukropek H ^ {p, q} (X) \ razy H ^ {p 'q'} (X) \ rightarrow H ^ {p + p ', q + q'} (X). }$

Ponieważ X jest rozmaitością zorientowaną kompaktowo, X ma podstawową klasę .

Niech Z będzie podrozmaitością zespoloną X wymiaru k i niech będzie mapą inkluzji. Wybierz formę różnicową typu . Możemy zintegrować przez Z : ${\ Displaystyle i \ dwukropek Z \ do X}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\displaystyle (p,q)}$${\ Displaystyle \ alfa}$

${\ Displaystyle \ int _ {Z} i ^ {*} \ alfa.}$

Aby obliczyć tę całkę, wybierz punkt na Z i nazwij go 0. W okolicy 0 możemy wybrać lokalne współrzędne na X tak, że Z jest po prostu . Jeśli , to musi zawierać coś gdzie cofa się do zera na Z . To samo dotyczy, jeśli . W konsekwencji ta całka wynosi zero, jeśli . ${\displaystyle z_{1},\ldots,z_{k}}$${\ Displaystyle z_ {k + 1} = \ cdots = z_ {n} = 0}$${\displaystyle p>k}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\displaystyle dz_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle q>k}$${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$

Mówiąc bardziej abstrakcyjnie, całka może być zapisana jako iloczyn czapki klasy homologii Z i klasy kohomologii reprezentowanej przez . Dzięki dualizmowi Poincarégo, klasa homologii Z jest podwójna do klasy kohomologii, którą nazwiemy [ Z ], a iloczyn czapki może być obliczony przez wzięcie iloczynu kubka [ Z ] i α i zamknięcie z podstawową klasą X . Ponieważ [ Z ] jest klasą kohomologii, ma rozkład Hodge'a. Z obliczeń, które wykonaliśmy powyżej, jeśli porównamy tę klasę z jakąkolwiek klasą typu , otrzymamy zero. Ponieważ wnioskujemy, że [ Z ] musi leżeć w . Mówiąc luźno, hipoteza Hodge'a brzmi: ${\ Displaystyle \ alfa}$${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$${\ Displaystyle H ^ {2n} (X \ mathbb {C}) = H ^ {n, n} (X)}$${\ Displaystyle H ^ {nk, nk} (X)}$

Które klasy kohomologii pochodzą ze złożonych pododmian Z ?${\ Displaystyle H ^ {k, k} (X)}$

Stwierdzenie hipotezy Hodge'a

Pozwolić:

${\ Displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {k} (X) = H ^ {2 k} (X \ mathbb {Q}) \ czapka H ^ {k, k} (X).}$

Nazywamy to grupą klas Hodge'a stopnia 2 k na X .

Współczesne stwierdzenie hipotezy Hodge'a brzmi:

Przypuszczenie Hodge'a. Niech X będzie nieosobliwą złożoną rozmaitością rzutową. Wtedy każda klasa Hodge'a na X jest kombinacją liniową z wymiernymi współczynnikami klas kohomologii złożonych podrozmaitości X .

Złożona rozmaitość rzutowa to złożona rozmaitość, która może być osadzona w złożonej przestrzeni rzutowej . Ponieważ przestrzeń rzutowa niesie metrykę Kählera, metrykę Fubini-Study , taka rozmaitość jest zawsze rozmaitością Kählera. Według twierdzenia Chowa , zespolona rozmaitość rzutowa jest również gładką rozmaitością rzutową algebraiczną, to znaczy jest zbiorem zerowym zbioru jednorodnych wielomianów.

Przeformułowanie w terminach cykli algebraicznych

Inny sposób sformułowania hipotezy Hodge'a obejmuje ideę cyklu algebraicznego. Algebraiczne cykl na X jest formalnym połączeniem subvarieties z X ; to znaczy, jest czymś w rodzaju:

${\ Displaystyle \ suma _ {i} c_ {i} Z_ {i}.}$

Współczynniki są zwykle przyjmowane jako integralne lub racjonalne. Definiujemy klasę kohomologii cyklu algebraicznego jako sumę klas kohomologii jego składowych. Jest to przykład mapy klas cyklu kohomologii de Rhama, patrz kohomologia Weila . Na przykład klasa kohomologii powyższego cyklu to:

${\ Displaystyle \ suma _ {i} c_ {i} [Z_ {i}].}$

Taka klasa kohomologii nazywana jest algebraiczną . Z tym zapisem hipoteza Hodge'a staje się:

Niech X będzie zespoloną rozmaitością rzutową. Wtedy każda klasa Hodge'a na X jest algebraiczna.

Założenie w przypuszczeniu Hodge'a, że X jest algebraiczne (rzutowa rozmaitość zespolona) nie może być osłabione. W 1977 roku Steven Zucker wykazał, że możliwe jest skonstruowanie kontrprzykładu dla hipotezy Hodge'a jako złożonych tori z analityczną kohomologią racjonalną typu , która nie jest algebraiczną rzutową. (patrz załącznik B Zucker (1977) ) ${\displaystyle (p,p)}$

Znane przypadki hipotezy Hodge'a

Niski wymiar i korelacja

Pierwszy wynik hipotezy Hodge'a zawdzięczamy Lefschetzowi (1924) . W rzeczywistości wyprzedza to przypuszczenie i stanowi część motywacji Hodge'a.

Twierdzenie ( Twierdzenie Lefschetza o (1,1)-klasach ) Każdy element jest klasą kohomologii dzielnika na . W szczególności hipoteza Hodge'a jest prawdziwa dla ...${\ Displaystyle H ^ {2} (X \ mathbb {Z}) \ czapka H ^ {1,1} (X)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle H ^ {2}}$

Bardzo szybki dowód można uzyskać za pomocą kohomologii snopa i dokładnego ciągu wykładniczego . (Okazuje się, że klasa kohomologii dzielnika jest równa jej pierwszej klasie Cherna .) Pierwotny dowód Lefschetza opierał się na normalnych funkcjach , które zostały wprowadzone przez Henri Poincaré . Jednak twierdzenie Griffithsa o transwersalności pokazuje, że takie podejście nie może udowodnić hipotezy Hodge'a dla wyższych podrozmaitości wielowymiarowych.

Za pomocą twierdzenia Harda Lefschetza można udowodnić:

Twierdzenie. Jeśli hipoteza Hodge'a dotyczy wszystkich stopni Hodge'a, to hipoteza Hodge'a obowiązuje dla stopni Hodge'a .${\displaystyle p}$${\displaystyle p<n}$${\displaystyle 2n-p}$

Z połączenia powyższych dwóch twierdzeń wynika, że ​​hipoteza Hodge'a jest prawdziwa dla klas Hodge'a . To dowodzi przypuszczenia Hodge'a, kiedy ma wymiar najwyżej trzy. ${\displaystyle 2n-2}$${\ Displaystyle X}$

Twierdzenie Lefschetza o klasach (1,1) implikuje również, że jeśli wszystkie klasy Hodge'a są generowane przez klasy dzielników Hodge'a, to hipoteza Hodge'a jest prawdziwa:

Następstwo. Jeśli algebra jest generowana przez , to hipoteza Hodge'a jest słuszna dla .${\ Displaystyle \ operatorname {HDG} ^ {*} (X) = \ bigoplus \ nolimits _ {k} \ operatorname {HDg} ^ {k} (X)}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Hdg} ^ {1} (X)}$${\ Displaystyle X}$

Hiperpowierzchnie

Przez silne i słabe twierdzenia Lefschetz jedynym nietrywialnym część hipotezy Hodge do hiperpowierzchni jest stopień m część (czyli w środku kohomologie) o 2 m -wymiarowego hiperpowierzchni . Jeśli stopień d wynosi 2, tj. X jest kwadryką , hipoteza Hodge'a obowiązuje dla wszystkich m . Dla , tj. poczwórnie , hipoteza Hodge'a znana jest z . ${\ Displaystyle X \ podzbiór \ mathbf {P} ^ {2m + 1}}$${\ Displaystyle m = 2}$${\displaystyle d\leq 5}$

Odmiany abelowe

W przypadku większości odmian abelowych algebra Hdg*( X ) jest generowana w stopniu pierwszym, więc hipoteza Hodge'a jest aktualna. W szczególności hipoteza Hodge'a dotyczy wystarczająco ogólnych odmian abelowych, produktów krzywych eliptycznych i prostych odmian abelowych o wymiarze pierwszym. Jednak Mumford (1969) skonstruował przykład odmiany abelowej, w której Hdg ² ( X ) nie jest generowane przez iloczyny klas dzielników. Weil (1977) uogólnił ten przykład, pokazując, że ilekroć odmiana ma złożone mnożenie przez wyimaginowane pole kwadratowe , to Hdg ² ( X ) nie jest generowane przez iloczyny klas dzielników. Moonen i Zarhin (1999) wykazali, że w wymiarze mniejszym niż 5 albo Hdg*( X ) jest generowane w stopniu pierwszym, albo odmiana ma złożone mnożenie przez wyimaginowane pole kwadratowe. W tym drugim przypadku przypuszczenie Hodge'a znane jest tylko w szczególnych przypadkach.

Uogólnienia

Integralna hipoteza Hodge'a

Pierwotna hipoteza Hodge'a brzmiała:

Integralna hipoteza Hodge'a. Niech X będzie zespoloną rozmaitością rzutową. Wtedy każda klasa kohomologii w jest klasą kohomologii cyklu algebraicznego ze współczynnikami całkowitymi na X .${\ Displaystyle H ^ {2 k} (X \ mathbb {Z}) \ czapka H ^ {k, k} (X)}$

Obecnie wiadomo, że jest to fałszywe. Pierwszy kontrprzykład skonstruowali Atiyah i Hirzebruch (1961) . Korzystając z teorii K , skonstruowali przykład klasy kohomologii torsyjnej — to znaczy klasy kohomologii α takiej, że nα  = 0 dla pewnej dodatniej liczby całkowitej n — która nie jest klasą cyklu algebraicznego. Taka klasa to koniecznie klasa Hodge'a. Totaro (1997) dokonał reinterpretacji ich wyników w ramach kobordyzmu i znalazł wiele przykładów takich klas.

Najprostsze dostosowanie integralnej hipotezy Hodge'a to:

Integralna hipoteza Hodge'a modulo skręcania. Niech X będzie zespoloną rozmaitością rzutową. Wtedy każda klasa kohomologii w jest sumą klasy skręcania i klasy kohomologii cyklu algebraicznego ze współczynnikami całkowitymi na X .${\ Displaystyle H ^ {2 k} (X \ mathbb {Z}) \ czapka H ^ {k, k} (X)}$

Odpowiednio, po podzieleniu przez klasy skręcania, każda klasa jest obrazem klasy kohomologii integralnego cyklu algebraicznego. To również jest fałszywe. Kollár (1992) znalazł przykład klasy Hodge'a α, która nie jest algebraiczna, ale ma całkowitą wielokrotność, która jest algebraiczna. ${\ Displaystyle H ^ {2 k} (X \ mathbb {Z}) \ czapka H ^ {k, k} (X)}$

Rosenschon i Srinivas (2016) wykazali, że aby uzyskać poprawną hipotezę integralną Hodge'a, należy zastąpić grupy Chowa, które można również wyrazić jako grupy kohomologii motywicznej , wariantem znanym jako kohomologia motywiczna étale (lub Lichtenbaum ) . Pokazują, że racjonalna hipoteza Hodge'a jest równoważna integralnej hipotezie Hodge'a dla tej zmodyfikowanej kohomologii motywicznej.

Hipoteza Hodge'a dla odmian Kähler

Naturalnym uogólnieniem hipotezy Hodge'a byłoby pytanie:

Hipoteza Hodge'a dla odmian Kählera, wersja naiwna. Niech X będzie złożoną rozmaitością Kählera. Wtedy każda klasa Hodge'a na X jest kombinacją liniową z wymiernymi współczynnikami klas kohomologii złożonych podrozmaitości X .

To zbyt optymistyczne, ponieważ nie ma wystarczającej liczby pododmian, aby to zadziałało. Możliwym substytutem jest zadanie zamiast tego jednego z dwóch następujących pytań:

Hipoteza Hodge'a dla odmian Kählera, wersja wiązki wektorowej. Niech X będzie złożoną rozmaitością Kählera. Wtedy każda klasa Hodge'a na X jest kombinacją liniową z wymiernymi współczynnikami klas Cherna wiązek wektorowych na X .

Hipoteza Hodge'a dla odmian Kähler, spójna wersja snopów. Niech X będzie złożoną rozmaitością Kählera. Wtedy każda klasa Hodge'a na X jest kombinacją liniową z wymiernymi współczynnikami klas Cherna spójnych snopów na X .

Voisin (2002) udowodnił, że klasy koherentnych snopów Cherna dają ściśle więcej klas Hodge'a niż klasy Chern'a wiązek wektorowych i że klasy koherentnych snopów Cherna są niewystarczające do wygenerowania wszystkich klas Hodge'a. W konsekwencji jedyne znane sformułowania hipotezy Hodge'a dla odmian Kählera są fałszywe.

Uogólniona hipoteza Hodge'a

Hodge sformułował dodatkowe, silniejsze przypuszczenie niż integralna hipoteza Hodge'a. Powiedzmy, że klasa kohomologii na X jest z ko-poziomu c (coniveau c), jeśli jest postępem klasy kohomologii na c- współwymiarowej podrozmaitości X . Klasy kohomologii o ko-poziomie co najmniej c filtrują kohomologię X , i łatwo zauważyć, że c- ty etap filtracji N ^c H ^k ( X , Z ) spełnia

${\ Displaystyle N ^ {c} H ^ {k} (X \ mathbf {Z}) \ subseteq H ^ {k} (X \ mathbf {Z}) \ czapka (H ^ {kc, c} (X) )\oplus \cdots \oplus H^{c,kc}(X)).}$

Oryginalne oświadczenie Hodge'a brzmiało:

Uogólniona hipoteza Hodge'a, wersja Hodge'a. ${\ Displaystyle N ^ {c} H ^ {k} (X \ mathbf {Z}) = H ^ {k} (X \ mathbf {Z}) \ czapka (H ^ {kc, c} (X) \oplus \cdots \oplus H^{c,kc}(X)).}$

Grothendieck (1969) zauważył, że nie może to być prawdą, nawet przy racjonalnych współczynnikach, ponieważ prawa strona nie zawsze jest strukturą Hodge'a. Jego poprawiona forma hipotezy Hodge'a to:

Uogólnione przypuszczenie Hodge'a. N ^c H ^k ( X , Q ) jest największą strukturą sub-Hodge'a H ^k ( X , Z ) zawartą w${\ Displaystyle H ^ {kc, c} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {c, kc} (X).}$

Ta wersja jest otwarta.

Algebraiczność Hodge loci

Najmocniejszym dowodem przemawiającym za hipotezą Hodge'a jest wynik algebraiczności Cattani, Deligne i Kaplana (1995) . Załóżmy, że zmieniamy złożoną strukturę X na po prostu połączonej bazie. Wtedy topologiczna kohomologia X się nie zmienia, ale rozkład Hodge'a się zmienia. Wiadomo, że jeśli hipoteza Hodge'a jest prawdziwa, to miejsce wszystkich punktów na bazie, w której kohomologia włókna jest klasą Hodge'a, jest w rzeczywistości podzbiorem algebraicznym, to znaczy jest wycinane przez równania wielomianowe. Cattani, Deligne i Kaplan (1995) udowodnili, że jest to zawsze prawdą, bez zakładania hipotezy Hodge'a.

Zobacz też

• Przypuszczenie Tate
• Teoria Hodge'a
• Hodge struktura
• Mapowanie okresu

Bibliografia

• Atiyah, MF ; Hirzebruch, F. (1961), "Cykle analityczne na złożonych rozmaitościach", Topologia , 1 : 25-45, doi : 10.1016/0040-9383 (62) 90094-0Dostępne z kolekcji Hirzebruch (pdf).
• Cattani, Eduardo ; Deligne, Pierre ; Kaplan, Aroldo (1995), "Na miejscu klas Hodge", Journal of the American Mathematical Society , 8 (2): 483-506, arXiv : alg-geom/9402009 , doi : 10.2307/2152824 , JSTOR  2152824 , MR  1273413.
• Grothendieck, A. (1969), „ogólne przypuszczenie Hodge'a jest fałszywe z błahych powodów”, Topologia , 8 (3): 299-303, doi : 10.1016/0040-9383 (69) 90016-0.
• Hodge, WVD (1950), „Topologiczne niezmienniki odmian algebraicznych”, Proceedings of International Congress of Mathematicians , Cambridge, MA, 1 : 181-192.
• Kollár, János (1992), „Przykłady z Trydentu”, w Ballico, E.; Catanese, F.; Ciliberto, C. (red.), Klasyfikacja odmian nieregularnych , Notatki z matematyki, 1515 , Springer, s. 134, numer ISBN 978-3-540-55295-6.
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (w języku francuskim), Paryż: Gauthier-VillarsPrzedruk w Lefschetz, Solomon (1971), Wybrane dokumenty , New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR  0299447.
• Moonen, Ben JJ ; Zarhin, Yuri G. (1999), "Klasy Hodge na abelowych odmian o niskim wymiarze", Mathematische Annalen , 315 (4): 711-733, arXiv : math/9901113 , doi : 10.1007/s002080050333 , MR  1731466.
• Mumford, David (1969), "nuta papier Shimura w "grupach nieciągła i abelian odmian " " , Mathematische Annalen , 181 (4): 345-351, doi : 10.1007 / BF01350672.
• Rosenschona, Andreasa; Srinivas, V. (2016), „Étale motivic cohomology i algebraiczne cykle” (PDF) , Journal of Institute of Mathematics of Jussieu , 15 (3): 511-537, doi : 10.1017/S1474748014000401 , MR  3505657 , Zbl  1346.19004
• Totaro, Burt (1997), "Cykle algebraiczne skręcania i złożony kobordyzm", Journal of the American Mathematical Society , 10 (2): 467-493, arXiv : alg-geom/9609016 , doi : 10.1090/S0894-0347-97- 00232-4 , JSTOR  2152859.
• Voisin, Claire (2002), „Kontrprzykład do hipotezy Hodge'a rozszerzony na odmiany Kählera” , International Mathematics Research Notices , 2002 (20): 1057-1075, doi : 10.1155 / S1073792802111135 , MR  1902630.
• Weil, André (1977), "Odmiany abelowe i pierścień Hodge'a", Zebrane dokumenty , III , s. 421-429
• Zucker, Steven (1977), „Przypuszczenie Hodge'a dla czworokątów sześciennych” , Compositio Mathematica , 34 (2): 199-209, MR  0453741

Zewnętrzne linki

• Deligne, Pierre . "The Hodge Conjecture" (PDF) (oficjalny opis problemu The Clay Math Institute).
• Popularny wykład Dana Freeda na temat Hodge Conjecture (University of Texas) (Real Video) (Slajdy)
• Biswas, Indranil ; Paranjape, Kapil Hari (2002), "Przypuszczenie Hodge'a dla ogólnych odmian Prym", Journal of Algebraic Geometry , 11 (1): 33-39, arXiv : math/0007192 , doi : 10.1090/S1056-3911-01-00303- 4 , MR  1865912
• Burt Totaro , Dlaczego wierzyć w hipotezę Hodge'a?
• Claire Voisin , Hodge loci