Algebra Octonion - Octonion algebra

W matematyce An Algebra oktawy cayleya lub Cayley Algebra na pole F jest algebraiczna struktura , która jest 8 trójwymiarowy kompozycja Algebra przez F . Innymi słowy, jest to jednowymiarowa algebra asocjacyjna A nad F z niezdegenerowaną formą kwadratową N (zwaną formą norm ) taką, że

${\ Displaystyle N (xy) = N (x) N (y)}$

dla wszystkich x i y w A .

Najbardziej znanym przykładem algebry oktonionowej są klasyczne oktoniony , które są algebrą oktonionową nad R , ciałem liczb rzeczywistych . Te dzielone-octonions również tworzą algebraiczne oktawy cayleya nad R . Aż do izomorfizmu R -algebry , są to jedyne algebry oktonionowe nad liczbami rzeczywistymi. Algebra z bioctonions jest Algebra oktawy cayleya na liczbach zespolonych C .

Algebra oktonionowa dla N jest algebrą dzielenia wtedy i tylko wtedy, gdy forma N jest anizotropowa . Podzielonego oktawy cayleya Algebra jest taki, którego forma kwadratowa N jest izotropowy (to znaczy istnieje niezerowy wektor X z N ( x ) = 0). Do F -algebrze izomorfizmu, istnieje unikalna Podział oktawy cayleya algebra na dowolne pole F . Gdy F jest algebraicznie zamknięty lub pole skończony , są to jedyne oktawy cayleya algebry nad F .

Algebry oktonionowe są zawsze niezespolone. Są to jednak algebry alternatywne, a alternatywność jest słabszą formą asocjatywności. Co więcej, tożsamości Moufanga są utrzymywane w każdej algebrze oktonionowej. Wynika z tego, że elementy odwracalne w dowolnej algebrze oktonionowej tworzą pętlę Moufanga , podobnie jak elementy normy jednostkowej.

Konstrukcja ogólnych algebr oktonionowych na dowolnym polu k została opisana przez Leonarda Dicksona w jego książce Algebren und ihre Zahlentheorie (1927) (strona 264) i powtórzona przez Maxa Zorna . Iloczyn zależy od doboru a γ od k . Biorąc pod uwagę q i Q z algebry kwaternionów nad k , oktonion jest zapisywany q + Q e. Inny oktonion można zapisać r + R e. Następnie z * oznaczającym koniugację w algebrze quaternion, ich iloczyn jest

${\ Displaystyle (q + Qe) (r + Re) = (qr + \ gamma R ^ {*} Q) + (Rq + Qr ^ {*}) e.}$

Opis tej konstrukcji Cayley-Dickson w języku niemieckim Zorna przyczynił się do uporczywego używania tego eponimu do opisu konstrukcji algebr kompozycji .

N. Furey zasugerował , że algebry oktonionowe mogą być wykorzystywane do próby uzgodnienia składników modelu standardowego .

Klasyfikacja

Twierdzeniem Adolfa Hurwitza jest, że klasy F- izomorfizmu postaci normalnej są w relacji jeden do jednego z klasami izomorfizmu oktonionowych F -algebr. Ponadto, możliwe formy norma są dokładnie Pfister 3-formy nad F .

Ponieważ każde dwie oktawy cayleya F -algebras stać izomorficzna nad algebraicznych zamknięcia F , można zastosować idee nie- abelowa Galois cohomology . W szczególności, wykorzystując fakt, że grupa automorfizmem z octonions podzielone jest podzielone algebraiczna grupa G ₂ , widać korespondencji klas izomorfizm oktawy cayleya F -algebras z klas Izomorfizm G ₂ - torsors ponad F . Te klasy izomorfizmu tworzą nieabelowy zbiór kohomologii Galois . ${\ Displaystyle H ^ {1} (F, G_ {2})}$

Bibliografia

• Garibaldi, Skip ; Merkurjev, Alexander ; Serre, Jean-Pierre (2003). Niezmienniki kohomologiczne w kohomologii Galois . Seria wykładów uniwersyteckich. 28 . Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN   0-8218-3287-5 . Zbl   1159.12311 .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami . Studia magisterskie z matematyki . 67 . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN   0-8218-1095-2 . MR   2104929 . Zbl   1068.11023 .
• Okubo, Susumu (1995). Wprowadzenie do oktonionu i innych algebr niezespolonych w fizyce . Seria wykładów Montroll Memorial z fizyki matematycznej. 2 . Cambridge: Cambridge University Press . p. 22. ISBN   0-521-47215-6 . Zbl   0841.17001 .
• Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Wprowadzenie do algebr nieasocjacyjnych . Publikacje Dover . ISBN   0-486-68813-5 . Zbl   0145.25601 .
• Zhevlakov, KA; Slinko, AM; Shestakov, IP; Shirshov, AI (1982) [1978]. Pierścienie, które są prawie asocjacyjne . Academic Press . ISBN   0-12-779850-1 . MR   0518614 . Zbl   0487.17001 .
• Serre, JP (2002). Galois Cohomology . Springer Monographs in Mathematics. Z języka francuskiego przełożył Patrick Ion. Berlin: Springer-Verlag . ISBN   3-540-42192-0 . Zbl   1004.12003 .
• Springer, TA ; Veldkamp, ​​FD (2000). Octonions, Jordan Algebras i Exceptional Groups . Springer-Verlag. ISBN   3-540-66337-1 .

Linki zewnętrzne

• „Cayley-Dickson algebra” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]