Na kuli i cylindrze - On the Sphere and Cylinder

Strona z łaciny „On the Sphere and Cylinder”

On the Sphere and Cylinder ( grecki : Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ) to praca, która została opublikowana przez Archimedesa w dwóch tomach ok. 225 pne. To przede wszystkim szczegóły jak znaleźć powierzchnię o kuli i objętości zawartej piłkę i analogicznych wartości dla cylindra , i był pierwszym, aby to zrobić.

Zawartość

Objętość kuli do objętości cylindra wynosi od 2 do 3

Podstawowe wzory wyprowadzone w O kuli i cylindrze to te wymienione powyżej: pole powierzchni kuli, objętość zawartej w niej kulki oraz pole powierzchni i objętość cylindra. Niech będzie promieniem kuli i cylindra oraz będzie wysokością walca, przy założeniu, że cylinder jest walcem prawym - bok jest prostopadły do ​​obu nakrętek. W swojej pracy Archimedes wykazał, że pole powierzchni cylindra jest równe: ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle h}$

${\ Displaystyle A_ {C} = 2 \ pi r ^ {2} + 2 \ pi rh = 2 \ pi r (r + h). \,}$

i że objętość tego samego to:

${\ Displaystyle V_ {C} = \ pi r ^ {2} h. \,}$

Na kuli pokazał, że pole powierzchni jest czterokrotnie większe od jej wielkiego koła . Współcześnie oznacza to, że powierzchnia jest równa:

${\ Displaystyle A_ {S} = 4 \ pi r ^ {2}. \,}$

Wynik dla objętości zawartej kuli wykazał, że stanowi ona dwie trzecie objętości opisanego cylindra , co oznacza, że ​​objętość jest równa

${\ Displaystyle V_ {S} = {\ Frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}$

Kiedy wpisujący cylinder jest ciasny i ma wysokość , tak że kula dotyka cylindra u góry iu dołu, wykazał, że zarówno objętość, jak i powierzchnia kuli stanowiły dwie trzecie cylindra. Oznacza to, że powierzchnia kuli jest równa powierzchni cylindra pomniejszonej o jego czapki. Wynik ten ostatecznie doprowadziłby do cylindrycznej projekcji Lamberta o równych powierzchniach , sposobu mapowania świata, który dokładnie przedstawia obszary. Archimedes był szczególnie dumny z tego ostatniego wyniku, dlatego poprosił o szkic kuli wpisanej w walec, który miał zostać wpisany na jego grobie. Później rzymski filozof Marcus Tullius Cicero odkrył grobowiec porośnięty otaczającą roślinnością. ${\ displaystyle h = 2r}$

Argument, którego użył Archimedes do udowodnienia wzoru na objętość kuli, był raczej związany z jej geometrią, a wiele współczesnych podręczników ma uproszczoną wersję, wykorzystującą koncepcję granicy , która nie istniała w czasach Archimedesa. Archimedes użył wpisanego pół-wielokąta w półkolu, a następnie obrócił oba, tworząc konglomerat ściętych w kuli, której następnie określił objętość.

Wydaje się, że nie jest to oryginalna metoda, którą Archimedes zastosował do uzyskania tego wyniku, ale najlepszy formalny argument dostępny w greckiej tradycji matematycznej. Jego oryginalna metoda prawdopodobnie polegała na sprytnym użyciu dźwigni. Palimpsest skradzione z greckiego Kościoła prawosławnego na początku 20 wieku, który pojawił się ponownie na aukcji w 1998 roku, zawierał wiele Archimedesa działa, w tym metoda mechaniczna twierdzeń , w którym opisano sposób ustalania wielkości co wiąże sald, centra masy i nieskończenie małe plasterki.

Zobacz też

• Własność Archimedesa

Uwagi

Bibliografia

• Dunham, William (1990), Journey Through Genius (1st ed.), John Wiley and Sons, ISBN   0-471-50030-5
• Dunham, William (1994), The Mathematical Universe (1st ed.), John Wiley and Sons, ISBN   0-471-53656-3
• SH Gould, Metoda Archimedesa, The American Mathematical Monthly. Vol. 62, nr 7 (sierpień - wrzesień 1955), str. 473–476

• Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton , Roma, Editori Riuniti , 1971.
• Attilio Frajese, Opere di Archimede , Torino, UTET, 1974.