Fizyka cząstek elementarnych i teoria reprezentacji - Particle physics and representation theory

Grupy kłamstw
Grupy klasyczne
Proste grupy kłamstw Lista prostych grup Lie Klasyczny A n B n C n D n Wyjątkowy G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Inne grupy Lie okrąg Lorentz Poincaré Grupa konformalna Dyfeomorfizm Pętla Euklidesa
Lie algebry
Półprosta algebra Lie
Teoria reprezentacji
Grupy kłamstw w fizyce
Naukowcy Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Słownik Tabela grup Lie
v t mi

Istnieje naturalny związek między fizyką cząstek elementarnych a teorią reprezentacji , co po raz pierwszy zauważył w latach trzydziestych XX wieku Eugene Wigner . Łączy właściwości cząstek elementarnych ze strukturą grup Liego i algebr Liego . Według tego związku, różnego kwantową elementarnej wywołują cząstek An nieredukowalnego reprezentacji z grupy Poincaré . Co więcej, właściwości różnych cząstek, w tym ich widma , można powiązać z reprezentacjami algebr Liego, odpowiadającymi „przybliżonym symetriom” wszechświata.

Ogólny obraz

Symetrie układu kwantowego

W mechanice kwantowej każdy stan jednej cząstki jest reprezentowany jako wektor w przestrzeni Hilberta . Aby pomóc zrozumieć, jakie typy cząstek mogą istnieć, ważne jest, aby sklasyfikować możliwości, na które pozwalają symetrie , oraz ich właściwości. Niech będzie przestrzenią Hilberta opisującą konkretny układ kwantowy i niech będzie grupą symetrii układu kwantowego. Na przykład w relatywistycznym układzie kwantowym może to być grupa Poincarégo , podczas gdy atom wodoru może być grupą rotacyjną SO (3) . Stan cząstki jest dokładniej scharakteryzowany przez skojarzoną rzutową przestrzeń Hilberta , zwaną również przestrzenią promieni , ponieważ dwa wektory, które różnią się niezerowym współczynnikiem skalarnym, odpowiadają temu samemu fizycznemu stanowi kwantowemu reprezentowanemu przez promień w przestrzeni Hilberta, który jest klasą równoważności w a pod mapą odwzorowania naturalnego element . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ rightarrow \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$

Przez definicji symetrii układu kwantowego, jest działanie grupy na . Dla każdego , jest odpowiednia do przetwarzania w . Dokładniej, jeżeli jest jakiś symetria układu (na przykład, obrót wokół osi X, 12 ° C), a następnie odpowiedniego przetwarzania od jest mapa przestrzeni promieniowania. Na przykład podczas obracania stacjonarnej (o zerowym pędzie) cząstki o spinie-5 wokół jej środka następuje obrót w przestrzeni 3D (element ), natomiast jest operatorem, którego dziedzina i zakres są przestrzenią możliwych stanów kwantowych tej cząstki , w tym przykładzie przestrzeń rzutowa związana z 11-wymiarową złożoną przestrzenią Hilberta . ${\ displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ Displaystyle V (g)}$${\ displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle V (g)}$${\ displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle \ mathrm {SO (3)}}$${\ Displaystyle V (g)}$${\ displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Każda mapa zachowuje, z definicji symetrii, iloczyn promienia na indukowany przez iloczyn wewnętrzny ; zgodnie z twierdzeniem Wignera to transformacja pochodzi z pojedynczego lub anty-jednostkowej transformacji z . Należy jednak pamiętać, że skojarzone z danym nie jest unikalne, ale tylko unikalne do współczynnika fazy . W związku z tym skład operatorów powinien odzwierciedlać prawo dotyczące składu , ale tylko do współczynnika fazowego: ${\ Displaystyle V (g)}$${\ displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle U (g)}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle U (g)}$${\ Displaystyle V (g)}$${\ Displaystyle U (g)}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle U (gh) = e ^ {i \ teta} U (g) U (h)}$ ,

gdzie będzie zależeć od i . W ten sposób mapa wysyłania na to rzutowa jednolitą reprezentację z , lub ewentualnie mieszanina jednolity i anty-jednolitym, o ile jest odłączony. W praktyce operatory antyjednostkowe są zawsze kojarzone z symetrią odwrócenia czasu . ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle U (g)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Reprezentacje zwykłe a projekcyjne

Fizycznie ważne jest, aby generalnie nie było to zwykłe przedstawienie ; wybór czynników fazowych w definicji może nie być możliwy w celu wyeliminowania czynników fazowych z ich prawa składu. Na przykład elektron jest półcząstką o spinie; jego przestrzeń Hilberta składa się z funkcji falowych z wartościami w dwuwymiarowej przestrzeni spinorowej. Działanie na przestrzeni spinorowej jest tylko rzutowe: nie pochodzi ze zwykłej reprezentacji . Istnieje jednak skojarzony zwykłym przedstawieniem powszechnego ubezpieczenia od na przestrzeni Spinor. ${\ Displaystyle U (\ cdot)}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle U (g)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathrm {SO (3)}}$${\ Displaystyle \ mathrm {SO (3)}}$${\ Displaystyle \ mathrm {SU (2)}}$${\ Displaystyle \ mathrm {SO (3)}}$

Dla wielu ciekawych zajęciach grup , Bargmann Twierdzenie mówi nam, że każdy rzutowe jednolita reprezentacja pochodzi ze zwykłej reprezentacji powszechnego ubezpieczenia od . W rzeczywistości, jeśli jest skończony wymiar, to niezależnie od grupy , każda projekcyjna reprezentacja unitarna pochodzi ze zwykłej jednolitej reprezentacji . Jeśli jest nieskończenie wymiarowy, to aby uzyskać pożądany wniosek, należy przyjąć pewne założenia algebraiczne (patrz poniżej). W tym ustawieniu wynikiem jest twierdzenie Bargmanna . Na szczęście w kluczowym przypadku grupy Poincarégo ma zastosowanie twierdzenie Bargmanna. (Zobacz klasyfikację przedstawień uniwersalnej okładki grupy Poincaré Wignera ). ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle G}$

Wymóg, o którym mowa powyżej, jest taki, że algebra Liego nie dopuszcza nietrywialnego jednowymiarowego centralnego rozszerzenia. Tak jest w przypadku, jeśli i tylko wtedy gdy druga grupa cohomology z jest trywialne. W tym przypadku nadal może być prawdą, że grupa dopuszcza centralne rozszerzenie przez odrębną grupę. Ale rozszerzenia o dyskretne grupy to okładki . Na przykład, uniwersalne pokrycie jest odniesione poprzez iloraz, przy czym centralna podgrupa jest centrum samego siebie, izomorficzna z podstawową grupą pokrytej grupy. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G \ ok {\ tilde {G}} / \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$

Tak więc w sprzyjających przypadkach system kwantowy będzie nosił jednolitą reprezentację uniwersalnego pokrycia grupy symetrii . Jest to pożądane, ponieważ jest znacznie łatwiejsze w użyciu niż przestrzeń niewektorowa . Jeśli reprezentacje można sklasyfikować, dostępnych jest znacznie więcej informacji o możliwościach i właściwościach . ${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Sprawa Heisenberga

Przykład, w którym twierdzenie Bargmanna nie ma zastosowania, pochodzi z poruszającej się cząstki kwantowej . Grupa symetrii translacyjnych skojarzonej przestrzeni fazowej to grupa przemienna . W zwykłym obrazie mechaniki kwantowej symetria nie jest realizowana przez jednolitą reprezentację . W końcu w układzie kwantowym tłumaczenia w przestrzeni pozycji i tłumaczenia w przestrzeni pędu nie dojeżdżają do pracy. To niepowodzenie w dojeżdżaniu do pracy odzwierciedla niepowodzenie operatorów pozycji i pędu - które są nieskończenie małymi generatorami translacji odpowiednio w przestrzeni pędu i przestrzeni pozycji - w dojeżdżaniu. Niemniej jednak, tłumaczenia w przestrzeni położenia i tłumaczeń w przestrzeni pędu Do dojeżdżać aż do współczynnika fazy. Mamy więc dobrze zdefiniowaną reprezentację rzutową , ale nie pochodzi ona ze zwykłej reprezentacji , mimo że jest po prostu połączona. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

W tym przypadku, aby otrzymać zwykłą reprezentację, należy przejść do grupy Heisenberga , która jest nietrywialnym jednowymiarowym centralnym rozszerzeniem . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

Grupa Poincaré

Grupa tłumaczeń i transformacji Lorentza tworzy grupę Poincarégo , a ta grupa powinna być symetrią relatywistycznego układu kwantowego (pomijając ogólne efekty względności , czyli innymi słowy w płaskiej przestrzeni ). Reprezentacje grupy Poincarégo charakteryzują się w wielu przypadkach nieujemną masą i spinem półcałkowitym (patrz klasyfikacja Wignera ); można to traktować jako przyczynę kwantowania spinu cząstek. (Należy pamiętać, że w rzeczywistości istnieją inne możliwe reprezentacje, takie jak tachiony , infraparticles , etc., które w niektórych przypadkach nie mają quantized wirowania lub stałej masy).

Inne symetrie

Wzór słabych izospinów , słabych hiperładowań i ładunków kolorowych (wag) wszystkich znanych cząstek elementarnych w Modelu Standardowym , obrócony o słaby kąt mieszania, aby pokazać ładunek elektryczny z grubsza wzdłuż pionu.

Podczas gdy symetrie czasoprzestrzenne w grupie Poincaré są szczególnie łatwe do wizualizacji i wiary, istnieją również inne typy symetrii, zwane symetriami wewnętrznymi . Jednym z przykładów jest kolor SU (3) , dokładna symetria odpowiadająca ciągłej zamianie trzech kolorów kwarków .

Algebry Lie a grupy Lie

Wiele (ale nie wszystkie) symetrii lub przybliżonych symetrii tworzy grupy Liego . Zamiast studiować teorię reprezentacji tych grup Liego, często lepiej jest przestudiować ściśle powiązaną teorię reprezentacji odpowiadających im algebr Liego, które są zwykle prostsze do obliczenia.

Otóż, reprezentacje algebry Liego odpowiadają reprezentacjom uniwersalnego pokrycia oryginalnej grupy. W przypadku skończonych wymiarów - i przypadku nieskończenie-wymiarowych, pod warunkiem, że ma zastosowanie twierdzenie Bargmanna - nieredukowalne reprezentacje rzutowe grupy pierwotnej odpowiadają zwykłym, unitarnym reprezentacjom pokrycia uniwersalnego. W takich przypadkach obliczenia na poziomie algebry Liego są odpowiednie. Dotyczy to w szczególności badania nieredukowalnych reprezentacji rzutowych grupy rotacyjnej SO (3). Są one w korespondencji jeden do jednego ze zwykłymi reprezentacjami uniwersalnej osłony SU (2) z SO (3) . Reprezentacje SU (2) są zatem w zgodności jeden do jednego z reprezentacjami jej algebry Lie su (2), która jest izomorficzna z algebrą Liego, więc (3) z SO (3).

Podsumowując, nieredukowalne reprezentacje rzutowe SO (3) są w relacji jeden do jednego z nieredukowalnymi zwykłymi reprezentacjami algebry Liego, więc (3). Dwuwymiarowa reprezentacja algebry Liego o spinie 1/2, a więc (3), na przykład, nie odpowiada zwykłej (jednowartościowej) reprezentacji grupy SO (3). (Fakt ten jest źródłem stwierdzeń, które głoszą, że „jeśli obrócisz funkcję falową elektronu o 360 stopni, otrzymasz ujemną wartość pierwotnej funkcji falowej”). Niemniej jednak, reprezentacja spinu 1/2 rzeczywiście daje początek dobrze zdefiniowana rzutowa reprezentacja SO (3), czyli wszystko, czego fizycznie wymaga.

Przybliżone symetrie

Chociaż uważa się, że powyższe symetrie są dokładne, inne symetrie są tylko przybliżone.

Hipotetyczny przykład

Jako przykład tego, co oznacza przybliżona symetria, załóżmy, że eksperymentalista żył wewnątrz nieskończonego ferromagnesu z namagnesowaniem w jakimś określonym kierunku. Eksperymentalista w tej sytuacji znalazłby nie jeden, ale dwa różne typy elektronów: jeden ze spinem wzdłuż kierunku magnetyzacji, o nieco niższej energii (a co za tym idzie, o mniejszej masie) i drugi o spinie anty-wyrównanym, o wyższa masa. Nasza zwykła symetria obrotowa SO (3) , która zwykle łączy spin w górę elektronu z elektronem w dół, w tym hipotetycznym przypadku stała się jedynie przybliżoną symetrią, wiążącą ze sobą różne typy cząstek .

Ogólna definicja

Ogólnie rzecz biorąc, przybliżona symetria powstaje, gdy istnieją bardzo silne interakcje, które są zgodne z tą symetrią, wraz ze słabszymi interakcjami, które jej nie spełniają. W powyższym przykładzie elektronów te dwa „typy” elektronów zachowują się identycznie pod wpływem silnych i słabych sił , ale inaczej pod wpływem siły elektromagnetycznej .

Przykład: symetria izospinowa

Przykładem ze świata rzeczywistego jest symetria izospinowa , grupa SU (2) odpowiadająca podobieństwu między kwarkami górnymi i dolnymi . Jest to przybliżona symetria: chociaż kwarki górne i dolne są identyczne pod względem interakcji pod wpływem siły silnej , mają różne masy i różne oddziaływania elektrosłabe. Matematycznie istnieje abstrakcyjna dwuwymiarowa przestrzeń wektorowa

${\ displaystyle {\ text {up quark}} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ qquad {\ text {dolny kwark}} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} 0 \ \ 1 \ end {pmatrix}}}$

a prawa fizyki są w przybliżeniu niezmienne przy zastosowaniu jednostkowej transformacji wyznacznika-1 do tej przestrzeni:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} \ mapsto A {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}, \ quad {\ text {gdzie}} A { \ text {jest w}} SU (2)}$

Na przykład zamieni wszystkie kwarki we wszechświecie w dolne kwarki i odwrotnie. Kilka przykładów pomoże wyjaśnić możliwe skutki tych przekształceń: ${\ displaystyle A = {\ początek {pmatrix} 0 i 1 \\ - 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$

• Kiedy te jednostkowe transformacje są stosowane do protonu , można go przekształcić w neutron lub w superpozycję protonu i neutronu, ale nie w żadne inne cząstki. Dlatego transformacje poruszają proton wokół dwuwymiarowej przestrzeni stanów kwantowych. Proton i neutron nazywane są „ dubletem izospinowym ”, matematycznie analogicznie do tego, jak zachowuje się cząstka o spinie-½ podczas zwykłej rotacji.
• Kiedy te jednostkowe przekształcenia zostaną zastosowane do dowolnego z trzech pionów (
  π ⁰
  ,
  π ⁺
  , i
  π ^-
  ), może zmienić dowolny z pionów w dowolne inne, ale nie w dowolną cząstkę niebędącą pionem. Dlatego transformacje przesuwają piony wokół trójwymiarowej przestrzeni stanów kwantowych. Piony nazywane są „ trypletami izospinowymi ”, matematycznie analogicznie do tego, jak zachowuje się cząstka o spinie-1 podczas zwykłej rotacji.
• Transformacje te nie mają żadnego wpływu na elektron , ponieważ nie zawiera on ani górnych, ani dolnych kwarków. Elektron nazywany jest singletem izospinowym, matematycznie analogicznie do tego, jak zachowuje się cząstka o spinie-0 podczas zwykłej rotacji.

Ogólnie rzecz biorąc, cząstki tworzą multiplety izospinowe , które odpowiadają nieredukowalnym reprezentacjom algebry Liego SU (2) . Cząstki w multiplecie izospin mają bardzo podobne, ale nie identyczne masy, ponieważ kwarki górny i dolny są bardzo podobne, ale nie identyczne.

Przykład: symetria smaku

Symetrię izospin można uogólnić na symetrię smaku , grupę SU (3) odpowiadającą podobieństwu między kwarkami górnymi , dolnymi i dziwnymi . Jest to znowu przybliżona symetria, naruszona przez różnice mas kwarków i oddziaływania elektrosłabe - w rzeczywistości jest to słabsze przybliżenie niż izospina, z powodu zauważalnie większej masy tego dziwnego kwarka.

Niemniej jednak cząstki można rzeczywiście zgrabnie podzielić na grupy, które tworzą nieredukowalne reprezentacje algebry Lie SU (3) , jak po raz pierwszy zauważył Murray Gell-Mann i niezależnie od Yuvala Ne'emana .

Zobacz też

• Szarża (fizyka)
• Teoria reprezentacji :
  • Algebr Lie
  • Grup kłamstw
• Reprezentacja rzutowa
• Specjalna grupa jednostkowa

Uwagi

Bibliografia

• Coleman, Sidney (1985) Aspects of Symmetry: Selected Erice Lectures of Sidney Coleman . Cambridge Univ. Naciśnij. ISBN   0-521-26706-4 .
• Georgi, Howard (1999) Lie Algebras in Particle Physics . Reading, Massachusetts: Perseus Books. ISBN   0-7382-0233-9 .
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer, ISBN   978-1461471158 .
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN   978-3319134666 .
• Sternberg, Shlomo (1994) Teoria grup i fizyka . Cambridge Univ. Naciśnij. ISBN   0-521-24870-1 . Szczególnie s. 148–150.
• Weinberg, Steven (1995). Kwantowa teoria pól, tom 1: Podstawy . Cambridge Univ. Naciśnij. ISBN   0-521-55001-7 . Zwłaszcza dodatki A i B do rozdziału 2.

Linki zewnętrzne

• Baez, John C .; Huerta, John (2010). „Algebra Wielkich Zunifikowanych Teorii”. Byk. Jestem. Math. Soc . 47 (3): 483–552. arXiv : 0904.1556 . doi : 10.1090 / S0273-0979-10-01294-2 . S2CID   2941843 .