Reprezentacja projekcyjna - Projective representation

W dziedzinie teorii reprezentacji w matematyce , A rzutowa reprezentacji z grupy G na przestrzeni wektorowej V nad pole F jest homomorfizmem grupy od G do rzutowej grupę liniową

gdzie GL( V ) jest ogólną grupą liniową odwracalnych przekształceń liniowych V przez F , a F ^∗ jest normalną podgrupą składającą się z niezerowych skalarnych wielokrotności transformacji tożsamości (patrz transformacja skalarna ).

Mówiąc bardziej konkretnie, rzutowa reprezentacja jest zbiorem operatorów spełniających własność homomorfizmu aż do stałej: ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ rho (g) \ w \ operatorname {GL} (V), \, g \ w G}$

${\ Displaystyle \ rho (g) \ rho (h) = c (g, h) \ rho (gh)}$

dla jakiegoś stałego . Równoważnie reprezentacja rzutowa jest zbiorem operatorów , takich jak . Zauważ, że w tym zapisie jest zbiorem operatorów liniowych powiązanych przez mnożenie z pewnym niezerowym skalarem. ${\ Displaystyle c (g, h) \ w F}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ tylda {\ rho}} (g) \ w \ operatorname {PGL} (V), g \ w G}$${\ Displaystyle {\ tylda {\ rho}} (gh) = {\ tylda {\ rho}} (g) {\ tylda {\ rho}} (h)}$${\displaystyle {\tylda {\rho}}(g)}$

Jeśli można wybrać konkretnego reprezentanta w każdej rodzinie operatorów w taki sposób, aby własność homomorfizmu była spełniona na nosie , a nie tylko do stałej, to mówimy, że można „odprojektywizować” lub że można „podnieść do zwykłej reprezentacji”. Mówiąc bardziej konkretnie, mówimy zatem, że można odprojektywizować, jeśli dla każdego istnieją takie, że . Ta możliwość została omówiona poniżej. ${\ Displaystyle \ rho (g) \ w {\ tylda {\ rho}} (g)}$${\displaystyle {\tylda {\rho}}}$${\displaystyle {\tylda {\rho}}}$${\displaystyle {\tylda {\rho}}}$${\ Displaystyle \ rho (g) \ w {\ tylda {\ rho}} (g)}$${\ Displaystyle g \ w G}$${\ Displaystyle \ rho (g) \ rho (h) = \ rho (gh)}$

Reprezentacje liniowe i reprezentacje rzutowe

Jednym ze sposobów, w których mogą pojawić się rzutowe reprezentacja jest poprzez liniową reprezentacja grupy z G na V , a zastosowanie iloraz mapę

${\ Displaystyle \ operatorname {GL} (V, F) \ rightarrow \ operatorname {PGL} (V, F)}$

która jest ilorazem przez podgrupę F ^* w skalarnych transformacji ( diagonalnych macierzy ze wszystkimi ukośnych pozycji równe). Zainteresowanie algebrą jest w tym procesie w odwrotnym kierunku: mając daną reprezentację rzutową , spróbuj "podnieść" ją do zwykłej reprezentacji liniowej . Ogólna reprezentacja rzutowa ρ : G → PGL( V ) nie może być podniesiona do reprezentacji liniowej G → GL( V ) , a przeszkodę w tym podniesieniu można zrozumieć za pomocą kohomologii grupowej, jak opisano poniżej.

Jednak jedna może podnieść rzutowe reprezentacji z G na liniowe przedstawienie innej grupy H , który będzie centralne przedłużenie na G . Grupa jest podgrupą zdefiniowaną następująco: ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G \ razy \ operatorname {GL} (V)}$

${\ Displaystyle H = \ {(g, A) \ w G \ razy \ operatorname {GL} (V) \ mid \ pi (A) = \ rho (g) \}}$,

gdzie jest mapa ilorazu na . Ponieważ jest homomorfizmem, łatwo jest sprawdzić, czy rzeczywiście jest podgrupą . Jeśli oryginalna rzutowe reprezentacja jest wierny, a następnie jest izomorficzna z preimage w z . ${\displaystyle \pi}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} (V)}$${\ Displaystyle \ operatorname {PGL} (V)}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G \ razy \ operatorname {GL} (V)}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} (V)}$${\ Displaystyle \ rho (G) \ podzbiór \ operatorname {PGL} (V)}$

Możemy zdefiniować homomorfizm przez ustawienie . Jądro to: ${\displaystyle \phi:H\rightarrow G}$${\ Displaystyle \ phi ((g, A)) = g}$${\displaystyle \phi}$

${\ Displaystyle \ operatorname {ker} (\ phi ) = \ {(e, cI) \ mid c \ w F ^ {*} \}}$,

który znajduje się w centrum . Jasne jest również, że jest surjektywna, a więc jest centralnym rozszerzeniem . Możemy również zdefiniować zwykłą reprezentację z ustawiając . Zwykłym przedstawieniem o to wyciąg z projekcyjnej reprezentacji z w tym sensie, że: ${\ Displaystyle H}$${\displaystyle \phi}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ sigma ((g, A)) = A}$${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ pi ( \ sigma ((g, A))) = \ rho (g) = \ rho (\ phi ((g, A)))}$.

Jeśli G jest idealna grupa istnieje jeden uniwersalny idealny centralny rozszerzenie z G , które mogą być użyte.

Kohomologia grupowa

Analiza pytania unoszącego obejmuje kohomologię grupową . Rzeczywiście, jeśli dla każdego g w G zamocuje się podniesiony element L ( g ) podczas podnoszenia z PGL( V ) z powrotem do GL( V ) , to podniesienia spełniają

${\ Displaystyle L (gh) = c (g, h) L (g) L (h)}$

dla jakiegoś skalarnego c ( g , h ) w F ^∗ . Wynika z tego, że 2-kocykl lub mnożnik Schura c spełnia równanie kocyklu

${\ Displaystyle c (h, k) c (g, hk) = c (g, h) c (gh, k)}$

dla wszystkich g , h , k w G . To c zależy od wyboru windy L ; inny wybór wzniosu L′ ( g ) = f ( g ) L ( g ) spowoduje inny kocykl

${\ Displaystyle c ^ {\ prime} (g, h) = f (gh) f (g) ^ {-1} f (h) ^ {-1} c (g, h)}$

cohomologiczny do c . Zatem L definiuje unikalną klasę w H ² ( G , F ^∗ ) . Ta klasa może nie być trywialna. Na przykład w przypadku grupy symetrycznej i grupy przemiennej Schur ustalił, że istnieje dokładnie jedna nietrywialna klasa mnożnika Schura i całkowicie określił wszystkie odpowiadające nieredukowalne reprezentacje.

Ogólnie rzecz biorąc, nietrywialna klasa prowadzi do problemu rozszerzenia dla G . Jeśli G jest poprawnie rozciągnięte, otrzymujemy liniową reprezentację rozciągniętej grupy, która indukuje oryginalną reprezentację rzutową po przesunięciu z powrotem do G . Rozwiązaniem jest zawsze centralne rozszerzenie . Z lematu Schura wynika , że nieredukowalne reprezentacje centralnych rozszerzeń G i nieredukowalne reprezentacje rzutowe G są zasadniczo tymi samymi przedmiotami.

Pierwszy przykład: dyskretna transformata Fouriera

Rozważmy pole liczb całkowitych mod , gdzie jest liczbą pierwszą, i niech będzie -wymiarową przestrzenią funkcji on o wartościach w . Dla każdego w , zdefiniuj dwa operatory i dalej w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{a}}$${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (T_ {a} f) (b) i = f (ba) \ \ (S_ {a} f) (b) i = e ^ {2 \ pi iab / p} f (b).\end{wyrównany}}}$

Piszemy wzór na jakby i były liczbami całkowitymi, ale łatwo zauważyć, że wynik zależy tylko od wartości i mod . Operator jest tłumaczeniem, a to przesunięcie w przestrzeni częstotliwości (to znaczy, że ma wpływ na tłumaczeniu dyskretnej transformaty Fouriera z ). ${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle f}$

Można łatwo zweryfikować, że dla dowolnych i w , operatory i dojeżdżać do mnożenia przez stałą: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{b}}$

${\ Displaystyle T_ {a} S_ {b} = e ^ {-2 \ pi iab/p} S_ {b} T_ {a}}$.

Możemy zatem zdefiniować reprezentację projekcyjną w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p \ razy \ mathbb {Z} / p}$

${\ Displaystyle \ rho (a, b) = [T_ {a} S_ {b}]}$,

gdzie oznacza obraz operatora w grupie ilorazowej . Ponieważ i dojeżdża do stałej, łatwo jest postrzegać ją jako reprezentację projekcyjną. Z drugiej strony, ponieważ i faktycznie nie komutują – i żadne niezerowe ich wielokrotności nie będą komutować – nie można przenieść do zwykłej (liniowej) reprezentacji . ${\ Displaystyle [A]}$${\ Displaystyle A \ w \ operatorname {GL} (V)}$${\ Displaystyle \ operatorname {PGL} (V)}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{b}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{b}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p \ razy \ mathbb {Z} / p}$

Ponieważ reprezentacja projekcyjna jest wierny, centralny rozszerzenie o uzyskane przez budowę w poprzedniej części jest po prostu preimage w wizerunku . Wprost oznacza to, że jest to grupa wszystkich operatorów postaci ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p \ razy \ mathbb {Z} / p}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} (V)}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle H}$

${\ Displaystyle e ^ {2 \ pi IC / p} T_ {a} S_ {b}}$

dla . Ta grupa jest dyskretną wersją grupy Heisenberga i jest izomorficzna z grupą macierzy postaci ${\ Displaystyle a, b, c \ w \ mathbb {Z} / p}$

${\displaystyle {\rozpocząć{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\koniec {pmatrix}}}$

z . ${\ Displaystyle a, b, c \ w \ mathbb {Z} / p}$

Reprezentacje projekcyjne grup Liego

Badanie rzutowych reprezentacji grup Liego prowadzi do rozważenia prawdziwych reprezentacji ich centralnych rozszerzeń (patrz Rozszerzenie grupy § Grupy Liego ). W wielu interesujących przypadkach wystarczy wziąć pod uwagę reprezentacje grup pokrywających . W szczególności, załóżmy, że jest połączona pokrywa przyłączonej grupy Lie tak, że na dyskretne centralnej podgrupy o . (Zauważ, że jest to specjalny rodzaj centralnego rozszerzenia .) Załóżmy również, że jest to nieredukowalna unitarna reprezentacja (prawdopodobnie nieskończonego wymiaru). Następnie, zgodnie z lematem Schura , podgrupa centralna będzie działać według skalarnych wielokrotności tożsamości. Tak więc na poziomie projekcyjnym zejdzie do . To znaczy, dla każdego , możemy wybrać preimage się w , i zdefiniować rzutowe reprezentację z przez ustawienie ${\ Displaystyle {\ kapelusz {G}}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G \ cong {\ kapelusz {G}} / N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {G}}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {G}}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {G}}}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle g \ w G}$${\displaystyle {\kapelusz {g}}}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {G}}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ rho (g) = \ lewo [\ Pi \ lewo ({\ kapelusz {g}} \ prawej) \ prawej]}$,

gdzie oznacza obraz w operatorze . Ponieważ zawiera się w centrum i centrum aktów jak skalary , wartość nie zależy od wyboru . ${\ Displaystyle [A]}$${\ Displaystyle \ operatorname {PGL} (V)}$${\ Displaystyle A \ w \ operatorname {GL} (V)}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {G}}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {G}}}$ ${\ Displaystyle \ lewo [\ Pi \ lewo ({\ kapelusz {g}} \ po prawej) \ po prawej]}$${\displaystyle {\kapelusz {g}}}$

Powyższa konstrukcja jest ważnym źródłem przykładów reprezentacji rzutowych. Twierdzenie Bargmanna (omówione poniżej) podaje kryterium, według którego w ten sposób powstaje każda nieredukowalna projekcyjna unitarna reprezentacja . ${\ Displaystyle G}$

Reprezentacje projekcyjne SO(3)

Fizycznie ważny przykład powyższej konstrukcji pochodzi z przypadku grupy rotacyjnej SO(3) , której uniwersalną osłoną jest SU(2) . Zgodnie z teorią reprezentacji SU(2) w każdym wymiarze istnieje dokładnie jedna nieredukowalna reprezentacja SU(2). Gdy wymiar jest nieparzysty (przypadek „spin liczby całkowitej”), reprezentacja schodzi do zwykłej reprezentacji SO(3). Gdy wymiar jest parzysty (przypadek „wirowania ułamkowego”), reprezentacja nie schodzi do zwykłej reprezentacji SO(3), ale (przez wynik omówiony powyżej) schodzi do reprezentacji rzutowej SO(3). Takie reprezentacje projekcyjne SO(3) (te, które nie pochodzą ze zwykłych reprezentacji) nazywane są „reprezentacjami spinorialnymi”.

Zgodnie z argumentem omówionym poniżej, każda skończenie wymiarowa, nieredukowalna reprezentacja rzutowa SO(3) pochodzi ze skończenie wymiarowej, nieredukowalnej zwykłej reprezentacji SU(2).

Przykłady okładek prowadzących do reprezentacji projekcyjnych

Godne uwagi przypadki obejmujące grupy dające ciekawe reprezentacje rzutowe:

• Specjalną grupę prostopadłe SO ( N , M ) jest podwójnie objęte grupy wirowania wirówki ( n , F ).
• W szczególności grupa SO(3) (grupa rotacyjna w 3 wymiarach) jest podwójnie objęta SU(2) . Ma to ważne zastosowania w mechanice kwantowej, ponieważ badanie reprezentacji SU(2) prowadzi do nierelatywistycznej (niskiej prędkości) teorii spinu .
• Grupa SO ⁺ (3: 1) , izomorficzne z grupy Möbius jest również podwójnie objęte SL ₂ ( C ). Oba są supergrupami wspomnianych odpowiednio SO(3) i SU(2) i tworzą relatywistyczną teorię spinu.
• Uniwersalna okładka grupy Poincaré to okładka podwójna (półbezpośredni produkt SL ₂ ( C ) z R ⁴ ). Nieredukowalne unitarne reprezentacje tej okładki dają początek rzutowym reprezentacjom grupy Poincaré, jak w klasyfikacji Wignera . Niezbędne jest przejście do okładki, aby zawrzeć ułamkową kopertę wirowania.
• Ortogonalne grupy O ( n ) jest dwukrotnie pokryta przez Pin grupy Pin _± ( n ).
• Grupa symplektyczna Sp(2 n )=Sp(2 n , R ) (nie mylić ze zwartą postacią rzeczywistą grupy symplektycznej, czasami również oznaczaną przez Sp( m )) jest podwójnie pokryta grupą metaplektyczną Mp(2 n ). Ważna reprezentacja rzutowa Sp(2 n ) pochodzi z metaplektycznej reprezentacji Mp(2 n ).

Skończenie wymiarowe rzutowe unitarne reprezentacje

W fizyce kwantowej symetria układu fizycznego jest zazwyczaj realizowana za pomocą projekcyjnej unitarnej reprezentacji grupy Liego w kwantowej przestrzeni Hilberta, czyli ciągłego homomorfizmu ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ rho: G \ rightarrow \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}}),}$

gdzie jest ilorazem unitarnej grupy przez operatory postaci . Powodem wzięcia ilorazu jest to, że fizycznie dwa wektory w przestrzeni Hilberta, które są proporcjonalne, reprezentują ten sam stan fizyczny. [To znaczy, że przestrzeń (czystych) stanów jest zbiorem klas równoważności wektorów jednostkowych , gdzie dwa wektory jednostkowe są uważane za równoważne, jeśli są proporcjonalne.] Zatem operator unitarny, który jest wielokrotnością identyczności, faktycznie działa jako tożsamość na poziomie stanów fizycznych. ${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$${\ Displaystyle \ operatorname {U} ({\ matematyka {H}})}$${\displaystyle CI,\,|c|=1}$

Skończony trójwymiarowy rzutowa reprezentacja następnie prowadzi do powstania rzutowej jednolitą reprezentację algebry Lie z . W przypadku skończenie wymiarowym zawsze można „odprojektować” reprezentację algebry Liego, po prostu wybierając reprezentant dla każdego ze śladem zero. W świetle homomorfizmów tw , to wtedy możliwe do de-projectivize się, ale kosztem przejścia do powszechnego ubezpieczenia od . To znaczy, że każda skończenie wymiarowa projekcyjna unitarna reprezentacja J powstaje ze zwykłej unitarnej reprezentacji J przez procedurę wspomnianą na początku tej sekcji. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ rho _ {*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ rho _ {*}}$${\ Displaystyle \ rho _ {*} (X)}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle {\ tylda {G}}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ tylda {G}}}$

W szczególności, ponieważ reprezentacja algebry Liego została zdeprojektywizowana poprzez wybranie reprezentanta zerowego śladu, każda skończenie wymiarowa projekcyjna unitarna reprezentacja wywodzi się z wyznacznika-jedynki zwykłej unitarnej reprezentacji (tj. takiej, w której każdy element działa jako operator z wyznacznikiem). Jeśli jest półproste, to każdy element jest kombinacją liniową komutatorów, w którym to przypadku każda reprezentacja jest operatorami ze śladem zero. W przypadku półprostym powiązana reprezentacja liniowa jest unikalna. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ tylda {G}}}$${\ Displaystyle {\ tylda {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ tylda {G}}}$

I odwrotnie, jeśli jest nieredukowalne jednolita reprezentacja powszechnego ubezpieczenia od , a następnie przez lematu SCHUR za , centrum działa jako skalarnych wielokrotności tożsamości. W ten sposób na poziomie projekcyjnym schodzi do projekcyjnej reprezentacji pierwotnej grupy . Tak więc istnieje naturalna, jeden do jednego, odpowiednik między nieredukowalnymi reprezentacjami projekcyjnymi a nieredukowalnymi, determinującymi, zwyczajnymi reprezentacjami . (W przypadku półprostym kwalifikator „wyznacznik-jeden” można pominąć, ponieważ w takim przypadku każda reprezentacja jest automatycznie wyznacznikiem). ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle {\ tylda {G}}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ tylda {G}}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ tylda {G}}}$${\ Displaystyle {\ tylda {G}}}$

Ważnym przykładem jest przypadek SO(3) , którego uniwersalną osłoną jest SU(2) . Teraz algebra Liego jest półprosta. Ponadto, ponieważ SU(2) jest grupą zwartą , każda jej skończenie wymiarowa reprezentacja dopuszcza iloczyn skalarny, względem którego reprezentacja jest unitarna. W ten sposób nieredukowalne reprezentacje rzutowe SO(3) odpowiadają jeden do jednego z nieredukowalnymi zwykłymi reprezentacjami SU(2). ${\ Displaystyle \ operatorname {su} (2)}$

Nieskończenie wymiarowe rzutowe reprezentacje unitarne: przypadek Heisenberga

Wyniki z poprzedniego podrozdziału nie mają zastosowania w przypadku nieskończenie wymiarowym, po prostu dlatego, że ślad nie jest zwykle dobrze zdefiniowany. Rzeczywiście, wynik zawodzi: rozważmy na przykład translacje w przestrzeni położenia iw przestrzeni pędu dla cząstki kwantowej poruszającej się w , działającej w przestrzeni Hilberta . Operatory te są zdefiniowane w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ rho _ {*} (X)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (T_ {a} f) (x) i = f (xa) \ \ (S_ {a} f) (x) i = e ^ {iax} f (x), \ koniec{wyrównany}}}$

dla wszystkich . Te operatory to po prostu ciągłe wersje operatorów i opisane w sekcji „Pierwszy przykład” powyżej. Ponieważ w tej sekcji, można następnie określić rzutowe jednolitą reprezentację z : ${\ Displaystyle a \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{a}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

${\ Displaystyle \ rho (a, b) = [T_ {a} S_ {b}]}$

ponieważ operatorzy dojeżdżają do współczynnika fazowego. Ale żaden wybór czynników fazowych nie doprowadzi do zwykłej reprezentacji unitarnej, ponieważ translacje w pozycji nie komutują z translacjami w pędzie (a pomnożenie przez stałą niezerową tego nie zmieni). Operatory te jednak pochodzą ze zwykłej unitarnej reprezentacji grupy Heisenberga , która jest jednowymiarowym centralnym rozszerzeniem . (Zobacz także twierdzenie Stone-von Neumann .) ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

Nieskończenie-wymiarowe rzutowe reprezentacje unitarne: twierdzenie Bargmanna

Z drugiej strony, Bargmann za stany twierdzenie, że jeśli dwuwymiarowy Lie algebra cohomology z jest trywialne, to każda jednostkowa rzutowa reprezentacja może być de-projectivized po przejściu do powszechnego ubezpieczenia. Dokładniej, załóżmy, że zaczynamy od projekcyjnej unitarnej reprezentacji grupy Liego . Wtedy twierdzenie mówi, że można podnieść do zwykłego jednolitej reprezentacji powszechnego pokrycia o . Oznacza to, że mapuje każdy element jądra mapy pokrywającej na skalarną wielokrotność tożsamości — tak, że na poziomie projekcyjnym schodzi do — i że powiązana reprezentacja projekcyjna jest równa . ${\ Displaystyle H ^ {2} ({\ mathfrak {g}}; \ mathbb {R})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ rho}$${\displaystyle {\kapelusz {\rho}}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {G}}}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle {\kapelusz {\rho}}}$${\displaystyle {\kapelusz {\rho}}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ rho}$

Twierdzenie nie ma zastosowania do grupy — jak pokazuje poprzedni przykład — ponieważ dwuwymiarowa kohomologia powiązanej przemiennej algebry Liego nie jest trywialna. Przykłady, w których wynik ma zastosowanie, obejmują grupy półproste (np. SL(2,R) ) i grupę Poincaré . Ten ostatni wynik jest ważny dla klasyfikacji Wignera projekcyjnych unitarnych reprezentacji grupy Poincaré. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

Dowód twierdzenia BARGMANN idzie poprzez rozważenie centralne przedłużenie na , zbudowany podobnie do powyższego punktu na reprezentacjach liniowych i projekcyjnych reprezentacje jako podgrupa bezpośredniego grupy produktów , w którym znajduje się przestrzeń Hilberta, w którym działa i jest grupa podmiotów jednostkowych na . Grupa jest zdefiniowana jako ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G \ razy U ({\ matematyka {H}})}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle U ({\ mathcal {H}})}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}}}$${\ Displaystyle H}$

${\ Displaystyle H = \ {(g, U) \ mid \ pi (U) = \ rho (g) \}.}$

Podobnie jak w poprzedniej sekcji, mapa podana przez jest surjektywnym homomorfizmem, którego jądro jest tak, że jest centralnym rozszerzeniem . Znowu, jak w poprzedniej sekcji, można następnie określić liniowe przedstawienie z ustawiając . Następnie jest windą w tym sensie, że , gdzie jest mapa ilorazu od do . ${\displaystyle \phi:H\rightarrow G}$${\ Displaystyle \ phi (g, U) = g}$${\ Displaystyle \ {(e, cI) \ mid | c | = 1 \}}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ sigma (g, U) = U}$${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ rho \ circ \ phi = \ pi \ circ \ sigma}$${\displaystyle \pi}$${\ Displaystyle U ({\ mathcal {H}})}$${\ Displaystyle PU ({\ mathcal {H}})}$

Kluczowym punktem technicznym jest pokazanie, że jest to grupa Liego . (To twierdzenie nie jest tak oczywiste, ponieważ jeśli jest nieskończenie wymiarowa, grupa jest nieskończenie wymiarową grupą topologiczną.) Po ustaleniu tego wyniku widzimy, że jest to jednowymiarowe centralne rozszerzenie grupy Liego , tak że algebra Liego of jest również jednowymiarowym centralnym rozszerzeniem (należy zauważyć, że przymiotnik „jednowymiarowy” nie odnosi się do i , ale raczej do jądra mapy projekcji z tych obiektów na i odpowiednio). Grupę kohomologiczną można jednak utożsamiać z przestrzenią jednowymiarowych (znowu we wspomnianym powyżej sensie) centralnych rozszerzeń ; jeśli jest trywialne, to każde jednowymiarowe centralne rozszerzenie jest trywialne. W takim przypadku jest to tylko bezpośrednia suma z kopią rzeczywistej linii. Wynika z tego, że powszechne pokrywa od musi być tylko bezpośrednim produktem uniwersalnym okładce z kopią prawdziwej linii. Możemy następnie podnieś od celu (poprzez komponowanie z mapą obejmującą) i wreszcie ograniczenie tej windy do powszechnego ubezpieczenia od . ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}}}$${\ Displaystyle G \ razy U ({\ matematyka {H}})}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\ Displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle H ^ {2} ({\ mathfrak {g}}; \ mathbb {R})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle H ^ {2} ({\ mathfrak {g}}; \ mathbb {R})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ tylda {H}}}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle {\ tylda {H}}}$${\ Displaystyle {\ tylda {G}}}$${\ Displaystyle G}$

Uwagi

Bibliografia

• Bargmann, Valentine (1954), "Na jednolitych przedstawieniach promieni ciągłych grup", Annals of Mathematics , 59 (1): 1-46, doi : 10.2307/1969831 , JSTOR  1969831
• Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
• Hall, Brian C. (2013), Teoria kwantowa dla matematyków , Teksty magisterskie z matematyki, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015), Grupy Liego, algebry Liego i reprezentacje: wprowadzenie elementarne , teksty magisterskie z matematyki, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Schur, I. (1911), „Über die Darstellung der symetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen” , Crelle's Journal , 139 : 155-250
• Simms, DJ (1971), „Krótki dowód kryterium Bargmanna do podnoszenia reprezentacji projekcyjnych grup Liego”, Raporty z fizyki matematycznej , 2 (4): 283-287, doi : 10.1016/0034-4877(71)90011 -5

Zobacz też

• Reprezentacja afiniczna
• Akcja grupowa
• Centralne rozszerzenie
• Fizyka cząstek i teoria reprezentacji
• Obrót-½
• Spinor
• Symetria w mechanice kwantowej
• Grupa Heisenberg