Operator stanowiska - Position operator

W mechanice kwantowej The stanowisku operatora jest operatora , który odpowiada położeniu obserwowanej z cząstek .

Gdy operator pozycji jest rozpatrywany z wystarczająco szeroką domeną (np. przestrzeń rozkładów temperowanych ), jego wartościami własnymi są możliwe wektory pozycji cząstki.

W jednym wymiarze, jeśli za pomocą symbolu

${\displaystyle |x\rangle}$

oznaczamy unitarny wektor własny operatora pozycji odpowiadającego wartości własnej , zatem reprezentuje stan cząstki, w którym wiemy z pewnością, że sama cząstka znajduje się w pozycji . ${\displaystyle x}$${\displaystyle |x\rangle}$${\displaystyle x}$

Dlatego oznaczając operator pozycyjny symbolem  – w literaturze spotykamy również inne symbole dla operatora pozycyjnego np. (z mechaniki Lagrange'a) i tak dalej – możemy pisać ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\kapelusz {\mathrm {x}}}}$

${\ Displaystyle X | x \ rangle = x | x \ rangle ,}$

na każdą rzeczywistą pozycję . ${\displaystyle x}$

Jedną z możliwych realizacji stanu unitarnego z pozycją jest rozkład delty Diraca (funkcja) wyśrodkowany na pozycji , często oznaczany przez . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ delta _ {x}}$

W mechanice kwantowej uporządkowana (ciągła) rodzina wszystkich rozkładów Diraca, tj. rodzina

${\ Displaystyle \ delta = (\ delta _ {x}) _ {x \ w \ mathbb {R}}}$

nazywana jest (jednolitą) podstawą pozycji (w jednym wymiarze), tylko dlatego, że jest (jednolitą) podstawą operatora pozycji . ${\ Displaystyle X}$

Należy zauważyć, że istnieje tylko jeden liniowy ciągły endomorfizm w przestrzeni rozkładów temperowanych taki, że ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle X (\ delta _ {x}) = x \ delta _ {x},}$

za każdy prawdziwy punkt . Można udowodnić, że unikalny powyższy endomorfizm jest z konieczności zdefiniowany przez ${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle X (\ psi) = \ operatorname {x} \ psi}$

dla każdego rozkładu temperowanego , gdzie oznacza funkcję współrzędnych linii położenia – określoną od linii rzeczywistej do płaszczyzny zespolonej przez ${\ Displaystyle \ psi}$${\displaystyle \mathrm {x}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {x} : \ mathbb {R} \ do \ mathbb {C} : x \ mapsto x.}$

Wprowadzenie

W jednym wymiarze – dla cząstki zamkniętej w linii prostej – moduł kwadratowy

${\ Displaystyle | \ psi | ^ {2} = \ psi ^ {*} \ psi,}$

znormalizowanej całkowalnej funkcji falowej z kwadratem

${\ Displaystyle \ psi : \ mathbb {R} \ do \ mathbb {C}}$

reprezentuje gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pewnym położeniu linii rzeczywistej w określonym czasie. ${\displaystyle x}$

Innymi słowy, jeśli – w pewnym momencie – cząstka znajduje się w stanie reprezentowanym przez całkowalną kwadratową funkcję falową i zakładając, że funkcja falowa ma wartość -norm równą 1, ${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ | \ psi \ | ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | \ psi | ^ {2} d \ operatorname {x} =1,}$

wtedy prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w zakresie pozycji wynosi ${\displaystyle [a,b]}$

${\ Displaystyle \ pi _ {X} (\ psi) ([a, b]) = \ int _ {a} ^ {b} | \ psi | ^ {2} d \ operator {x}}.$

Stąd oczekiwaną wartością pomiaru położenia cząstki jest wartość ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ langle X \ rangle _ {\ psi} = \ int _ {\ mathbb {R}} \ operatorname {x} | \ psi | ^ {2} d \ operatorname {x} = \ int _ {\ mathbb {R} }\psi ^{*}\mathrm {x} \psi d\mathrm {x} ,}$

gdzie:

1. zakłada się, że cząstka jest w stanie ;${\ Displaystyle \ psi}$
2. funkcja ma być całkowalna, tj. class ;${\ Displaystyle \ operatorname {x} | \ psi | ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {1}}$
3. wskazujemy przez funkcję współrzędnych osi pozycji.${\displaystyle \mathrm {x}}$

W związku z tym operator mechaniki kwantowej odpowiadający pozycji obserwowalnej jest również oznaczany przez ${\ Displaystyle X}$

${\displaystyle X={\kapelusz {\mathrm {x}}}}$

i zdefiniowany

${\ Displaystyle \ lewo ({\ kapelusz {\ operatorname {x}}} \ psi \ prawej) (x) = x \ psi (x)}$

dla każdej funkcji falowej i dla każdego punktu rzeczywistej linii. ${\ Displaystyle \ psi}$${\displaystyle x}$

Okalającej na funkcję po lewej stronie wskazuje obecności operatora, tak że to równanie można odczytać: ${\displaystyle \mathrm {x}}$

wynik operatora pozycji działającego na dowolną funkcję falową jest równy funkcji współrzędnej pomnożonej przez funkcję falową .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ psi}$${\displaystyle \mathrm {x}}$${\ Displaystyle \ psi}$

Lub prościej,

operator mnoży dowolną funkcję falową przez funkcję współrzędnych .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ psi}$${\displaystyle \mathrm {x}}$

Uwaga 1. Aby być bardziej precyzyjnym, wprowadziliśmy funkcję współrzędnych

${\ Displaystyle \ mathrm {x} : \ mathbb {R} \ do \ mathbb {C} : x \ mapsto x}$

która po prostu osadza linię pozycyjną w płaszczyźnie zespolonej, jest niczym innym jak kanonicznym osadzeniem linii rzeczywistej w płaszczyźnie zespolonej.

Uwaga 2. Oczekiwana wartość operatora pozycji po funkcji falowej (stanu) może być reinterpretowana jako iloczyn skalarny: ${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ langle X \ rangle _ {\ psi} = \ int _ {\ mathbb {R}} \ mahrm {x} | \ psi | ^ {2} = \ int _ {\ mathbb {R}} \ psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )=\langle \psi |X(\psi )\rangle ,}$

zakładając cząstkę w stanie i zakładając, że funkcja jest klasy  – co od razu implikuje, że funkcja jest całkowalna, tj . klasy . ${\ Displaystyle \ psi \ w L ^ {2}}$${\ Displaystyle \ operatorname {x} \ psi}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle \ operatorname {x} | \ psi | ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {1}}$

Uwaga 3. Ściśle mówiąc, obserwowalną pozycję można punktowo zdefiniować jako ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ kapelusz {\ operatorname {x}}} \ psi \ prawej) (x) = x \ psi (x)}$

dla każdej funkcji falowej i dla każdego punktu linii rzeczywistej, na funkcjach falowych, które są precyzyjnie określonymi funkcjami punktowymi. W przypadku klas równoważności definicja brzmi bezpośrednio następująco: ${\ Displaystyle \ psi}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ psi \ w L ^ {2}}$

${\displaystyle {\kapelusz {\mathrm {x}}}\psi =\mathrm {x} \psi}$

dla każdej funkcji falowej . ${\ Displaystyle \ psi \ w L ^ {2}}$

Podstawowe właściwości

W powyższej definicji, jak uważny czytelnik od razu zauważy, nie ma wyraźnego określenia dziedziny i kodziedziny dla operatora pozycji (w przypadku cząstki ograniczonej linią). W literaturze, mniej lub bardziej wyraźnie, znajdujemy zasadniczo trzy główne kierunki dla tego fundamentalnego zagadnienia.

1. Operator definiuje położenie na podprzestrzeni z tworzy tych klas równoważności , którego produkt przez osadzenie życia w przestrzeni , jak również. W tym przypadku operator pozycji${\displaystyle D_{X}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle \ psi}$${\displaystyle \mathrm {x}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$
   $${\ Displaystyle X: D_ {X} \ do L ^ {2}: \ psi \ mapsto \ operatorname {x} \ psi}$$

   
   ujawnia nieciągły (nieograniczony w odniesieniu do topologii indukowanej przez kanoniczny iloczyn skalarny ), bez wektorów własnych, bez wartości własnych, w konsekwencji z pustym widmem własnym (zbiór jego wartości własnych).${\ Displaystyle L ^ {2}}$
2. Operator pozycji jest zdefiniowany w przestrzeni zespolonych funkcji Schwartza (gładkie funkcje zespolone zdefiniowane na linii rzeczywistej i szybko malejące w nieskończoności ze wszystkimi ich pochodnymi). Produkt funkcji Schwartza przez osadzanie żyje zawsze w przestrzeni , która jest podzbiorem . W tym przypadku operator pozycji${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle \mathrm {x}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$
   $${\ Displaystyle X: {\ mathcal {S}} _ {1} \ do {\ mathcal {S}} _ {1}: \ psi \ mapsto \ operatorname {x} \ psi}$$

   
   ujawnia ciągłą (w odniesieniu do kanonicznej topologii ), injektywną, bez wektorów własnych, bez wartości własnych, w konsekwencji z pustym widmem własnym (zbiór jego wartości własnych). Jest (w pełni) sprzężony w odniesieniu do iloczynu skalarnego w takim sensie, że:${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$
   $${\ Displaystyle \ langle X (\ psi) | \ phi \ rangle = \ langle \ psi | X (\ phi ) \ rangle,}$$

   
   za każdego i należące do jego domeny .${\ Displaystyle \ psi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$
3. Jest to w praktyce najszerzej przyjmowany wybór w literaturze mechaniki kwantowej, choć nigdy wyraźnie nie podkreślony. Operator pozycji jest zdefiniowany w przestrzeni o wartościach zespolonych rozkładów temperowanych (topologiczny dual przestrzeni funkcji Schwartza ). Produkt o umiarkowanym rozkładzie przez osadzanie żyje zawsze w przestrzeni zawierającej . W tym przypadku operator pozycji${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}^{\prim}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle \mathrm {x}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}^{\prim}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$
   $${\ Displaystyle X: {\ mathcal {S}} _ {1} ^ {\ prime} \ do {\ mathcal {S}} _ {1} ^ {\ prime}: \ psi \ mapsto \ operatorname {x} \ psi }$$

   
   ujawnia ciągłą (w odniesieniu do kanonicznej topologii ), surjektywną, obdarzoną pełnymi rodzinami wektorów własnych, rzeczywistymi wartościami własnymi i widmem własnym (zbiór jego wartości własnych) równym linii rzeczywistej. Jest samosprzężony względem iloczynu skalarnego w tym sensie, że jego operator transpozycji trans${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}^{\prim}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$
   $${\ Displaystyle {} ^ {t} X: {\ mathcal {S}} _ {1} \ do {\ mathcal {S}} _ {1}: \ phi \ mapsto \ operatorname {x} \ phi}$$

   
   który jest operatorem pozycji w przestrzeni funkcji Schwartza, jest samosprzężony:
   $${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ lewo. \ {} ^ {t} X (\ phi ) \ prawo | \ psi \ prawo \ rangle = \ lewo \ langle \ phi | \ {} ^ { t} X ( \psi )\prawo\rangle ,}$$

   
   dla każdej funkcji (testowej) i należącej do przestrzeni .${\displaystyle \phi}$${\ Displaystyle \ psi}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$

Państwa własne

Funkcje własne operatora pozycji (na przestrzeni rozkładów temperowanych), reprezentowane w przestrzeni pozycji , są funkcjami delta Diraca .

Nieformalny dowód. Aby pokazać, że możliwe wektory własne operatora pozycji muszą koniecznie być rozkładami delta Diraca, załóżmy, żejest to stan własny operatora pozycji z wartością własną. Piszemy równanie wartości własnej we współrzędnych pozycji, ${\ Displaystyle \ psi}$${\displaystyle x_{0}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ operatorname {x}}} \ psi (x) = \ operatorname {x} \ psi (x) = x_ {0} \ psi (x)}$

przypominając, że po prostu mnoży funkcje falowe przez funkcję , w reprezentacji pozycji. Ponieważ funkcja jest zmienna, while jest stałą, musi wynosić zero wszędzie z wyjątkiem punktu . Oczywiście żadna funkcja ciągła nie spełnia takich właściwości, ponadto nie możemy po prostu zdefiniować funkcji falowej jako liczby zespolonej w tym momencie, ponieważ jej -normą byłoby 0, a nie 1. Sugeruje to potrzebę „obiektu funkcjonalnego” skoncentrowanego na punkt i z całką różną od 0: dowolna wielokrotność delty Diraca o środku w${\displaystyle {\kapelusz {\mathrm {x}}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\ Displaystyle \ psi}$${\displaystyle x_{0}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}.\blacksquare}$

Znormalizowane rozwiązanie równania

${\ Displaystyle \ operatorname {x} \ psi = x_ {0} \ psi}$

jest

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ delta (x-x_ {0})}$

albo lepiej

${\ Displaystyle \ psi = \ delta _ {x_ {0}}}$ .

Dowód. Tutaj rygorystycznie udowadniamy, że

${\ Displaystyle \ operatorname {x} \ delta _ {x_ {0}} = x_ {0} \ delta _ {x_ {0}}.}$

Rzeczywiście, przypominając, że iloczyn dowolnej funkcji przez rozkład Diraca wyśrodkowany w punkcie jest wartością funkcji w tym punkcie razy sam rozkład Diraca, otrzymujemy natychmiast

${\ Displaystyle \ operatorname {x} \ delta _ {x_ {0}} = \ operatorname {x} (x_ {0}) \ delta _ {x_ {0}} = x_ {0} \ delta _ {x_ {0 }}.\czarny kwadrat }$

Znaczenie fali delta Diraca. Chociaż takie stany Diraca są fizycznie niemożliwe do zrealizowania i, ściśle mówiąc, nie są funkcjami, rozkład Diraca skoncentrowany na może być uważany za „stan idealny”, którego położenie jest dokładnie znane (każdy pomiar położenia zawsze zwraca wartość własną ). Stąd zgodnie z zasadą nieoznaczoności nic nie wiadomo o pędzie takiego stanu. ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

Trzy wymiary

Uogólnienie na trzy wymiary jest proste.

Funkcja falowa czasoprzestrzeni to teraz, a wartość oczekiwana operatora pozycji w stanie to ${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r} , t)}$${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {r}}}}$${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ lewo \ langle {\ kapelusz {\ mathbf {r}}} \ prawo \ rangle _ {\ psi} = \ int \ mathbf {r} | \ psi | ^ {2} d ^ {3} \ mathbf {r} }$

gdzie całka jest przejmowana przez całą przestrzeń. Operatorem pozycji jest

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {r}} \ psi = \ mathbf {r} \ psi}$

Przestrzeń pędu

Zwykle w mechanice kwantowej przez reprezentację w przestrzeni pędów zamierzamy przedstawić stany i obserwable w odniesieniu do kanonicznej unitarnej bazy pędu

${\ Displaystyle \ eta = \ lewo (\ lewo [(2 \ pi \ hbar) ^ {- {\ Frac {1} {2}}} e ^ {(\ iota / \ hbar) (\ operator {x} | p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.}$

W przestrzeni pędów operator pozycji w jednym wymiarze jest reprezentowany przez następujący operator różniczkowy

${\ Displaystyle \ lewo ({\ kapelusz {\ operatorname {x}}} \ prawej) _ {P} = i \ hbar {\ Frac {d} {d \ operatorname {p}}} = ja {\ Frac {d }{d\mathrm {k} }},}$

gdzie:

• reprezentacja operatora pozycji w bazie pędu jest naturalnie zdefiniowana przez , dla każdej funkcji falowej (rozkład temperowany) ;${\ Displaystyle \ lewo ({\ kapelusz {\ operatorname {x}}} \ prawej) _ {P} (\ psi) _ {P} = \ lewo ({\ kapelusz {\ operatorname {x}}} \ psi \ dobrze)_{P}}$${\ Displaystyle \ psi}$
• ${\displaystyle \mathrm {p}}$reprezentuje funkcję współrzędnych na linii pędu, a funkcja wektora falowego jest zdefiniowana przez .${\displaystyle \mathrm {k}}$${\ Displaystyle \ operatorname {k} = \ operatorname {p} / \ hbar}$

Formalizm w L ² ( R , C )

Rozważmy na przykład przypadek cząstki bez spinu poruszającej się w jednym wymiarze przestrzennym (tj. po linii). Przestrzeń stanów dla takich cząstek zawiera L ² -kosmiczna ( przestrzeń Hilberta ) o wartościach zespolonych i kwadratowe zabudowy (w odniesieniu do środka Lebesgue'a ) funkcji na prostej . ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} , \ mathbb {C})}$

Operator stanowiska w , ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} , \ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle Q: D_ {Q} \ do L ^ {2} (\ mathbb {R}, \ mathbb {C}): \ psi \ mapsto \ operatorname {q} \ psi}$

jest punktowo definiowana przez:

${\ Displaystyle Q (\ psi ) (x) = x \ psi (x) = \ operatorname {q} (x) \ psi (x)}$

dla każdej punktowo określonej kwadratowej klasy całkowalnej i dla każdej liczby rzeczywistej x, z dziedziną ${\ Displaystyle \ psi \ w D_ {Q}}$

${\ Displaystyle D_ {Q} = \ lewo \ {\ psi \ w L ^ {2} ({\ mathbb {R}}}) \ mid \ mahrm {q} \ psi \ w L ^ {2} ({\ mathbb {R} })\prawo\},}$

gdzie jest funkcja współrzędnych wysyłająca każdy punkt do siebie. ${\ Displaystyle \ mathrm {q} : \ mathbb {R} \ do \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} }$

Ponieważ wszystkie funkcje ciągłe ze zwartą podporą leżą w D(Q) , Q jest gęsto zdefiniowane . Q , będąc po prostu mnożeniem przez x , jest operatorem samosprzężonym , spełniającym w ten sposób wymaganie obserwowalnej mechaniki kwantowej.

Bezpośrednio z definicji możemy wywnioskować, że widmo składa się z całej linii rzeczywistej i że Q ma widmo czysto ciągłe , a zatem nie ma dyskretnych wartości własnych .

Przypadek trójwymiarowy jest zdefiniowany analogicznie. W dalszej dyskusji zachowamy założenie jednowymiarowe.

Teoria pomiaru w L ² ( R , C )

Jak w przypadku każdego obserwowalnego mechaniki kwantowej , aby omówić pomiar pozycji , musimy obliczyć rozdzielczość widmową operatora pozycji .

${\ Displaystyle X: D_ {X} \ do L ^ {2} (\ mathbb {R}, \ mathbb {C}): \ psi \ mapsto \ operatorname {x} \ psi}$

który jest

${\ Displaystyle X = \ int _ {\ mathbb {R}} \ \ lambda \ d \ mu _ {X} (\ lambda) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ \ operatorname {x} \ \ mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x} ),}$

gdzie jest tak zwana miara widmowa operatora pozycji. ${\ Displaystyle \ mu _ {X}}$

Ponieważ operator jest tylko operatorem mnożenia przez funkcję osadzania , jego rozdzielczość widmowa jest prosta. ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {x}}$

Dla Borel podzbiór rzeczywistej linii, niech oznaczają funkcję wskaźnika z . Widzimy, że miara o wartości projekcji${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ chi _ {B}}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ mu _ {X}: {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}) \ do \ mathbb {Pr} ^ {\ sprawca} \ lewo (L ^ {2} (\ mathbb {R}) ,\mathbb {C} )\prawo)}$

jest dany przez

${\ Displaystyle \ mu _ {X} (B) (\ psi) = \ chi _ {B} \ psi}$

tj. rzut ortogonalny jest operatorem mnożenia przez funkcję wskaźnika . ${\ Displaystyle \ mu _ {X} (B)}$${\ Displaystyle B}$

Zatem jeśli układ jest przygotowany w stanie , to prawdopodobieństwo zmierzonego położenia cząstki należącej do zbioru borelowskiego wynosi ${\ Displaystyle \ psi}$ ${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ | \ mu _ {X} (B) (\ psi ) \ | ^ {2} = \ | \ chi _ {B} \ psi \ | ^ {2} = \ int _ {B} | \ psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B),}$

gdzie jest miara Lebesgue'a na linii rzeczywistej. ${\ Displaystyle \ mu}$

Po każdym pomiarze mającym na celu wykrycie cząstki w podzbiorze B funkcja falowa załamuje się do:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ mu _ {X} (B) \ psi {\ | \ mu _ {X} (B) \ psi \ |}} = {\ Frac {\ Chi _ {B} \ psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}}$

lub

${\ Displaystyle {\ Frac {(1-\ chi _ {B}) \ psi {\ | (1- \ chi _ {B}) \ psi \ |}}}$

gdzie jest norma przestrzeni Hilberta na . ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} , \ mathbb {C})}$

Zobacz też

• Pozycja i przestrzeń pędu
• Operator pędu
• Operator tłumaczenia (mechanika kwantowa)

Bibliografia