Projekcja (matematyka) - Projection (mathematics)
W matematyce , A występ jest odwzorowaniem w zestawie (lub w innej konstrukcji matematycznej ) do podzbioru (lub) konstrukcji nośnej, która równa jest kwadratowy kompozycji odwzorowania (lub, innymi słowy, co idempotent ). Ograniczenie do podprzestrzeni projekcji jest nazywany również projekcję , nawet jeżeli nieruchomość idempotentność jest stracone. Codziennym przykładem projekcji jest rzucanie cieni na płaszczyznę (kartkę papieru). Rzut punktu jest jego cieniem na kartce papieru. Cień punktu na kartce papieru jest właśnie tym punktem (idempotencja). Cień trójwymiarowej kuli to zamknięty dysk. Pierwotnie pojęcie rzutowania zostało wprowadzone do geometrii euklidesowej na oznaczenie rzutowania przestrzeni euklidesowej trzech wymiarów na znajdującą się w niej płaszczyznę, podobnie jak przykład cienia. Dwie główne prognozy tego rodzaju to:
- Projekcji od punktu na płaszczyźnie lub występu środkowego : Jeżeli C jest punkt, zwany środek projekcji , wówczas występ punktu P różni się od C na płaszczyźnie, która nie zawiera C jest punkt przecięcia linii CP z samolot. Punkty P takie, że prosta CP jest równoległa do płaszczyzny, nie mają żadnego obrazu w rzucie, ale często mówi się, że rzutują na punkt na nieskończoności płaszczyzny ( sformalizowanie tej terminologii patrz geometria rzutowa ). Rzut samego punktu C nie jest zdefiniowany.
- Równolegle występ w kierunku D na płaszczyźnie lub występem równoległego : obraz punktu P, to punkt przecięcia z płaszczyzną równoległą do D, przechodzi przez P . Zobacz Affine space § Projekcja, aby uzyskać dokładną definicję, uogólnioną na dowolny wymiar.
Pojęcie rzutowania w matematyce jest bardzo stare, najprawdopodobniej ma swoje korzenie w zjawisku cieni rzucanych przez obiekty świata rzeczywistego na ziemię. Ta podstawowa idea została udoskonalona i wyabstrahowana, najpierw w kontekście geometrycznym, a później w innych gałęziach matematyki. Z biegiem czasu powstały różne wersje koncepcji, ale dziś, w wystarczająco abstrakcyjnym otoczeniu, możemy te wariacje ujednolicić.
W kartografii , o projekcja map jest mapa część powierzchni Ziemi na płaszczyznę, która w niektórych przypadkach, ale nie zawsze, jest ograniczenie występu w powyższym rozumieniu. W 3D rzuty są również na podstawie teorii perspektywy .
Konieczność ujednolicenia tych dwóch rodzajów rzutów i zdefiniowania obrazu przez rzut centralny dowolnego punktu innego niż środek rzutu leży u źródeł geometrii rzutowej . Jednak transformacja projekcyjna jest bijekcją przestrzeni projekcyjnej, właściwością, której nie dzielimy z projekcjami tego artykułu.
Definicja
W układzie abstrakcyjnym możemy ogólnie powiedzieć, że rzut jest odwzorowaniem zbioru (lub struktury matematycznej ), który jest idempotentny , co oznacza, że rzut jest równy swojemu złożeniu ze sobą. Projekcja może również odnosić się do mapowania, która ma prawo odwrotności. Oba pojęcia są ze sobą silnie powiązane, co następuje. Niech p będzie idempotentnym odwzorowaniem zbioru A na siebie (a więc p ∘ p = p ) i B = p ( A ) będzie obrazem p . Jeśli oznaczymy przez Õ mapa s postrzegane jako mapa z A na B i I do iniekcji z B do A (tak, że P = I ∘ π ), to mamy gatunku ∘ I = id B (tak, że π ma prawo odwrotne). I odwrotnie, jeśli π ma prawo odwrotne, to π ∘ i = Id B implikuje, że i ∘ π jest idempotentne.
Aplikacje
Pierwotne pojęcie rzutowania zostało rozszerzone lub uogólnione na różne sytuacje matematyczne, często, choć nie zawsze, związane z geometrią, na przykład:
- W teorii mnogości :
- Operacja charakteryzuje przez j -tego odwzorowania , napisany proj j , że bierze elementu x = ( x 1 , ..., x j , ..., x k ) z iloczynu kartezjańskiego X 1 × ⋯ × X j × ⋯ × X k do wartości proj j ( x ) = x j . Ta mapa jest zawsze suriektywna .
- Odwzorowanie, które przenosi element do jego klasy równoważności w ramach danej relacji równoważności, jest znane jako projekcja kanoniczna .
- Mapa oceny wysyła funkcję f do wartości f ( x ) dla ustalonego x . Przestrzeń funkcji Y X można utożsamić z iloczynem kartezjańskim , a mapa ocen jest mapą rzutową z iloczynu kartezjańskiego.
- Dla relacyjnych baz danych i zapytań językach The projekcja jest jednoskładnikowa operacja zapisać jako gdzie jest zbiorem nazw atrybutów. Wynik takiego rzutowania jest zdefiniowany jako zbiór, który uzyskuje się, gdy wszystkie krotki w R są ograniczone do zbioru . R jest relacją bazy danych .
- W geometrii sferycznej rzut kuli na płaszczyznę został wykorzystany przez Ptolemeusza (~150) w swoim Planisphaerium . Metoda ta nazywana jest projekcją stereograficzną i wykorzystuje płaszczyznę styczną do kuli oraz biegun C naprzeciw punktu styczności. Każdy punkt P na sferze poza C wyznacza linię CP przecinającą płaszczyznę w rzutowanym punkcie dla P . Korespondencja sprawia, że sfera jest jednopunktowym zagęszczeniem płaszczyzny, gdy punkt w nieskończoności jest uwzględniony, aby odpowiadał C , które w przeciwnym razie nie ma rzutu na płaszczyznę. Typowym przykładem jest płaszczyzna zespolona, w której zagęszczenie odpowiada sferze Riemanna . Alternatywnie, półkula jest często rzutowana na płaszczyznę za pomocą projekcji gnomonicznej .
- W Algebra liniowego , o liniowej transformacji , która pozostaje bez zmian, jeżeli stosuje się dwukrotnie ( p ( U ) = P ( P ( U ))), innymi słowy, idempotent operatora. Na przykład odwzorowanie, które pobiera punkt ( x , y , z ) w trzech wymiarach do punktu ( x , y , 0) na płaszczyźnie jest rzutem. Ten typ odwzorowania naturalnie uogólnia się na dowolną liczbę wymiarów n dla źródła i k ≤ n dla celu odwzorowania. Zobacz rzutowanie prostopadłe , rzutowanie (algebra liniowa) . W przypadku rzutów ortogonalnych przestrzeń dopuszcza dekompozycję jako iloczyn, a operator rzutowania jest w tym sensie rzutem.
- W topologii różnicowej każda wiązka światłowodów zawiera mapę rzutowania jako część swojej definicji. Przynajmniej lokalnie ta mapa wygląda jak mapa rzutowania w sensie topologii produktu i dlatego jest otwarta i surjektywna.
- W topologii , o odsunięcie jest ciągła mapa r : X → X , która ogranicza się do mapy tożsamości na jego obraz. Spełnia to podobny warunek idempotentności r 2 = r i może być uważane za uogólnienie mapy projekcji. Obraz wycofania nazywany jest wycofaniem oryginalnej przestrzeni. Wycofanie, które jest homotopiczne w stosunku do tożsamości, jest znane jako wycofanie deformacyjne . Termin ten jest również używany w teorii kategorii w odniesieniu do dowolnego epimorfizmu rozszczepionego.
- Skalarne występ (lub zdecydowany) jednego wektora na inny.
- W teorii kategorii powyższe pojęcie iloczynu kartezjańskiego zbiorów można uogólnić na dowolne kategorie . Produkt niektórych obiektów posiada kanoniczną projekcji morfizm do każdego czynnika. Ta projekcja przyjmie wiele form w różnych kategoriach. Projekcja z iloczyn kartezjański z zestawów The topologia produktowa z przestrzeni topologicznych (który jest zawsze suriekcją i otwarty ), albo z bezpośrednim produktem z grupy itp Chociaż te morfizmami są często epimorfizm a nawet suriekcją, one nie muszą być .
Bibliografia
Dalsza lektura
- Thomas Craig (1882) Traktat o projekcjach z historycznej kolekcji matematyki Uniwersytetu Michigan .