Interakcja Quartic - Quartic interaction

W kwantowej teorii pola , A Quartic interakcja jest rodzajem siebie oddziaływania na pola skalarnego . Inne rodzaje oddziaływań kwarcowych można znaleźć w temacie oddziaływań czterofermionowych . Klasyczne swobodne pole skalarne spełnia równanie Kleina-Gordona . Jeśli oznaczymy pole skalarne , interakcja kwartyczna jest reprezentowana przez dodanie potencjalnego terminu do gęstości Lagrange'a . Stałe sprzęgania są bezwymiarowe w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni . ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$${\ Displaystyle ({\ lambda} / {4!}) \ varphi ^ {4}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$

Ten artykuł wykorzystuje podpis metryki dla przestrzeni Minkowskiego . ${\displaystyle (+,-,-,-)}$

Lagranżian dla prawdziwego pola skalarnego

Lagrange'a gęstości dla rzeczywistego pola skalarnego z Quartic interakcji jest

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi ) = {\ Frac {1} {2}} [\ częściowy ^ {\ mu} \ varphi \ częściowy _ {\ mu} \ varphi -m ^ {2} \varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}$

Ten lagranżian ma globalne odwzorowanie symetrii Z ₂ . ${\ Displaystyle \ varphi \ do - \ varphi }$

Lagranżjan dla złożonego pola skalarnego

Lagrange'a dla złożonego pola skalarnego można motywować w następujący sposób. Dla dwóch pól skalarnych i Lagrange'a ma postać ${\ Displaystyle \ varphi _ {1}}$${\ Displaystyle \ varphi _ {2}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi _ {1}, \ varphi _ {2}) = {\ frac {1} {2}} [\ częściowy _ {\ mu} \ varphi _ {1} \partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\ varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\ varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},}$

które można napisać bardziej zwięźle wprowadzając złożone pole skalarne zdefiniowane jako ${\displaystyle \phi}$

${\ Displaystyle \ phi \ equiv {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ varphi _ {1} + i \ varphi _ {2}),}$

${\ Displaystyle \ phi ^ {*} \ równoważnik {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ varphi _ {1}-i \ varphi _ {2}).}$

Wyrażony w kategoriach tego pola skalarnego, powyższy lagranżan staje się

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi ) = \ częściowy ^ {\ mu} \ phi ^ {*} \ częściowy _ {\ mu} \ phi -m ^ {2} \ phi ^ {*} \ phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},}$

co jest zatem równoważne modelowi SO(2) rzeczywistych pól skalarnych , co można zobaczyć, rozszerzając złożone pole na części rzeczywiste i urojone. ${\ Displaystyle \ varphi _ {1} \ varphi _ {2}}$${\displaystyle \phi}$

Przy rzeczywistych polach skalarnych możemy mieć model z globalną symetrią SO(N) podaną przez Lagrange'a ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ varphi ^ {4}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi _ {1}, ... \ varphi _ {N}) = {\ Frac {1} {2}} [\ częściowy ^ {\ mu} \ varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda ( \varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

Rozszerzenie ciała złożonego na części rzeczywiste i urojone pokazuje, że jest ono równoważne modelowi SO(2) rzeczywistych pól skalarnych.

We wszystkich powyższych modelach stała sprzężenia musi być dodatnia, ponieważ w przeciwnym razie potencjał poniżej byłby nieograniczony i nie byłoby stabilnej próżni. Również całka ścieżki Feynmana omówiona poniżej byłaby źle zdefiniowana. W 4 wymiarach teorie mają biegun Landaua . Oznacza to, że bez odcięcia w skali wysokoenergetycznej renormalizacja uczyniłaby teorię trywialną . ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ phi ^ {4}}$

Kwantyzacja całkowa Feynmana

Schemat Feynman rozszerzenie może być otrzymany również z Feynman integralną preparatu ścieżki . Czas uporządkowane wartości oczekiwane próżni wielomianów cp, znane jako n -particle funkcji Greena, są wykonane poprzez zintegrowanie na wszystkie możliwe pola znormalizowaną przez wartość oczekiwaną próżni bez pól zewnętrznych

${\ Displaystyle \ langle \ Omega | {\ mathcal {T}} \ {{\ phi} (x_ {1}) \ cdots {\ phi} (x_ {n}) \} | \ Omega \ rangle = {\ Frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2 }\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4 }\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

Wszystkie te funkcje Greena można uzyskać przez rozwinięcie wykładnika w J ( x )φ( x ) w funkcji generującej

${\ Displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi e ^ {i \ int d ^ {4} x \ lewo ({1 \ ponad 2} \ częściowy ^ {\ mu} \ phi \ częściowe _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z [0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1} )\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$

Obrót Wick mogą być stosowane, aby czas urojony. Zmiana sygnatury na (++++) daje następnie całkę mechaniki statystycznej φ ⁴ nad 4-wymiarową przestrzenią euklidesową ,

${\ Displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi e ^ {- \ int d ^ {4} x \ lewo ({1 \ ponad 2} (\ nabla \ phi) ^ {2} +{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

Zwykle stosuje się to do rozpraszania cząstek o ustalonym pędzie, w którym to przypadku przydatna jest transformata Fouriera , dająca zamiast

${\ Displaystyle {\ tylda {Z}} [{\ tylda {J}}] = \ int {\ mathcal {D}} {\ tylda {\ phi}} e ^ {- \ int d ^ {4} p \ left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+ {\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi ) ^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tylda {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tylda {\phi }}(p_{3}) }\Prawidłowy)}.}$

gdzie jest funkcja delta Diraca . ${\ Displaystyle \ delta (x)}$

Standardową sztuczką do oceny tej całki funkcjonalnej jest zapisanie jej jako iloczynu czynników wykładniczych, schematycznie,

${\ Displaystyle {\ tylda {Z}} [{\ tylda {J}}] = \ int {\ mathcal {D}}} \ tylda {\ phi}} \ prod _ {p} \ lewo [e ^ {- (p^{2}+m^{2}){\tylda {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \ ponad (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi ) ^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tylda {\phi }}(p){\tylda {\phi }}(p_{1}) {\tylda {\phi }}(p_{2}){\tylda {\phi }}(p_{3})}e^{{\tylda {J}}{\tylda {\phi }}}\right ].}$

Drugie dwa czynniki wykładnicze można rozwinąć jako szereg potęgowy, a kombinatorykę tego rozwinięcia można przedstawić graficznie. Całka z λ = 0 może być traktowana jako iloczyn nieskończenie wielu elementarnych całek Gaussa, a wynik może być wyrażony jako suma diagramów Feynmana , obliczona przy użyciu następujących reguł Feynmana:

• Każde pole w n- punktowej funkcji Euklidesa Greena jest reprezentowane na wykresie przez linię zewnętrzną (pół-krawędź) i związane z pędem p .${\displaystyle {\tylda {\phi}}(p)}$
• Każdy wierzchołek jest reprezentowany przez współczynnik -λ .
• Przy danym rzędzie λ ^k , wszystkie diagramy z n zewnętrznymi liniami i k wierzchołkami są skonstruowane tak, że pędy wpływające do każdego wierzchołka wynoszą zero. Każda linia wewnętrzna jest reprezentowana przez współczynnik 1/( q ² + m ² ), gdzie q jest pędem przepływającym przez tę linię.
• Wszelkie nieograniczone pędy są integrowane po wszystkich wartościach.
• Wynik jest dzielony przez współczynnik symetrii, który jest liczbą sposobów, w jakie linie i wierzchołki wykresu mogą zostać przestawione bez zmiany jego łączności.
• Nie należy uwzględniać wykresów zawierających „pęcherzyki próżniowe”, połączonych podgrafów bez linii zewnętrznych.

Ostatnia reguła uwzględnia efekt dzielenia przez . Reguły Minkowskiego w przestrzeni Feynmana są podobne, z wyjątkiem tego, że każdy wierzchołek jest reprezentowany przez , podczas gdy każda linia wewnętrzna jest reprezentowana przez współczynnik i /( q ² - m ² + i ε ), gdzie składnik ε reprezentuje małą rotację Wicka potrzebną do sprawiają, że całka Minkowskiego w przestrzeni Gaussa jest zbieżna. ${\ Displaystyle {\ tylda {Z}} [0]}$${\displaystyle-i\lambda}$ 

Renormalizacja

Całki nad nieograniczonym pędem, zwane „całkami pętlowymi”, w grafach Feynmana zazwyczaj są rozbieżne. Jest to zwykle obsługiwane przez renormalizację , która jest procedurą dodawania rozbieżnych przeciwwarunków do Lagranżianu w taki sposób, że diagramy skonstruowane z oryginalnego Lagrange'a i przeciwwarunków są skończone. W procesie należy wprowadzić skalę renormalizacji, od której uzależniona jest stała sprzężenia i masa. To właśnie ta zależność prowadzi do wspomnianego wcześniej bieguna Landaua i wymaga, aby odcięcie było ograniczone. Alternatywnie, jeśli pozwoli się, aby odcięcie sięgało nieskończoności, bieguna Landaua można uniknąć tylko wtedy, gdy zrenormalizowane sprzężenie osiągnie zero, czyniąc teorię trywialną .

Spontaniczne łamanie symetrii

Ciekawa cecha może wystąpić, gdy m ^{2 stanie} się ujemne, ale przy λ nadal będzie dodatnie. W tym przypadku próżnia składa się z dwóch stanów o najniższej energii, z których każdy spontanicznie łamie globalną symetrię Z ₂ pierwotnej teorii. Prowadzi to do pojawienia się interesujących stanów zbiorowych, takich jak ściany domen . W teorii O (2) próżnia leżałaby na okręgu, a wybór jednej z nich spontanicznie złamałby symetrię O (2). Ciągła przerwana symetria prowadzi do bozonu Goldstone'a . Ten rodzaj spontanicznego łamania symetrii jest zasadniczym elementem mechanizmu Higgsa .

Spontaniczne łamanie dyskretnych symetrii

Najprostszym układem relatywistycznym, w którym obserwujemy spontaniczne łamanie symetrii, jest układ z pojedynczym polem skalarnym z Lagrange'em ${\displaystyle \varphi}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi ) = {\ Frac {1} {2}} (\ częściowy \ varphi ) ^ {2} + {\ Frac {1} {2}} \ mu ^ { 2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}- V(\varphi ),}$

gdzie i ${\ Displaystyle \ mu ^ {2}> 0}$

${\ Displaystyle V (\ varphi ) \ equiv - {\ Frac {1} {2}} \ mu ^ {2} \ Varphi ^ {2} + {\ Frac {1} {4}} \ Lambda \ Varphi ^ { 4}.}$

Minimalizowanie potencjału w odniesieniu do leadów do ${\displaystyle \varphi}$

${\ Displaystyle V '(\ varphi _ {0}) = 0 \ Longleftrightarrow \ varphi _ {0} ^ {2} \ equiv v ^ {2} = {\ Frac {\ mu ^ {2}} {\ lambda} }.}$

Teraz rozszerzamy pole wokół tego minimalnego pisania

${\ Displaystyle \ varphi (x) = v + \ sigma (x)}$

i zastępując lagranżian otrzymujemy

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi ) = \ usztywnienie {- {\ Frac {\ mu ^ {4}}{4 \ lambda}}} _ {\ tekst {nieważna stała}} + \ usztywnienie { {\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{ masywne pole skalarne}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{samointerakcje}} .}$

gdzie zauważamy, że skalar ma teraz dodatni człon masy. ${\displaystyle \sigma}$

Myślenie w kategoriach wartości oczekiwanych próżni pozwala nam zrozumieć, co dzieje się z symetrią, gdy zostaje ona spontanicznie złamana. Oryginalny lagranżian był niezmienny w symetrii . Odkąd ${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi}$

${\ Displaystyle \ langle \ Omega | \ varphi | \ Omega \ rangle = \ pm {\ sqrt {\ Frac {6 \ mu ^ {2}} {\ lambda}}}}$

oba są minimami, muszą być dwie różne próżni: z ${\ Displaystyle | \ Omega _ {\ pm} \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle \ Omega _ {\ pm} | \ varphi | \ Omega _ {\ pm} \ rangle = \ pm {\ sqrt {\ Frac {6 \ mu ^ {2}} {\ lambda}}}. }$

Ponieważ symetria przyjmuje , musi również przyjąć . Dwie możliwe próżni dla teorii są równoważne, ale należy wybrać jedną. Chociaż wydaje się, że w nowym Lagrange'u symetria zniknęła, nadal istnieje, ale teraz zachowuje się tak, jak jest. i często realizowane tylko w sposób nieliniowy. ${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi}$${\ Displaystyle | \ Omega _ {+} \ rangle \ leftrightarrow | \ Omega _ {-} \ rangle}$${\displaystyle Z_{2}}$${\ Displaystyle \ sigma \rightarrow - \ sigma -2v.}$

Dokładne rozwiązania

Istnieje zbiór dokładnych klasycznych rozwiązań równania ruchu teorii zapisanego w postaci

${\ Displaystyle \ częściowy ^ {2} \ Varphi + \ mu _ {0} ^ {2} \ Varphi + \ Lambda \ Varphi ^ {3} = 0}$

które można napisać dla bezmasowych, przypadek jak ${\ Displaystyle \ mu _{0} = 0}$

${\ Displaystyle \ varphi (x) = \ pm \ mu \ lewo ({\ Frac {2} {\ lambda}} \ prawej) ^ {1 \ ponad 4} {\ rm {sn}} (p \ cdot x + \ theta ,-1),}$

z funkcją eliptyczną Jacobiego i dwiema stałymi całkowania, pod warunkiem, że zachodzi następująca zależność dyspersyjna${\displaystyle \{\rm {sn\!}}}$${\displaystyle \,\mu,\theta}$

${\ Displaystyle p ^ {2} = \ mu ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ lambda} } {2}} \ po prawej) ^ {1 \ ponad 2}.}$

Interesujące jest to, że zaczęliśmy od równania bezmasowego, ale dokładne rozwiązanie opisuje falę o zależności dyspersji właściwej dla rozwiązania masowego. Gdy składnik masy nie jest zerowy, otrzymuje się

${\ Displaystyle \ varphi (x) = \ pm {\ sqrt {\ Frac {2 \ mu ^ {4}} \ mu _ {0} ^ {2} + {\ sqrt {\ mu _ {0} ^ { 4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{ 2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _ {0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}\prawo)}$

będąc teraz relacją dyspersji

${\ Displaystyle p ^ {2} = \ mu _ {0} ^ {2} + {\ Frac {\ lambda \ mu ^ {4}} {\ mu _ {0} ^ {2} + {\ sqrt {\ mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.}$

Wreszcie, w przypadku złamania symetrii należy:

${\ Displaystyle \ varphi (x) = \ pm v \ cdot {\ rm {dn}} (p \ cdot x + \ theta, ja),}$

istnienie i następująca relacja dyspersyjna zachodzi ${\ Displaystyle V = {\ sqrt {\ Frac {2 \ mu _ {0} ^ {2}} {3 \ lambda}}}}$

${\ Displaystyle p ^ {2} = {\ Frac {\ lambda v ^ {2}} {2}}.}$

Te rozwiązania falowe są interesujące, ponieważ pomimo tego, że zaczęliśmy od równania z niewłaściwym znakiem masy, relacja dyspersji jest prawidłowa. Poza tym funkcja Jacobiego nie ma rzeczywistych zer, więc pole nigdy nie jest zerem, ale porusza się wokół danej stałej wartości, która jest początkowo wybrana jako opis spontanicznego złamania symetrii. ${\displaystyle \{\rm {dn}}\!}$

Dowodem na wyjątkowość może być stwierdzenie, że rozwiązania można szukać w postaci będącej . Wówczas równanie różniczkowe cząstkowe staje się równaniem różniczkowym zwyczajnym, czyli tym, które definiuje funkcję eliptyczną Jacobiego z zachowaniem właściwej relacji dyspersji. ${\ Displaystyle \ varphi = \ varphi ( \ xi )}$${\ Displaystyle \ xi = p \ cdot x}$${\displaystyle p}$

Zobacz też

• Skalarna teoria pola
• Trywialność kwantowa
• Pole Landau
• Renormalizacja
• Mechanizm Higgsa
• bozon Goldstone
• Potencjał Colemana-Weinberga

Bibliografia

Dalsza lektura

• 't Hooft, G. , „The Conceptual Basis of Quantum Field Theory” ( wersja online ).
• Bazghandi, Mustafa (sierpień 2019). „Symetrie kłamstwa i rozwiązania podobieństwa równania phi-cztery”. Indian Journal of Mathematics . 61 (2): 187-197.