Funkcja kwadratowa - Quadratic function

W Algebra , A funkcją kwadratową , A kwadratowy wielomian , A wielomianem stopnia 2 , albo po prostu Quadratic , to funkcja wielomianowa z jednej lub kilku zmiennych, w których najwyższą jest określenie stopnia drugiego stopnia.

Wielomian kwadratowy z dwoma pierwiastkami rzeczywistymi (skrzyżowanie osi x ), a więc bez pierwiastków złożonych . Niektóre inne wielomiany kwadratowe mają swoje minimum powyżej osi x , w którym to przypadku nie ma pierwiastków rzeczywistych, a dwa pierwiastki złożone.

Na przykład jednowymiarowa (pojedyncza zmienna) funkcja kwadratowa ma postać

${\ Displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c \ quad a \ neq 0}$

w pojedynczej zmiennej x . Wykres z jednowymiarowej funkcji kwadratowej jest parabola , którego oś symetrii jest równoległa do Y -osiowy, jak pokazano po prawej stronie.

Jeżeli funkcja kwadratowa jest równa zero, to wynikiem jest równanie kwadratowe . Rozwiązania równania jednowymiarowego nazywane są pierwiastkami funkcji jednowymiarowej.

Przypadek dwuwymiarowy pod względem zmiennych x i y ma postać

${\ Displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + przez ^ {2} + cxy + dx + ey + f \ \!}$

z co najmniej jednym z a, b, c nie równym zero, a równanie ustawiające tę funkcję na zero daje początek przekroju stożka ( okrąg lub inna elipsa , parabola lub hiperbola ).

Funkcja kwadratowa w trzech zmiennych x , y i z zawiera wyłącznie wyrazy x ² , y ² , z ² , xy , xz , yz , x , y , z oraz stałą:

${\displaystyle f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j}$

przy czym co najmniej jeden ze współczynników a, b, c, d, e lub f składników drugiego stopnia jest niezerowy.

Ogólnie może istnieć dowolnie duża liczba zmiennych, w którym to przypadku wynikowa powierzchnia ustawienia funkcji kwadratowej na zero nazywana jest kwadryką , ale wyraz najwyższego stopnia musi być stopnia 2, na przykład x ² , xy , yz , itp.

Etymologia

Przymiotnik kwadratowy pochodzi od łacińskiego słowa quadrātum („ kwadrat ”). Wyrażenie takie jak x ² nazywamy w algebrze kwadratem, ponieważ jest to pole kwadratu o boku x .

Terminologia

Współczynniki

Te współczynniki wielomianu często przyjmuje się, że rzeczywiste lub numery złożone , ale w rzeczywistości wielomianową może być zdefiniowana w dowolnym pierścieniu .

Stopień

Używając terminu „wielomian kwadratowy”, autorzy czasami mają na myśli „posiadający stopień dokładnie 2”, a czasem „posiadający stopień najwyżej 2”. Jeśli stopień jest mniejszy niż 2, można to nazwać „ przypadkiem zdegenerowanym ”. Zwykle kontekst ustali, o który z tych dwóch elementów chodzi.

Czasami słowo „porządek” jest używane w znaczeniu „stopień”, np. wielomian drugiego rzędu.

Zmienne

Wielomian kwadratowy może obejmować pojedynczą zmienną x (przypadek jednowymiarowy) lub wiele zmiennych, takich jak x , y i z (przypadek wielowymiarowy).

Przypadek jednej zmiennej

Dowolny wielomian kwadratowy jednej zmiennej można zapisać jako

${\ Displaystyle topór ^ {2} + bx + c \, \!}$

gdzie x jest zmienną, a a , b i c reprezentują współczynniki . W algebrze elementarnej takie wielomiany często mają postać równania kwadratowego . Rozwiązania tego równania nazywane są pierwiastkami wielomianu kwadratowego i można je znaleźć poprzez faktoryzację , dopełnianie do kwadratu , wykresy , metodę Newtona lub za pomocą wzoru kwadratowego . Każdy wielomian kwadratowy ma powiązaną funkcję kwadratową, której wykres jest parabolą . ${\ Displaystyle topór ^ {2} + bx + c = 0}$

Przypadek dwuwymiarowy

Dowolny wielomian kwadratowy z dwiema zmiennymi można zapisać jako

${\ Displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + przez ^ {2} + cxy + dx + ey + f \, \!}$

gdzie x i y są zmiennymi, a a , b , c , d , e i f są współczynnikami. Takie wielomiany mają fundamentalne znaczenie dla badania przekrojów stożkowych , które charakteryzują się przyrównywaniem wyrażenia na f ( x , y ) do zera. Podobnie wielomiany kwadratowe z trzema lub więcej zmiennymi odpowiadają powierzchniom kwadratowym i hiperpowierzchniom . W algebrze liniowej wielomiany kwadratowe można uogólnić do pojęcia formy kwadratowej na przestrzeni wektorowej .

Formy jednowymiarowej funkcji kwadratowej

Jednowymiarową funkcję kwadratową można wyrazić w trzech formatach:

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\\!}$ nazywa się standardową formą ,
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\\!}$nazywana jest formą faktoryzacji , gdzie r ₁ i r ₂ są pierwiastkami funkcji kwadratowej i rozwiązaniami odpowiedniego równania kwadratowego.
• ${\displaystyle f(x)=a(xh)^{2}+k\\!}$nazywana jest formą wierzchołkową , gdzie h i k są odpowiednio współrzędnymi x i y wierzchołka.

Współczynnik a jest tą samą wartością we wszystkich trzech postaciach. W celu przekształcenia standardowej formy do postaci faktoringiem , trzeba tylko kwadratowy wzór w celu określenia dwóch korzenie r ₁ i r ₂ . Aby przekształcić standardowy formularz do postaci wierzchołka , trzeba proces zwany ukończenie kwadrat . Aby przekształcić formę podzieloną na czynniki (lub formę wierzchołków) na formę standardową, należy pomnożyć, rozwinąć i/lub rozłożyć czynniki.

Wykres funkcji jednowymiarowej

${\ Displaystyle f (x) = topór ^ {2} | _ {a = \ {0,1, 0,3, 1,3 \}} \!}$

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} + bx | _ {b = \ {1,2,3,4 \}} \!}$

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} + bx | _ {b = \ {-1, -2, -3, -4 \}} \!}$

Niezależnie od formatu, wykres jednowymiarowej funkcji kwadratowej jest parabolą (jak pokazano po prawej). Równoważnie jest to wykres dwuwymiarowego równania kwadratowego . ${\ Displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$${\ Displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$

• Jeśli a > 0 , parabola otwiera się do góry.
• Jeśli a < 0 , parabola otwiera się w dół.

Współczynnik a kontroluje stopień krzywizny wykresu; większa wielkość a daje wykresowi bardziej zamknięty (ostro zakrzywiony) wygląd.

Współczynniki b i a razem kontrolują położenie osi symetrii paraboli (również współrzędna x wierzchołka i parametr h w postaci wierzchołka), która jest na

${\ Displaystyle x = - {\ Frac {b} {2a}}.}$

Współczynnik c kontroluje wysokość paraboli; dokładniej, jest to wysokość paraboli, na której przecina oś y .

Wierzchołek

Wierzchołek paraboli jest miejsce, gdzie okazuje; stąd jest również nazywany punktem zwrotnym . Jeśli funkcja kwadratowa jest w formie wierzchołkowej, wierzchołek ma postać ( h , k ) . Metodą wypełniania kwadratu można odwrócić standardowy formularz

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\\!}$

do

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} f (x) i = ax ^ {2} + bx + c \ \ i = a (xh) ^ {2} + k \ \ & = a \ lewo (x-{\ frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}}$

więc wierzchołek ( h , k ) paraboli w postaci standardowej to

${\ Displaystyle \ lewo (- {\ Frac {b} {2a}}, c- {\ Frac {b ^ {2}} {4a}} \ prawej).}$

Jeśli funkcja kwadratowa jest w formie rozłożonej na czynniki

${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\\!}$

średnia z dwóch pierwiastków, tj.

${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\\!}$

jest współrzędną x wierzchołka, stąd wierzchołek ( h , k ) to

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {r_ {1} + r_ {2}} {2}}, f \ lewo ({\ Frac {r_ {1} + R_ {2}} {2}} \ po prawej) \Prawidłowy).\!}$

Wierzchołek jest również punktem maksymalnym, jeśli a < 0 , lub punktem minimalnym, jeśli a > 0 .

Linia pionowa

${\ Displaystyle x = h = - {\ Frac {b} {2a}}}$

przechodząca przez wierzchołek jest również osią symetrii paraboli.

Punkty maksymalne i minimalne

Korzystając z rachunku różniczkowego , punkt wierzchołkowy, będący maksimum lub minimum funkcji, można uzyskać, znajdując pierwiastki pochodnej :

${\ Displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c \ quad \ Rightarrow \ quad f '(x) = 2ax + b \ \!.}$

x jest pierwiastkiem f '( x ) jeśli f '( x ) = 0, co daje

${\ Displaystyle x = - {\ Frac {b} {2a}}}$

z odpowiednią wartością funkcji

${\ Displaystyle f (x) = a \ lewo (- {\ Frac {b} {2a}} \ prawej) ^ {2} + b \ lewo (- {\ Frac {b} {2a}} \ prawej) + c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,}$

więc ponownie współrzędne punktu wierzchołkowego ( h , k ) można wyrazić jako

${\ Displaystyle \ lewo (- {\ Frac {b} {2a}}, c- {\ Frac {b ^ {2}} {4a}} \ prawej).}$

Pierwiastki funkcji jednowymiarowej

Wykres y = ax ² + bx + c , gdzie a i dyskryminator b ² − 4 ac są dodatnie, z

• Korzenie i y – przecięcie na czerwono
• Wierzchołek i oś symetrii na niebiesko
• Fokus i kierownica w kolorze różowym

Wizualizacja złożonych pierwiastków y = ax ² + bx + c : parabola jest obrócona o 180° wokół swojego wierzchołka ( kolor pomarańczowy ). Jego punkty przecięcia x są obrócone o 90° wokół ich punktu środkowego, a płaszczyzna kartezjańska jest interpretowana jako płaszczyzna zespolona ( zielony ).

Dokładne korzenie

Te korzenie (lub zer ) r ₁ i r ₂ , jednowymiarowych funkcji kwadratowej

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} f (x) i = ax ^ {2} + bx + c \ \ i = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2}), \ \ \ koniec {wyrównany}}}$

są wartościami x, dla których f ( x )=0 .

Gdy współczynniki a , b , i c , są rzeczywiste lub złożone , pierwiastki są

${\ Displaystyle r_ {1} = {\ Frac {-b- {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

${\ Displaystyle r_ {2} = {\ Frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}$

Górna granica wielkości korzeni

Moduł korzeni kwadratowe może być większa niż w którym jest stosunek złoty${\ Displaystyle topór ^ {2} + bx + c \,}$${\displaystyle {\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\razy \phi,\,}$${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

Pierwiastek kwadratowy z jednowymiarowej funkcji kwadratowej

Pierwiastek kwadratowy z jednoczynnikowej funkcja kwadratowa daje podstawę do jednej z czterech stożkowych, prawie zawsze albo do elipsy lub do hiperboli .

Jeśli to równanie opisuje hiperbolę, co można zobaczyć, podnosząc obie strony do kwadratu. Kierunki osi hiperboli są określane przez rzędnej o minimalnym punkcie odpowiadającym paraboli . Jeśli rzędna jest ujemna, to główna oś hiperboli (przez jej wierzchołki) jest pozioma, natomiast jeśli rzędna jest dodatnia, to główna oś hiperboli jest pionowa. ${\displaystyle a>0\,\!}$${\ Displaystyle y = \ pm {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$${\ Displaystyle y_ {p} = ax ^ {2} + bx + c \ \!}$

Jeśli to równanie opisuje albo okrąg, albo inną elipsę, albo w ogóle nic. Jeśli rzędna punktu maksymalnego odpowiedniej paraboli jest dodatnia, to jej pierwiastek kwadratowy opisuje elipsę, ale jeśli rzędna jest ujemna, to opisuje puste miejsce punktów. ${\displaystyle a<0\,\!}$${\ Displaystyle y = \ pm {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$${\ Displaystyle y_ {p} = ax ^ {2} + bx + c \ \!}$

Iteracja

Aby wykonać iterację funkcji , należy ją wielokrotnie zastosować, używając danych wyjściowych z jednej iteracji jako danych wejściowych do następnej. ${\ Displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

Nie zawsze może wywnioskować analitycznej postaci , co oznacza, że n ^th iteracji . (Indeks górny może być przedłużony do liczb ujemnych, odnosząc się do iteracji odwrotności jeśli istnieje odwrotna). Jednak istnieją pewne analitycznie tractable przypadki. ${\ Displaystyle f ^ {(n)} (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$

Na przykład dla równania iteracyjnego

${\ Displaystyle f (x) = a (xc) ^ {2} + c}$

jeden ma

${\ Displaystyle f (x) = a (xc) ^ {2} + c = h ^ {(-1)} (g (h (x))), \ \!}$

gdzie

${\ Displaystyle g (x) = topór ^ {2} \, \!}$ oraz ${\displaystyle h(x)=xc.\\!}$

Więc przez indukcję,

${\ Displaystyle f ^ {(n)} (x) = h ^ {(-1)} (g ^ {(n)} (h (x))) \ \!}$

można uzyskać, gdzie można je łatwo obliczyć jako ${\ Displaystyle g ^ {(n)} (x)}$

${\ Displaystyle g ^ {(n)} (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} x ^ {2 ^ {n}}. \ \!}$

Wreszcie mamy

${\ Displaystyle f ^ {(n)} (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} (xc) ^ {2 ^ {n}} + c \ \!}$

jako rozwiązanie.

Zobacz Sprzężenie topologiczne, aby uzyskać więcej szczegółów na temat relacji między f i g . Zobacz też Złożony wielomian kwadratowy dla chaotycznego zachowania w ogólnej iteracji.

Odwzorowanie logistyczne

${\ Displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}), \ quad 0 \ leq x_ {0}<1}$

z parametrem 2< r <4 można rozwiązać w określonych przypadkach, z których jeden jest chaotyczny, a drugi nie. W przypadku chaotycznym r =4 rozwiązaniem jest

${\ Displaystyle X_ {n} = \ grzech ^ {2} (2 ^ {n} \ theta \ pi)}$

gdzie parametr warunku początkowego jest podany przez . W przypadku wymiernego , po skończonej liczbie iteracji odwzorowuje się w ciąg okresowy. Ale prawie wszystkie są irracjonalne, a za nieracjonalne , nigdy nie powtarza się - to nie jest okresowa i wykazuje wrażliwe zależność od warunków początkowych , więc mówi się chaotyczne. ${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle \ theta = {\ tfrac {1} {\ pi}} \ grzech ^ {-1} (x_ {0} ^ {1/2})}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle x_{n}}$

Rozwiązanie mapy logistycznej, gdy r =2 to

${\ Displaystyle x_ {n} = {\ Frac {1} {2}} - {\ Frac {1} {2}} (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {n}}}$

dla . Ponieważ dla dowolnej wartości innej niż niestabilny punkt stały 0, wyraz przechodzi do 0, gdy n dąży do nieskończoności, więc idzie do stabilnego punktu stałego${\displaystyle x_{0}\w [0,1)}$${\ Displaystyle (1-2x_{0}) \ w (-1,1)}$${\displaystyle x_{0}}$${\ Displaystyle (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {n}}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$

Dwuwymiarowa (dwie zmienne) funkcja kwadratowa

Dwuwymiarowej funkcji kwadratowej jest drugi stopień wielomianem formie

${\ Displaystyle f (x, y) = Ax ^ {2} + przez ^ {2} + Cx + Dy + Exy + F \ \!}$

gdzie A, B, C, D i E są stałymi współczynnikami, a F jest członem stałym. Taka funkcja opisuje powierzchnię kwadratową . Ustawienie równe zero opisuje przecięcie powierzchni z płaszczyzną , która jest zbiorem punktów równoważnych przekrojowi stożkowemu . ${\displaystyle f(x,y)\,\!}$${\displaystyle z=0\,\!}$

Minimum maksimum

Jeśli funkcja nie ma maksimum ani minimum; jego wykres tworzy paraboloidę hiperboliczną . ${\displaystyle 4AB-E^{2}<0\,}$

Jeśli funkcja ma minimum, jeśli A >0, i maksimum, jeśli A <0; jego wykres tworzy eliptyczną paraboloidę. W takim przypadku minimum lub maksimum występuje, gdy : ${\ Displaystyle 4AB-E ^ {2}> 0 \,}$${\ Displaystyle (x_ {m}, y_ {m}) \,}$

${\ Displaystyle X_ {m} = - {\ Frac {2BC-DE} {4AB-E ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle Y_ {m} = - {\ Frac {2AD-CE} {4AB-E ^ {2}}}.}$

Jeśli i funkcja nie ma maksimum ani minimum; jego wykres tworzy paraboliczny walec . ${\ Displaystyle 4AB-E ^ {2} = 0 \,}$${\ Displaystyle DE-2CB = 2AD-CE \ neq 0 \,}$

Jeśli i funkcja osiąga maksimum/minimum w linii — minimum, jeśli A >0 i maksimum, jeśli A <0; jego wykres tworzy paraboliczny walec. ${\ Displaystyle 4AB-E ^ {2} = 0 \,}$${\ Displaystyle DE-2CB = 2AD-CE = 0 \,}$

Zobacz też

• Forma kwadratowa
• Równanie kwadratowe
• Macierzowa reprezentacja przekrojów stożkowych
• Quadric
• Punkty okresowe złożonych odwzorowań kwadratowych
• Lista funkcji matematycznych

Bibliografia

• Algebra 1, Glencoe, ISBN  0-07-825083-8
• Algebra 2, saksoński, ISBN  0-939798-62-X

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Kwadratowy” . MatematykaŚwiat .