Zestaw przechodni - Transitive set

W teorii mnogości , gałęzi matematyki , zbiór A jest nazywany przechodnim, jeśli spełniony jest jeden z następujących równoważnych warunków:

  • gdy x ∈ i Y ∈ x , a y ∈ .
  • gdy x ∈ i x nie jest urelement , a x jest podgrupa o A .

Podobnie klasa M jest przechodnia, jeśli każdy element M jest podzbiorem M .

Przykłady

Używając definicji liczebników porządkowych zaproponowanej przez Johna von Neumanna , liczby porządkowe definiuje się jako zbiory dziedzicznie przechodnie: liczba porządkowa to zbiór przechodni, którego elementy są również przechodnie (a więc porządkowe). Klasa wszystkich liczb porządkowych jest klasą przechodnią.

Każdy z etapów V α i L α prowadzących do konstrukcji wszechświata von Neumanna V i wszechświata konstruowalnego Gödla L jest zbiorami przechodnimi. Same wszechświaty L i V są klasami przechodnimi.

To jest pełna lista wszystkich skończonych zbiorów przechodnich z maksymalnie 20 nawiasami:

Nieruchomości

Zbiór X jest przechodni wtedy i tylko wtedy , gdy , gdzie jest sumą wszystkich elementów X, które są zbiorami, .

Jeśli X jest przechodnie, to jest przechodnie. Jeśli X i Y są przechodnie, to X ∪ Y ∪{ X , Y } jest przechodnie. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli X jest klasą, której wszystkie elementy są zbiorami przechodnimi, to jest przechodnie.

Zestaw X , który nie zawiera urelements jest przechodni wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem własnym zestawem zasilania , Zestaw zasilający z przechodniego zestawu bez urelements jest przechodnia.

Zamknięcie przechodnie

Przechodni zamknięcie z ustalonym X jest najmniejsza (w odniesieniu do włączenia) przechodniego zestaw, który zawiera X . Załóżmy, że dany jest zbiór X , wtedy domknięciem przechodnim X jest

Dowód. Oznacz i . Następnie twierdzimy, że zbiór

jest przechodnia, a kiedykolwiek jest zbiorem przechodnim, w tym wtedy .

Załóżmy . Potem dla niektórych i tak . Ponieważ , . Tak jest przechodnia.

Teraz niech będzie jak wyżej. Udowadniamy przez indukcję, że dla wszystkich , udowadniając w ten sposób, że : Przypadek podstawowy utrzymuje się od czasu . Teraz załóżmy . Następnie . Ale jest przechodnia więc skąd . To kończy dowód.

Zauważ, że jest to zbiór wszystkich obiektów związanych z X przez przechodnie domknięcie relacji przynależności, ponieważ suma zbioru może być wyrażona w kategoriach względnego iloczynu relacji przynależności z samym sobą.

Modele przechodnie teorii mnogości

Klasy przechodnie są często używane do konstruowania interpretacji samej teorii mnogości, zwykle nazywanej modelami wewnętrznymi . Powodem jest to, że właściwości zdefiniowane przez formuły ograniczone są absolutne dla klas przechodnich.

Zbiór przechodni (lub klasa), który jest modelem formalnego systemu teorii mnogości nazywamy przechodnim modelem systemu (pod warunkiem, że relacja elementu modelu jest ograniczeniem rzeczywistej relacji elementu do uniwersum modelu) . Przechodniość jest ważnym czynnikiem w określaniu bezwzględności formuł.

W podejściu nadstruktury do analizy niestandardowej niestandardowe wszechświaty spełniają silną przechodniość.

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki