Wiersz - Versine

Versine lub orientuje sinusoidalna jest trygonometryczną funkcję znajdują się w niektórych z wcześniejszych Wedyjska Aryabhatia (I) tabelach trygonometrycznych . Wiersz kąta to 1 minus jego cosinus .

Istnieje kilka powiązanych funkcji, przede wszystkim coversine i haversine . Ten ostatni, pół versine, ma szczególne znaczenie dla wzoru haversine nawigacji.

Okrąg jednostkowy z funkcji trygonometrycznych .

Przegląd

Versine lub zorientowanych sinus jest trygonometryczna funkcja już pojawiające się w niektórych z najwcześniejszych trygonometrycznych tabel. Jest zapisywany jako versin( θ ) , sinver( θ ) , vers( θ ) , ver( θ ) lub siv( θ ) . W języku łacińskim , jest znany jako zatoki w stosunku (grzbiet sinus) versinus , w porównaniu lub sagitta (strzałka).

Wyrażony w międzyczasie bardziej powszechnie używanych funkcji sinusów „pionowych” ( sinus rectus ) i cosinusów ( cosinus rectus ), wersina jest równa

${\ Displaystyle {\ textrm {wersina}} (\ theta ) = 1 - \ cos (\ theta ) = 2 \ grzech ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ po prawej)}$

Istnieje kilka powiązanych funkcji odpowiadających wersecie:

Zorientowany cosinus lub vercosine napisany vercosin ( θ ) , vercos ( θ ) lub VCS ( θ )
Coversed sine , coversine , cosinus versus, lub coversinus , napisany nakryć ( θ ) , pokrowce ( θ ) , cosiv ( θ ) lub cvs ( θ )
Coversed cosinus lub covercosine , napisany covercosin ( θ ) lub covercos ( θ ) lub CVC ( θ )

W pełnej analogii do wyżej wymienionych czterech funkcji istnieje również inny zestaw czterech funkcji „półwartościowych”:

Haversed sinus , haversine lub semiversus napisany haversin ( θ ) , semiversin ( θ ) , semiversinus ( θ ) , Havers ( θ ) , HAV ( θ ) , HVS ( θ ) , SEM ( θ ) lub HV ( θ ) , większość słynie z formuły haversine używanej historycznie w nawigacji
Haversed cosinus lub havercosine , napisany havercosin ( θ ) , havercos ( θ ) , HAC ( θ ) lub hvc ( θ )
Hacoversed sine , zwany także hacoversine lub cohaversine i napisany hacoversin ( θ ) , semicoversin ( θ ) , hacovers ( θ ) , hacov ( θ ) lub HCV ( θ )
Hacoversed cosinus , zwany także hacovercosine lub cohavercosine i napisany hacovercosin ( θ ) , hacovercos ( θ ) lub HCC ( θ )

Historia i aplikacje

Versine i coversine

Sinus, cosinus i wersal kąta θ wyrażonego w okręgu jednostkowym o promieniu 1, wyśrodkowanym w punkcie O . Rysunek ten ilustruje również powód, dla którego wersynka była czasami nazywana sagitta , po łacinie strzała . Jeśli łuk ADB podwójnego kąta Δ = 2 θ jest postrzegany jako „ łuk ”, a cięciwa AB jako jego „struna”, to wersin CD jest wyraźnie „wałem strzały”.

Wykresy historycznych funkcji trygonometrycznych w porównaniu z sin i cos – w pliku SVG najedź na wykres lub kliknij go, aby go podświetlić

Zwykła funkcja sinus ( patrz uwaga na temat etymologii ) była czasami historycznie nazywana sinus rectus ("prosty sinus"), aby przeciwstawić ją sinusowi wersalskiemu ( sinus versus ). Znaczenie tych terminów jest oczywiste, jeśli przyjrzymy się funkcjom w oryginalnym kontekście ich definicji, okręgu jednostkowym :

Na pionowej cięciwy AB okręgu jednostkowego, sinus kąta θ (reprezentujący połowę wyznaczony kąt hemibursztynianu ) jest odległością AC (w połowie cięciwy). Z drugiej strony, wersus sinus θ jest odległością CD od środka cięciwy do środka łuku. Zatem suma cos( θ ) (równej długości prostej OC ) i versin( θ ) (równej długości linii CD ) jest promieniem OD (o długości 1). Zilustrowany w ten sposób, sinus jest pionowy ( rectus , dosłownie „prosty”), podczas gdy wersinka jest pozioma ( versus , dosłownie „odwrócona, nie na miejscu”); obie są odległościami od C do okręgu.

Ta figura ilustruje również powód, dla którego wersynka była czasami nazywana sagitta , po łacinie strzałka , od arabskiego użycia sahem o tym samym znaczeniu. To samo pochodzi od indyjskiego słowa „sara” (strzałka), które było powszechnie używane w odniesieniu do „ utkrama-jya ”. Jeśli łuk ADB podwójnego kąta Δ = 2 θ jest postrzegany jako „ łuk ”, a cięciwa AB jako jego „struna”, to wersinka CD jest wyraźnie „wałem strzały”.

Zgodnie z interpretacją sinusa jako „pionowego”, a sinusa wersalskiego jako „poziomego”, strzałka jest również przestarzałym synonimem odciętej (poziomej osi wykresu).

W 1821 Cauchy użył terminów sinus versus ( siv ) dla versine i cosinus versus ( cosiv ) dla coversine .

Funkcje trygonometryczne mogą być konstruowane geometrycznie w kategoriach okręgu jednostkowego o środku na O .

Z historycznego punktu widzenia, sinus w wersecie był uważany za jedną z najważniejszych funkcji trygonometrycznych.

Ponieważ θ zbliża się do zera, versin( θ ) jest różnicą między dwiema prawie równymi wielkościami, więc użytkownik tabeli trygonometrycznej dla samego cosinusa potrzebowałby bardzo wysokiej dokładności, aby uzyskać wersinę, aby uniknąć katastrofalnego anulowania , tworząc oddzielne tabele dla tych ostatnich wygodnych. Nawet z kalkulatorem lub komputerem błędy zaokrągleń sprawiają, że zaleca się stosowanie wzoru sin ² dla małych θ .

Kolejną historyczną zaletą wersyki jest to, że zawsze jest nieujemna, więc jej logarytm jest definiowany wszędzie poza pojedynczym kątem ( θ = 0, 2 $π$ , …), gdzie wynosi zero – można więc użyć tablic logarytmicznych do mnożenia w formułach zawierających wersety.

W rzeczywistości, najstarszy zachowany tabeli sinusa (pół akordów ) wartości (w przeciwieństwie do akordów tabelarycznych przez Ptolemeusza i innych greckich autorów), liczonych od Surya Siddhantha Indii sięgają 3 wieku pne, była tabela z wartościami dla sinusa i odwróconego sinusa (w krokach 3,75° od 0 do 90°).

Wierszówka pojawia się jako etap pośredni w zastosowaniu wzoru półkąta sin ²(θ/2) =1/2versin( θ ), wyprowadzony przez Ptolemeusza , który został użyty do konstruowania takich tabel.

Haversine

W szczególności haszyna była ważna w nawigacji, ponieważ pojawia się we wzorze haszyny , który służy do dość dokładnego obliczania odległości na sferoidzie astronomicznej (patrz problemy z promieniem Ziemi w stosunku do sfery ) przy określonych pozycjach kątowych (np. długość i szerokość geograficzna). ). Można by też użyć sin ²(θ/2) bezpośrednio, ale posiadanie tabeli hasrsine usunęło potrzebę obliczania kwadratów i pierwiastków kwadratowych.

Wczesne wykorzystanie przez José de Mendoza y Ríos tego, co później nazwano byszynami, zostało udokumentowane w 1801 roku.

Pierwszy znany angielski odpowiednik tablicy z chlebkami został opublikowany przez Jamesa Andrew w 1805 roku.

W 1835 roku termin haversine (zapisany naturalnie jako hav. lub logarytmicznie o podstawie 10 jako log. haversine lub log. havers. ) został ukuty przez Jamesa Inmana w trzecim wydaniu jego pracy Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen uproszczenie obliczania odległości między dwoma punktami na powierzchni ziemi za pomocą trygonometrii sferycznej do zastosowań nawigacyjnych. Inman używał również terminów nat. wersecie i nat. wers. dla wierszy.

Innymi cenionymi tablicami haversines były te Richarda Farleya z 1856 roku i Johna Caulfielda Hannyngtona z 1876 roku.

Haversine jest nadal używany w nawigacji i znalazł nowe zastosowania w ostatnich dziesięcioleciach, jak w metodzie Bruce'a D. Starka do usuwania odległości księżycowych z wykorzystaniem logarytmów Gaussa od 1995 roku lub w bardziej zwartej metodzie zmniejszania widoczności od 2014 roku.

Nowoczesne zastosowania

Podczas gdy użycie wersyny, pokrywki i hasersyny oraz ich funkcji odwrotnych można prześledzić od stuleci, nazwy pozostałych pięciu kofunkcji wydają się mieć znacznie młodsze pochodzenie.

Jeden okres (0 < θ < $π$ /2) fali versine lub, częściej, haversine (lub havercosine) jest również powszechnie stosowany w teorii przetwarzania sygnałów i sterowania jako kształt impulsu lub funkcji okna (w tym okna Hanna , Hanna-Poissona i Tukeya ), ponieważ płynnie ( ciągła w wartości i nachyleniu ) "włącza się" od zera do jednego (dla haversine) iz powrotem do zera. W tych aplikacjach nazywa się to funkcją Hanna lub filtrem z podwyższonym cosinusem . Podobnie havercosine jest używany w rozkładach podwyższonych cosinusów w teorii prawdopodobieństwa i statystyce .

W postaci sin ² ( θ ) haversine podwójnego kąta Δ opisuje zależność pomiędzy smarowania i kąty w racjonalnym trygonometrii , planowanej przeformułowania miarowy płaskich i geometrii stałych przez Norman John Wildberger od 2005 roku.

Tożsamości matematyczne

Definicje

${\ Displaystyle {\ textrm {versin}} (\ theta): = 2 \ sin ^ {2} \! \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ po prawej) = 1 - \ cos (\ theta )\,}$
${\ Displaystyle {\ textrm {coversin}} (\ theta): = {\ textrm {versin}} \! \ lewo ({\ Frac {\ pi} {2}} - \ theta \ po prawej) = 1 - \ grzech (\theta )\,}$
${\ Displaystyle {\ textrm {vercosin}} (\ theta): = 2 \ cos ^ {2} \! \ lewo ({\ frac {\ theta} {2}} \ po prawej) = 1 + \ cos (\ teta )\,}$
${\ Displaystyle {\ textrm {covercosin}} (\ theta): = {\ textrm {vercosin}} \! \ lewo ({\ Frac {\ pi} {2}} - \ theta \ po prawej) = 1 + \ grzech (\theta )\,}$
${\ Displaystyle {\ textrm {haversin}} (\ theta): = {\ Frac {{\ textrm {versin}} (\ theta)} {2}} = \ grzech ^ {2} \! \ lewo ({\ frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,}$
${\textrm {hacoversin}}(\theta):={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta)}{2}}={\frac {1-\sin(\theta)} {2}}\,$
${\textrm {havercosin}}(\theta):={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta)}{2}}=\cos ^{2}\!\lewo ({\ frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {hacovercosin}}(\theta):={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta)}{2}}={\frac {1+\sin(\theta)} {2}}\,$

Obroty kołowe

Funkcje są rotacjami kołowymi względem siebie.

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {versin} (\ theta) & = \ operatorname {coversin} \ lewo (\ theta + {\ Frac {\ pi} {2}} \ po prawej) = \ operatorname {vercosin } \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta ) &=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}

Pochodne i całki

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} \ operatorname {versin} (x) = \ sin {x}}$	${\ Displaystyle \ int \ operatorname {versin} (x) \ \ operatorname {d} x = x-\ sin {x} + C}$
${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} \ operatorname {vercosin} (x) = - \ sin {x}}$	${\ Displaystyle \ int \ operatorname {vercosin} (x) \ \ operatorname {d} x = x + \ sin {x} + C}$
${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} \ operatorname {coversin} (x) = - \ cos {x}}$	${\ Displaystyle \ int \ operatorname {coversin} (x) \ \ operatorname {d} x = x + \ cos {x} + C}$
${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} \ operatorname {covercosin} (x) = \ cos {x}}$	${\ Displaystyle \ int \ operatorname {covercosin} (x) \ \ operatorname {d} x = x-\ cos {x} + C}$
${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} }{\ operatorname {d} x}} \ operatorname {haversin} (x) = {\ Frac {\ sin {x}} {2}}}$	${\ Displaystyle \ int \ operatorname {haversin} (x) \ \ operatorname {d} x = {\ Frac {x-\ sin {x}} {2}} + C}$
${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} \ operatorname {havercosin} (x) = {\ Frac {- \ sin {x}} {2}}}$	${\ Displaystyle \ int \ operatorname {havercosin} (x) \ \ operatorname {d} x = {\ Frac {x + \ sin {x}} {2}} + C}$
${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} \ operatorname {hacoversin} (x) = {\ Frac {-\ cos {x}} {2}}}$	${\ Displaystyle \ int \ operatorname {hacoversin} (x) \ \ operatorname {d} x = {\ Frac {x + \ cos {x}} {2}} + C}$
${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} }{\ operatorname {d} x}} \ operatorname {hacovercosin} (x) = {\ Frac {\ cos {x}} {2}}}$	${\ Displaystyle \ int \ operatorname {hacovercosin} (x) \ \ operatorname {d} x = {\ Frac {x-\ cos {x}} {2}} + C}$

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne jak arcversine (arcversin, arcvers, Avers, Aver) arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, AVCS) arccoversine (arccoversin, arccovers, acovers, acvs) arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc) archaversine (archaversin , archav, haversin ⁻¹ , invhav, ahav, ahvs, ahv, hav ⁻¹ ), archavercosine (archavercosin, archavercos, ahvc), archacoversine (archacoversin, ahcv) lub archacovercosine (archacovercosin, archahccovercos), jak również:

${\ Displaystyle \ operatorname {arcversin} (y) = \ arccos \ lewo (1-y \ prawo) \,}$
${\ Displaystyle \ operatorname {arcvercos} (y) = \ arccos \ lewo (y-1 \ prawo) \,}$
${\ Displaystyle \ operatorname {arccoversin} (y) = \ arcsin \ lewo (1-y \ prawo) \,}$
${\ Displaystyle \ operatorname {arccovercos} (y) = \ arcsin \ lewo (y-1 \ prawo) \,}$
${\ Displaystyle \ Operatorname {Archaversin} (r) = 2 \ arcsin \ lewo ({\ sqrt {y}} \ prawo) = \ arccos \ lewo (1-2y \ prawo) \,}$
${\ Displaystyle \ Operatorname {Archavercos} (r) = 2 \ arccos \ lewo ({\ sqrt {y}} \ po prawej) = \ arccos \ lewo (2y-1 \ po prawej)}$
${\ Displaystyle \ operatorname {archacoversin} (y) = \ arcsin \ lewo (1-2y \ prawo) \,}$
${\ Displaystyle \ operatorname {archacovercos} (y) = \ arcsin \ lewo (2y-1 \ prawo) \,}$

Inne właściwości

Funkcje te można rozszerzyć na płaszczyznę złożoną .

Seria Maclaurina :

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {versin} (z) & = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2 k }}{(2k)!}}\\\operator {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^ {2k}}{2(2k)!}}\end{wyrównany}}}

{\ Displaystyle \ lim _ {\ theta \ do 0} {\ Frac {\ operator {versin} (\ theta)} {\ theta}} = 0}

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany}}{\ Frac {\Nazwa operatora {wersja} (\theta)+\nazwa operatora {okładka} (\theta)}{\nazwa operatora {wersja} (\theta)-\nazwa operatora {okładka} ( \theta }}-{\frac {\operator {exs} (\theta )+\operator {excs} (\theta )}{\operatorname {exc} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta ) }}&={\frac {2\nazwa operatora {wersja} (\theta )\nazwa operatora {okładka} (\theta )}{\nazwa operatora {wersja} (\theta )-\nazwa operatora {okładka} (\theta )}} \\[3pt][\nazwa operatora {wersja} (\theta )+\nazwa operatora {exsec} (\theta )]\,[\nazwa operatora {okładka} (\theta )+\nazwa operatora {excsc} (\theta )]& =\sin(\theta )\cos(\theta )\end{wyrównany}}}

Przybliżenia

Porównanie funkcji versine z trzema przybliżeniami funkcji versine dla kątów od 0 do 2 π

Porównanie funkcji versine z trzema przybliżeniami do funkcji versine dla kątów z zakresu od 0 do π /2

Gdy wersyna v jest mała w stosunku do promienia r , można ją aproksymować z długości półcięciny L (odległość AC pokazana powyżej) wzorem

{\ Displaystyle v \ około {\ Frac {L ^ {2}} {2r}}}

.

Alternatywnie, jeśli wersinka jest mała i znane są wiersze, promień i długość półcięciny, można je wykorzystać do oszacowania długości łuku s ( AD na powyższym rysunku) za pomocą wzoru

{\ Displaystyle s \ około L + {\ Frac {v ^ {2}} {r}}}

Formuła ta była znana chińskiemu matematykowi Shen Kuo , a dokładniejszą formułę zawierającą także strzałkę opracował dwa wieki później Guo Shoujing .

Dokładniejszym przybliżeniem stosowanym w inżynierii jest

{\ Displaystyle v \ około {\ Frac {s ^ {\ Frac {3} {2}} L ^ {\ Frac {1} {2}} {8r}}}

Dowolne krzywe i akordy

Termin versine jest również czasami używany do opisania odchyleń od prostoliniowości na dowolnej krzywej planarnej, której szczególny przypadek stanowi powyższy okrąg. Biorąc pod uwagę cięciwę pomiędzy dwoma punktami na krzywej, prostopadła odległość v od cięciwy do krzywej (zwykle w punkcie środkowym cięciwy) nazywana jest pomiarem wersu . W przypadku linii prostej odwrotność dowolnego cięciwy wynosi zero, więc ten pomiar charakteryzuje prostoliniowość krzywej. W granicy, gdy długość cięciwy L zbliża się do zera, stosunek8 v/L ²idzie do chwilowej krzywizny . Zastosowanie to jest szczególnie powszechne w transporcie szynowym , gdzie opisuje pomiary prostoliniowości torów kolejowych i jest podstawą metody Hallade do pomiarów szynowych .

Termin sagitta (często w skrócie sag ) jest używany podobnie w optyce , do opisu powierzchni soczewek i luster .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

Hawking, Stephen William , wyd. (2002). Na barkach gigantów: wielkie dzieła fizyki i astronomii . Filadelfia, USA: Bieganie Prasa . Numer ISBN 0-7624-1698-X. LCCN 2002100441 . Pobrano 31.07.2017 .

Linki zewnętrzne

Pegg Jr., wyd . „Strzelec, Apothem i Akord” . Projekt demonstracyjny Wolfram .
Funkcje trygonometryczne na GeoGebra.org

Languages

In other projects