Koło jednostkowe - Unit circle
| Trygonometria |
|---|
 |
| Referencja |
| Prawa i twierdzenia |
| Rachunek różniczkowy |
W matematyce , A koło urządzenie jest okrąg o jednostkę odległości -to jest promień 1. często, zwłaszcza w trygonometrii krąg urządzenie jest okrąg o promieniu 1 centrowany na początek (0, 0), w układzie współrzędnych kartezjańskiego w płaszczyźnie euklidesowej . W topologii jest często oznaczany jako S 1 , ponieważ jest jednowymiarową jednostką n - sferą .
Jeżeli ( x , y ) jest punktem na obwodzie okręgu jednostkowego, to | x | i | y | są długościami ramion trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątna ma długość 1. Zatem, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa , x i y spełniają równanie
Ponieważ x 2 = (− x ) 2 dla wszystkich x , a odbicie dowolnego punktu na jednostkowym okręgu wokół osi x lub y jest również na jednostkowym okręgu, powyższe równanie obowiązuje dla wszystkich punktów ( x , y ) na okręgu jednostkowym, a nie tylko w pierwszej ćwiartce.
Wnętrze okręgu jednostek nazywane jest dyskiem jednostek otwartych , podczas gdy wnętrze okręgu jednostek połączone z samym okręgiem jednostek nazywa się zamkniętym dyskiem jednostek.
Można również użyć innych pojęć „odległość” na określenie innych „kręgów jednostkowych”, takich jak koło Riemanna ; dodatkowe przykłady można znaleźć w artykule o normach matematycznych .
W złożonej płaszczyźnie
Okrąg jednostkowy można traktować jako jednostkowe liczby zespolone , czyli zbiór liczb zespolonych z postaci
dla wszystkich t (patrz też: cis ). Ta relacja reprezentuje wzór Eulera . W mechanice kwantowej określa się to mianem czynnika fazowego .
Funkcje trygonometryczne na okręgu jednostkowym
Funkcje trygonometryczne cosinus i sinus kąta θ można zdefiniować na okręgu jednostkowym w następujący sposób: Jeśli ( x , y ) jest punktem na okręgu jednostkowym i jeśli promień od początku (0, 0) do ( x , y ) tworzy kąt θ od dodatniej osi x , (gdzie obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jest dodatni), to
Równanie x 2 + y 2 = 1 daje zależność
Okrąg jednostkowy pokazuje również, że sinus i cosinus są funkcjami okresowymi , z tożsamościami
dla dowolnej liczby całkowitej k .
Trójkąty skonstruowane na okręgu jednostkowym można również wykorzystać do zilustrowania okresowości funkcji trygonometrycznych. Najpierw skonstruuj promień OP od początku O do punktu P( x 1 , y 1 ) na okręgu jednostkowym tak, aby kąt t z 0 < t < π/2jest utworzony z dodatnim ramieniem osi x . Rozważmy teraz punkt Q( x 1 ,0) i odcinki PQ ⊥ OQ . Wynikiem jest trójkąt prostokątny △OPQ z ∠QOP = t . Ponieważ PQ ma długość y 1 , OQ długość x 1 , a OP ma długość 1 jako promień na okręgu jednostkowym, sin( t ) = y 1 i cos( t ) = x 1 . Po ustaleniu tych równoważności, weź inny promień OR od początku do punktu R(− x 1 , y 1 ) na okręgu tak, aby ten sam kąt t powstał z ujemnym ramieniem osi x . Rozważmy teraz punkt S (- x 1 , 0) i segmenty linii RS ⊥ OS . Wynikiem jest trójkąt prostokątny △ORS z ∠SOR = t . Można zatem zauważyć, że ponieważ ∠ROQ = π − t , R jest w (cos(π − t ),sin(π − t )) w taki sam sposób, w jaki P jest w (cos( t ),sin( t )) . Wniosek jest taki, że skoro (− x 1 , y 1 ) to to samo co (cos(π − t ),sin(π − t )) i ( x 1 , y 1 ) to to samo co (cos( t ) ,sin( t )) , prawdą jest, że sin( t ) = sin(π − t ) i −cos( t ) = cos(π − t ) . Można wywnioskować w podobny sposób, że tan(π − t ) = −tan( t ) , ponieważ tan( t ) =r 1/x 1i tan(π − t ) =r 1/− x 1. Prostą demonstrację powyższego można zobaczyć w grzechu równości (π/4) = grzech(3π/4) = 1/√ 2.
Podczas pracy z trójkątami prostokątnymi, sinus, cosinus i inne funkcje trygonometryczne mają sens tylko dla miar kątów większych niż zero i mniejszych niż π/2. Jednak po zdefiniowaniu za pomocą okręgu jednostkowego, funkcje te dają znaczące wartości dla dowolnej miary kąta o wartościach rzeczywistych – nawet tych większych niż 2 π . W rzeczywistości wszystkie sześć standardowych funkcji trygonometrycznych – sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans i cosecans, a także funkcje archaiczne, takie jak versine i exsecant – można zdefiniować geometrycznie w kategoriach okręgu jednostkowego, jak pokazano po prawej stronie.
Używając okręgu jednostkowego, wartości dowolnej funkcji trygonometrycznej dla wielu kątów innych niż te oznaczone mogą być łatwo obliczone ręcznie przy użyciu formuły sumy kątów i różnicy .
Grupa kręgów
Liczby zespolone można utożsamiać z punktami na płaszczyźnie euklidesowej , czyli liczba a + bi utożsamiana jest z punktem ( a , b ) . Zgodnie z tą identyfikacją, koło jednostkowe jest grupą mnożącą, zwaną grupą kołową ; jest zwykle oznaczany Na płaszczyźnie, mnożenie przez cos θ + i sin θ daje obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o θ . Ta grupa ma ważne zastosowania w matematyce i nauce.
Złożona dynamika
Julia zestaw z dyskretnym nieliniowego układu dynamicznego z funkcją ewolucji :
jest jednostkowym kołem. Jest to najprostszy przypadek, dlatego jest szeroko stosowany w badaniu układów dynamicznych.