Przypuszczenia Weila - Weil conjectures
W matematyce , te przypuszczenia Weil były bardzo wpływowych propozycje André Weil ( 1949 ). Doprowadziły one do pomyślnego, kilkudziesięcioletniego programu, który miał je udowodnić, w ramach którego wielu czołowych badaczy opracowało ramy współczesnej geometrii algebraicznej i teorii liczb .
Przypuszczenia dotyczą funkcji generujących (znanych jako lokalne funkcje zeta ) wyprowadzonych z liczenia punktów na rozmaitościach algebraicznych nad ciałami skończonymi . Odmiana V nad ciałem skończonym z q elementami ma skończoną liczbę punktów wymiernych (o współrzędnych w ciele pierwotnym), jak również punktów o współrzędnych w dowolnym skończonym rozszerzeniu ciała pierwotnego. Funkcja generująca ma współczynniki wyprowadzone z liczb N k punktów nad polem rozszerzenia o q k elementów.
Weil przypuszczał, że takie funkcje zeta dla gładkich odmian są funkcjami wymiernymi , spełniają pewne równanie funkcjonalne i mają swoje zera w miejscach ograniczonych. Ostatnie dwie części zostały całkiem świadomie wzorowane na funkcji zeta Riemanna , rodzaju funkcji generującej dla liczb pierwszych liczb całkowitych, która jest posłuszna równaniu funkcjonalnemu i (przypuszczalnie) ma swoje zera ograniczone hipotezą Riemanna . Racjonalność udowodnił Bernard Dwork ( 1960 ), równanie funkcjonalne Alexandra Grothendiecka ( 1965 ) oraz analogię hipotezy Riemanna Pierre'a Deligne'a ( 1974 ).
Tło i historia
Najwcześniejszym poprzednikiem hipotez Weila jest Carl Friedrich Gauss i pojawia się w sekcji VII jego Disquisitiones Arithmeticae ( Mazur 1974 ), dotyczącej korzeni jedności i okresów Gaussa . W artykule 358 przechodzi od okresów, w których powstają wieże o kwadratowym przedłużeniu, do budowy regularnych wielokątów; i zakłada, że p jest liczbą pierwszą taką, że p − 1 jest podzielne przez 3. Następnie istnieje cykliczne pole sześcienne wewnątrz pola cyklotomicznego o p th pierwiastków jedności i normalna podstawa całkowa okresów dla liczb całkowitych tego pola ( przykład twierdzenia Hilberta-Speisera ). Gaussa konstruuje zleceniem 3 okresach, odpowiednio do grupy cyklicznej ( Z / p Z ) x niezerowych reszt modulo p względem mnożenia i unikalny wskaźnik trzy podgrupy. Gauss pozwala , i być jego cosetami. Biorąc okresy (sumy pierwiastków jedności) odpowiadające tym cosetom zastosowanym do exp(2 πi / p ) , zauważa, że te okresy mają tabliczkę mnożenia, która jest dostępna do obliczeń. Produkty są liniowymi kombinacjami okresów, a on określa współczynniki. Ustawia np. równą liczbę elementów Z / p Z, które są w i które po powiększeniu o jeden, są również w . Udowadnia, że ta liczba i pokrewne są współczynnikami iloczynów okresów. Aby zobaczyć związek tych zbiorów z przypuszczeniami Weila, zauważ, że jeśli α i α + 1 są w , to istnieją x i y w Z / p Z takie, że x 3 = α i y 3 = α + 1 ; w konsekwencji x 3 + 1 = y 3 . Zatem jest liczba rozwiązań x 3 + 1 = y 3 w skończonym polu Z / p Z . Pozostałe współczynniki mają podobne interpretacje. Oznaczanie przez Gaussa współczynników iloczynów okresów liczy zatem liczbę punktów na tych krzywych eliptycznych , a jako produkt uboczny dowodzi analogii hipotezy Riemanna.
Hipotezy Weila w szczególnym przypadku krzywych algebraicznych zostały wysunięte przez Emila Artina ( 1924 ). Przypadek krzywych nad ciałami skończonymi udowodnił Weil, kończąc projekt rozpoczęty twierdzeniem Hassego o krzywych eliptycznych nad ciałami skończonymi. Ich zainteresowanie było wystarczająco oczywiste w obrębie teorii liczb : zakładali górne granice dla sum wykładniczych , co jest podstawowym problemem w analitycznej teorii liczb ( Moreno 2001 ) .
To, co naprawdę rzucało się w oczy, z punktu widzenia innych dziedzin matematyki, to zaproponowane połączenie z topologią algebraiczną . Biorąc pod uwagę, że pola skończone mają charakter dyskretny , a topologia mówi tylko o ciągłości , szczegółowe sformułowanie Weila (oparte na wypracowaniu kilku przykładów) było uderzające i nowatorskie. Zasugerował, że geometria nad ciałami skończonymi powinna pasować do dobrze znanych wzorców odnoszących się do liczb Bettiego , twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym i tak dalej.
Analogia z topologią sugerowała stworzenie nowej teorii homologicznej mającej zastosowanie w geometrii algebraicznej . Zajęło to dwie dekady (był to główny cel pracy i szkoły Aleksandra Grothendiecka ), opierając się na wstępnych sugestiach Serre'a . Część racjonalności przypuszczeń udowodnił najpierw Bernard Dwork ( 1960 ), stosując metody p- adyczne . Grothendieck (1965) i jego współpracownicy ustalili hipotezę racjonalności, równanie funkcjonalne i powiązanie z liczbami Bettiego, wykorzystując właściwości kohomologii étale , nowej teorii kohomologii opracowanej przez Grothendiecka i Michaela Artina w celu zaatakowania hipotez Weila, jak opisano w Grothendieck ( 1960) . Spośród czterech przypuszczeń, analog hipotezy Riemanna był najtrudniejszy do udowodnienia. Motywowany dowodem Serre'a (1960) analogii hipotez Weila dla rozmaitości Kählera , Grothendieck przewidział dowód oparty na swoich standardowych hipotezach dotyczących cykli algebraicznych ( Kleiman 1968 ). Jednak standardowe hipotezy Grothendiecka pozostają otwarte (z wyjątkiem twardego twierdzenia Lefschetza , co udowodnił Deligne, rozszerzając swoją pracę o hipotezach Weila), a analogię hipotezy Riemanna dowiódł Deligne ( 1974 ), posługując się teorią kohomologii étale ale obejście użycia standardowych przypuszczeń za pomocą pomysłowego argumentu.
Deligne (1980) znalazł i udowodnił uogólnienie hipotez Weila, ograniczające ciężary popychania snopa.
Stwierdzenie przypuszczeń Weila
Załóżmy, że X jest nieosobliwą n- wymiarową projekcyjną rozmaitością algebraiczną nad ciałem F q z q elementami. Funkcja zeta ζ ( x , y ), z X jest z definicji
gdzie N m jest liczbą punktów X określone na stopień m przedłużenie F Q m w F q .
Przypuszczenia Weila mówią:
- (Racjonalność) ζ ( x , y ) jest funkcją wymierną od T = q - s . Dokładniej, ζ ( X , s ) można zapisać jako skończony iloczyn przemienny
- (Równanie funkcyjne i dualność Poincarégo) Funkcja zeta spełnia
- (hipoteza Riemanna) | α i , j | = q i /2 dla wszystkich 1 ≤ i ≤ 2 n − 1 i wszystkich j . Oznacza to, że wszystkie zera P k ( T ) leżą na „linii krytycznej” liczb zespolonych s o części rzeczywistej k /2 .
- (Liczby bettiego), jeśli X oznacza grupę (dobry) „ redukcja mod p ” z nieosobliwej rzutowej różnych Y zdefiniowane powyżej pole numeru osadzony w dziedzinie zespolonej, to stopień P ja to ja p liczby bettiego z przestrzeń złożonych punktów Y .
Przykłady
Linia projekcyjna
Najprostszym przykładem (innym niż punkt) jest przyjęcie X jako linii rzutowej. Liczba punktów X nad polem z q m elementów wynosi po prostu N m = q m + 1 (gdzie „ +1 ” pochodzi od „ punktu w nieskończoności ”). Funkcja zeta jest po prostu
- 1/(1 − q − s )(1 − q 1− s ) .
Łatwo jest bezpośrednio sprawdzić wszystkie części przypuszczeń Weila. Na przykład odpowiednią odmianą złożoną jest sfera Riemanna, a jej początkowe liczby Bettiego to 1, 0, 1.
Przestrzeń projekcyjna
Nie jest o wiele trudniej zrobić n- wymiarową przestrzeń rzutową. Liczba punktów X nad polem z q m elementów wynosi po prostu N m = 1 + q m + q 2 m + ⋯ + q nm . Funkcja zeta jest po prostu
- 1/(1 − q − s )(1 − q 1− s )(1 − q 2− s )⋯(1 − q n − s ) .
Ponownie łatwo jest bezpośrednio sprawdzić wszystkie części przypuszczeń Weila. ( Złożona przestrzeń rzutowa daje odpowiednie liczby Bettiego, które prawie determinują odpowiedź.)
Liczba punktów na linii rzutowej i przestrzeni rzutowej jest tak łatwa do obliczenia, ponieważ można je zapisać jako rozłączne sumy skończonej liczby kopii przestrzeni afinicznych. Łatwo jest również udowodnić przypuszczenia Weila dla innych przestrzeni, takich jak Grassmannian i odmiany flag, które mają tę samą właściwość „brukowania”.
Krzywe eliptyczne
Dają one pierwsze nietrywialne przypadki hipotez Weila (dowiedzionych przez Hasse). Jeśli E jest krzywą eliptyczną nad polem skończonym z q elementami, to liczba punktów E zdefiniowana nad polem z q m elementów wynosi 1 − α m − β m + q m , gdzie α i β są sprzężeniami zespolonymi o wartość √ q . Funkcja zeta to
- ζ ( E , s ) = (1 − αq − s )(1 − βq − s )/(1 − q − s )(1 − q 1− s ).
Kohomologia Weila
Weil zasugerował, że te przypuszczenia wynikałyby z istnienia odpowiedniej „ teorii kohomologii Weila ” dla rozmaitości nad ciałami skończonymi, podobnej do zwykłej kohomologii z racjonalnymi współczynnikami dla rozmaitości złożonych. Jego pomysłem było to, że jeśli F jest automorfizmem Frobenius nad polem skończonej, wówczas liczba punktów odmiany X nad dziedzinie zamówienie q m oznacza liczbę stałych punktów F m (działającego na wszystkich punktach odmiany X zdefiniowano nad domknięciem algebraicznym). W topologii algebraicznej liczba punktów stałych automorfizmu może być obliczona za pomocą twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym , podanego jako przemienna suma śladów na grupach kohomologicznych . Jeśli więc istniałyby podobne grupy kohomologii dla rozmaitości nad skończonymi polami, to funkcja zeta mogłaby być wyrażona w ich kategoriach.
Pierwszy problem polega na tym, że pole współczynnika dla teorii kohomologii Weila nie może być liczbami wymiernymi. Aby to zobaczyć, rozważmy przypadek superosobliwej krzywej eliptycznej nad skończonym polem o charakterystyce p . Pierścień endomorfizmu tego jest porządkiem w algebrze kwaternionów nad wymiernymi i powinien działać na pierwszej grupie kohomologii, która powinna być dwuwymiarową przestrzenią wektorową nad polem współczynników przez analogię do przypadku złożonej krzywej eliptycznej. Jednak algebra kwaternionów nad wymiernymi nie może działać na dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej nad wymiernymi. Ten sam argument eliminuje możliwość , że ciało współczynników jest liczbami rzeczywistymi lub liczbami p- adycznymi, ponieważ algebra kwaternionów jest nadal algebrą dzielenia tych ciał. Nie eliminuje to jednak możliwości, że ciało współczynników jest ciałem liczb l -adycznych dla pewnych liczb pierwszych l ≠ p , ponieważ nad tymi ciałami algebra podziału dzieli się i staje się algebrą macierzową, która może działać na dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej . Grothendieck i Michael Artin zdołali skonstruować odpowiednie teorie kohomologii w zakresie liczb l- adycznych dla każdego pierwszego l ≠ p , zwane kohomologią l -adyczną .
Dowody Grothendiecka dotyczące trzech z czterech przypuszczeń
Pod koniec 1964 Grothendieck wraz z Artinem i Jean-Louis Verdierem (i wcześniejszą pracą Dworka z 1960 roku) udowodnili hipotezy Weila poza najtrudniejszą trzecią hipotezą powyżej (hipoteza Riemanna) (Grothendieck 1965). Ogólne twierdzenia o kohomologii étale pozwoliły Grothendieckowi udowodnić analogię wzoru stałoprzecinkowego Lefschetza dla teorii kohomologii l- adycznej, a poprzez zastosowanie jej do automorfizmu Frobeniusa F był w stanie udowodnić przypuszczalny wzór na funkcję zeta:
gdzie każdy wielomian P i jest wyznacznikiem I − TF na l- adycznej grupie kohomologii H i .
Racjonalność funkcji zeta następuje natychmiast. Równanie funkcyjne funkcji zeta wynika z dualizmu Poincarégo dla kohomologii l- adycznej, a związek ze złożonymi liczbami Bettiego windy wynika z twierdzenia o porównaniu między kohomologią l- adyczną i zwykłą dla odmian złożonych.
Bardziej ogólnie, Grothendieck udowodnił podobny wzór dla funkcji zeta (lub „uogólnionej funkcji L”) snopa F 0 :
jako produkt ponad grupy kohomologiczne:
Specjalny przypadek stałego snopa daje zwykłą funkcję zeta.
Pierwszy dowód Deligne'a na przypuszczenie hipotezy Riemanna
Verdier (1974) , Serre (1975) , Katz (1976) oraz Freitag i Kiehl (1988) przedstawili opisy pierwszego dowodu Deligne'a (1974) . Wiele podstaw kohomologii l- adycznej opisano w ( Deligne 1977 ).
Pierwszy dowód Deligne'a dotyczący pozostałej trzeciej hipotezy Weila („hipoteza Riemanna”) wykorzystywał następujące kroki:
Korzystanie z ołówków Lefschetz
- Grothendieck wyraził funkcję zeta w postaci śladu Frobeniusa na l -adycznych grupach kohomologicznych, więc hipotezy Weila dla d- wymiarowej odmiany V nad ciałem skończonym z q elementami zależą od wykazania, że wartości własne α Frobeniusa działające na i th l -adyczna grupa kohomologii H i ( V ) z V ma wartości bezwzględne | α |= q i /2 (dla osadzenia elementów algebraicznych Q l w liczbach zespolonych).
- Po wysadzeniu V i rozszerzeniu pola bazowego można przyjąć, że odmiana V ma morfizm na linii rzutowej P 1 , ze skończoną liczbą włókien osobliwych o bardzo łagodnych (kwadratowych) osobliwościach. Teoria monodromii ołówków Lefschetza , wprowadzona dla odmian złożonych (i zwyczajnej kohomologii) przez Lefschetza (1924) i rozszerzona przez Grothendiecka (1972) oraz Deligne i Katza (1973) na kohomologię l- adyczną, wiąże kohomologię V z tym jego włókien. Stosunek zależy od przestrzeni E X o cykli zanikających , podprzestrzeń z kohomologie H d -1 ( V x ) o nieosobliwej włókien V x , łączone przez klasy, które znikają w pojedynczych włóknach.
- Widmowa sekwencja Leray dotyczy środkową grupę kohomologii z V na kohomologiami włókna i podstawy. Najtrudniejszą częścią jest mniej więcej grupa H 1 ( P 1 , j * E ) = H1
grosz( U , E ), gdzie U to punkty linii rzutowej z nieosobliwymi włóknami, a j to włączenie U do linii rzutowej, a E to snop z włóknami przestrzenie E x cykli zanikania.
Kluczowe oszacowanie
Sednem dowodu Deligne'a jest wykazanie, że snop E nad U jest czysty, innymi słowy znalezienie absolutnych wartości wartości własnych Frobeniusa na jego łodygach. Odbywa się to poprzez badanie zeta funkcje nawet uprawnienia E K z E i stosując formułę Grothendiecka za zeta funkcji jak produkty przemiennych powyżej grup kohomologii. Kluczowa idea uwzględniania nawet k potęg E została zainspirowana pracą Rankina ( 1939 ), który użył podobnego pomysłu z k =2 dla ograniczenia funkcji tau Ramanujan . Langlands (1970 , rozdział 8) zwrócił uwagę, że uogólnienie wyniku Rankina dla wyższych parzystych wartości k implikuje hipotezę Ramanujana , a Deligne zdał sobie sprawę, że w przypadku funkcji zeta odmian, analogię stanowi teoria funkcji zeta snopów Grothendiecka. tego uogólnienia.
- Bieguny funkcji zeta E k wyznacza się za pomocą wzoru Grothendiecka
- oraz jawne obliczenie grup kohomologicznych w mianowniku. H0
Ctermin wynosi zwykle tylko 1, ponieważ U zwykle nie jest zwarty, a H2
centymożna obliczyć w sposób jawny w następujący sposób. Dualizm Poincaré dotyczy H2
centy( E k ) do H0
( E k ), która z kolei jest przestrzenią kowariantów grupy monodromii, która jest geometryczną podstawową grupą U działającą na włóknie E k w punkcie. Włókno E ma postać dwuliniową indukowaną przez produkt kubkowy , który jest antysymetryczny, jeśli d jest parzyste, i sprawia, że E staje się przestrzenią symplektyczną. (Jest to trochę niedokładne: Deligne później wykazał, że E ∩ E ⊥ = 0, używając twardego twierdzenia Lefschetza , wymaga to hipotez Weila, a dowód hipotez Weila naprawdę musi użyć nieco bardziej skomplikowanego argumentu z E / E ∩ E ⊥ zamiast E .) Z argumentacji Kazhdana i Margulisa wynika, że obraz grupy monodromii działającej na E , dany wzorem Picarda–Lefschetza , jest gęsty w grupie symplektycznej Zariskiego i dlatego ma te same niezmienniki, które są dobrze znane z klasycznej teorii niezmienniczej. Śledzenie działania Frobeniusa w tych obliczeniach pokazuje, że wszystkie jego wartości własne to q k ( d −1)/2+1 , więc funkcja zeta z Z ( E k , T ) ma bieguny tylko przy T =1/ q k ( d- 1)/2+1 .
- Iloczyn Eulera dla funkcji zeta E k to
- Jeśli k jest parzyste, to wszystkie współczynniki czynników po prawej stronie (uznawane za szeregi potęgowe w T ) są nieujemne ; następuje to przez pisanie
- i używając faktu, że ślady potęg F są wymierne, więc ich potęgi k są nieujemne, ponieważ k jest parzyste. Deligne dowodzi racjonalności śladów, odnosząc je do liczby punktów odmian, które są zawsze (racjonalnymi) liczbami całkowitymi.
- Szereg potęgowy dla Z ( E k , T ) jest zbieżny dla T mniejszego niż wartość bezwzględna 1/ q k ( d −1)/2+1 jego jedynego możliwego bieguna. Gdy k jest parzyste, współczynniki wszystkich jego czynników Eulera są nieujemne, tak że każdy z czynników Eulera ma współczynniki ograniczone przez stałą razy współczynniki Z ( E k , T ) i dlatego zbiegają się w tym samym regionie i nie mają Polaków w tym regionie. Więc dla k nawet wielomiany Z ( Ek
x, T ) nie mają zer w tym obszarze, czyli wartości własne Frobeniusa na łodygach E k mają wartość bezwzględną co najwyżej q k ( d −1)/2+1 . - To oszacowanie może być wykorzystane do znalezienia wartości bezwzględnej dowolnej wartości własnej α Frobeniusa na włóknie E w następujący sposób. Dla dowolnej liczby całkowitej k , α k jest wartością własną Frobeniusa na łodydze E k , która dla k parzystego jest ograniczona przez q 1+ k ( d −1)/2 . Więc
- Ponieważ dotyczy to arbitralnie dużych par nawet k , oznacza to, że
-
Dwoistość Poincare implikuje zatem, że
Zakończenie dowodu
Wyprowadzenie hipotezy Riemanna z tego oszacowania jest w większości dość prostym zastosowaniem standardowych technik i odbywa się w następujący sposób.
- Wartości własne Frobeniusa na H1
grosz( U , E ) można teraz oszacować , ponieważ są one zerami funkcji zeta snopa E . Ta funkcja zeta może być zapisana jako iloczyn Eulera funkcji zeta łodyg E , a użycie oszacowania wartości własnych na tych łodygach pokazuje, że ten iloczyn jest zbieżny dla | T |< q − d /2−1/2 , aby w tym regionie nie było zer funkcji zeta. Oznacza to, że wartości własne Frobeniusa na E są co najwyżej q d /2+1/2 wartości bezwzględnej (w rzeczywistości wkrótce zobaczymy, że mają one wartość bezwzględną dokładnie q d /2 ). Ten krok argumentacji jest bardzo podobny do zwykłego dowodu, że funkcja zeta Riemanna nie ma zer z częścią rzeczywistą większą niż 1, zapisując ją jako iloczyn Eulera. - Wniosek z tego jest taki, że wartości własne α Frobeniusa różnych parzystych wymiarów d na środkowej grupie kohomologii spełniają
- Aby otrzymać hipotezę Riemanna, należy wyeliminować 1/2 z wykładnika. Można to zrobić w następujący sposób. Zastosowanie tego oszacowania do dowolnej parzystej potęgi V k z V i użycie wzoru Künnetha pokazuje, że wartości własne Frobeniusa w środkowej kohomologii rozmaitości V dowolnego wymiaru d spełniają
- Ponieważ dotyczy to arbitralnie dużych par nawet k , oznacza to, że
-
Dwoistość Poincare implikuje zatem, że
- Dowodzi to przypuszczeń Weila dotyczących środkowej kohomologii odmiany. Przypuszczenia Weila dla kohomologii poniżej wymiaru środkowego wynikają z tego przez zastosowanie słabego twierdzenia Lefschetza , a przypuszczenia dla kohomologii powyżej wymiaru środkowego wynikają z dualizmu Poincarégo.
Drugi dowód Deligne
Deligne (1980) odnalazł i udowodnił uogólnienie hipotez Weila, ograniczające ciężary popychania snopa. W praktyce to uogólnienie, a nie oryginalne przypuszczenia Weila, jest najczęściej używane w aplikacjach, takich jak twarde twierdzenie Lefschetza . Znaczna część drugiego dowodu to przegrupowanie idei jego pierwszego dowodu. Główną potrzebną dodatkową ideą jest argument ściśle związany z twierdzeniem Jacquesa Hadamarda i Charlesa Jean de la Vallée Poussin , użytym przez Deligne'a do wykazania, że różne serie L nie mają zer z częścią rzeczywistą 1.
Snop konstruowalny na rozmaitości nad polem skończonym nazywany jest czystym o masie β jeśli dla wszystkich punktów x wartości własne Frobeniusa przy x wszystkie mają wartość bezwzględną N ( x ) β /2 , i nazywamy mieszanym o wadze ≤ β , można zapisać jako powtarzające się rozszerzenia przez czyste snopy o ciężarach ≤ β .
Twierdzenie Deligne'a mówi, że jeśli f jest morfizmem schematów typu skończonego nad ciałem skończonym, to R i f ! przyjmuje mieszane krążki o masie ≤ β do mieszanych krążków o masie ≤ β + i .
Pierwotne hipotezy Weila następują po przyjęciu f jako morfizmu od gładkiej odmiany rzutowej do punktu i biorąc pod uwagę stały snop Q l na tej odmianie. Daje to górną granicę wartości bezwzględnych wartości własnych Frobeniusa, a dualność Poincarego pokazuje, że jest to również dolna granica.
Ogólnie R i f ! nie bierze czystych snopów w czyste snopy. Dzieje się tak jednak, gdy zachodzi odpowiednia forma dualizmu Poincarégo, na przykład, jeśli f jest gładkie i właściwe, lub jeśli pracuje się z perwersyjnymi snopami, a nie snopami, jak w Beilinson, Bernstein i Deligne (1982) .
Zainspirowany pracą Wittena (1982) nad teorią Morse'a , Laumon (1987) znalazł kolejny dowód, wykorzystując l- adyczną transformatę Fouriera Deligne'a , która pozwoliła mu uprościć dowód Deligne'a poprzez unikanie użycia metody Hadamarda i de la Vallée Poussina . Jego dowód uogólnia klasyczne obliczenie wartości bezwzględnej sum Gaussa, wykorzystując fakt, że norma transformaty Fouriera ma prosty związek z normą pierwotnej funkcji. Kiehl i Weissauer (2001) wykorzystali dowód Laumona jako podstawę do przedstawienia twierdzenia Deligne'a. Katz (2001) przedstawił dalsze uproszczenie dowodu Laumona, używając monodromii w duchu pierwszego dowodu Deligne'a. Kedlaya (2006) podał kolejny dowód używając transformaty Fouriera, zastępując kohomologię etalną kohomologią sztywną .
Aplikacje
- Deligne (1980) był w stanie udowodnić twarde twierdzenie Lefschetza nad ciałami skończonymi, używając swojego drugiego dowodu hipotez Weila.
- Deligne (1971) wykazał wcześniej, że hipoteza Ramanujana-Peterssona wynika z hipotez Weila.
- Deligne (1974 , sekcja 8) wykorzystał hipotezy Weila do udowodnienia szacunków dla sum wykładniczych.
- Nick Katz i William Messing ( 1974 ) byli w stanie udowodnić standardową hipotezę typu Künnetha na polach skończonych, wykorzystując dowód Deligne'a dotyczący hipotez Weila.
Bibliografia
- Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift , 19 (1): 207-246, doi : 10.1007/BF01181075 , ISSN 0025-5874
- Beilinson, Aleksander A .; Bernstein, Józef ; Deligne, Pierre (1982), „Faisceaux pervers”, Analiza i topologia na osobliwych przestrzeniach, I (Luminy, 1981) , Astérisque, 100 , Paryż: Société Mathématique de France , s. 5-171, MR 0751966
- Deligne, Pierre (1971), „Formes modulaires et reprezentacje l-adiques”, Seminaire Bourbaki tom. 1968/69 Exposés 347-363 , Lecture Notes in Mathematics, 179 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0058801 , ISBN 978-3-540-05356-9
- Deligne, Pierre (1974), "Hipoteza de La Weil I" , Publikacje mathématiques de l'IHES , 43 (43): 273-307, doi : 10.1007 / BF02684373 , ISSN 1618/13 , MR 0340258
- Deligne, Pierre , wyd. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — Cohomologie étale (SGA 4,5) , Notatki z matematyki (w języku francuskim), 569 , Berlin: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0091516 , ISBN 978-0-387-08066-6, zarchiwizowane z oryginału dnia 2009-05-15 , pobrane 2010-02-03
- Deligne, Pierre (1980), "Hipoteza de La Weil II" , Publikacje mathématiques de l'IHES , 52 (52): 137-252, doi : 10.1007 / BF02684780 , ISSN 1618/13 , MR 0601520
- Deligne, Pierre ; Katz, Nicholas (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II , Notatki do wykładu z matematyki, t. 340, 340 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0060505 , ISBN 978-3-540-06433-6, numer MR 0354657
- Dwork Bernard (1960), „O racjonalności funkcji zeta rozmaitości algebraicznej”, American Journal of Mathematics , American Journal of Mathematics, tom. 82, nr 3, 82 (3): 631–648, doi : 10.2307/2372974 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372974 , MR 0140494
- Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988), Étale cohomology and the Weil conjecture , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 13 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/ 978-3-662-02541-3 , ISBN 978-3-540-12175-6, MR 0926276
- Grothendieck, Alexander (1960), „Teoria kohomologii abstrakcyjnych rozmaitości algebraicznych” , Proc. Międzynarodowy. Kongres Matematyka. (Edynburg, 1958) , Cambridge University Press , s. 103-118, MR 0130879
- Grothendieck, Alexander (1995) [1965], „Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L”, Seminaire Bourbaki , 9 , Paryż: Société Mathématique de France , s. 41-55, MR 1608788
- Grothendieck, Alexander (1972), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. I , Notatki do wykładu z matematyki, t. 288, 288 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0068688 , ISBN 978-3-540-05987-5, numer MR 0354656
- Katz, Nicholas M. (1976), „Przegląd dowodu Deligne'a hipotezy Riemanna dla odmian nad skończonymi polami”, Rozwój matematyczny wynikający z problemów Hilberta , Proc. Sympoz. Pure Math., XXVIII , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 275-305, MR 0424822
- Katz, Nicholas (2001), "Funkcje L i monodromia: cztery wykłady o Weilu II" , Advances in Mathematics , 160 (1): 81–132, doi : 10.1006/aima.2000.1979 , MR 1831948
- Katz, Mikołaj M .; Messing, William (1974), „Some konsekwencje hipotezy Riemanna dla odmian nad polami skończonymi”, Inventiones Mathematicae , 23 : 73-77, Bibcode : 1974InMat..23...73K , doi : 10.1007/BF01405203 , ISSN 0020- 9910 , numer MR 0332791
- Kedlaya Kiran S. (2006), "transformaty Fouriera i p -adic 'Weil II ' ", compositio Mathematica , 142 (6): 1426/50, arXiv : matematyka / 0210149 , doi : 10,1112 / S0010437X06002338 , ISSN 0010-437X , MR 2278753
- Kiehla, Reinhardta; Weissauer, Rainer (2001), przypuszczenia Weila, przewrotne snopy i l'adyczna transformata Fouriera , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Fog. Seria współczesnych badań w matematyce [Wyniki w matematyce i dziedzinach pokrewnych. III seria. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 42 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-04576-3 , ISBN 978-3-540-41457-5, MR 1855066
- Kleiman, Steven L. (1968), "Cykle algebraiczne i przypuszczenia Weila", Dix esposés sur la cohomologie des schémas , Amsterdam: North-Holland, s. 359-386, MR 0292838
- Langlands, Robert P. (1970), „Problemy w teorii form automorficznych” , Wykłady we współczesnej analizie i zastosowaniach, III , Uwagi do wykładu z matematyki, 170 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 18-61, doi : 10.1007/BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5, MR 0302614
- Laumon, Gérard (1987), "Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionnelles et conjecture de Weil" , Publikacje Mathématiques de l'IHÉS , 65 (65): 131-210, doi : 10.1007/BF02698937 , ISSN 1618-1913 , MR 0908218
- Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (w języku francuskim), Paryż: Gauthier-VillarsPrzedruk w Lefschetz, Solomon (1971), Wybrane dokumenty , New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR 0299447
- Mazur, Barry (1974), „Wartości własne Frobeniusa działające na rozmaitościach algebraicznych nad ciałami skończonymi”, w Hartshorne, Robin (red.), Geometria algebraiczna, Arcata 1974 , Proceedings of Symposias in pure matematyka, 29 , ISBN 0-8218-1429-X
- Moreno, O. (2001) [1994], "Bombieri-Weil bound" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Rankin, Robert A .; Hardy, GH (1939), „Przykłady do teorii funkcji Ramanujana τ i podobnych funkcji arytmetycznych. II. Kolejność współczynników Fouriera integralnych form modułowych”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 35 (3): 357-372 , Kod Bib : 1939PCPS...35..357R , doi : 10.1017/S0305004100021101 , MR 0000411
- Serre, Jean-Pierre (1960), "Analogi kähériens de surees conjectures de Weil", Annals of Mathematics , Druga seria, The Annals of Mathematics, t. 71, nr 2, 71 (2): 392–394, doi : 10.2307/1970088 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970088 , MR 0112163
- Serre, Jean-Pierre (1975), "Valeurs propers des endomorphismes de Frobenius [d'après P. Deligne]", Seminaire Bourbaki tom. 1973/74 Exposés 436–452 , Lecture Notes in Mathematics, 431 , s. 190–204, doi : 10.1007/BFb0066371 , ISBN 978-3-540-07023-8
- Verdier, Jean-Louis (1974), „Indépendance par rapport a des polynômes caractéristiques des endomorphismes de frobenius de la cohomologie ℓ-adique”, Seminaire Bourbaki tom. 1972/73 Exposés 418-435 , Uwagi do wykładu z matematyki, 383 , Springer Berlin / Heidelberg, s. 98-115, doi : 10.1007/BFb0057304 , ISBN 978-3-540-06796-2
- Weil, André (1949), „Liczby rozwiązań równań w polach skończonych” , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 55 (5): 497-508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN 0002 -9904 , MR 0029393Przedrukowane w Oeuvres Scientifiques/Collected Papers przez André Weila ISBN 0-387-90330-5
- Witten, Edward (1982), „Supersymetria and Morse teoria” , Journal of Differential Geometry , 17 (4): 661–692, doi : 10.4310/jdg/1214437492 , ISSN 0022-040X , MR 0683171 , zarchiwizowane od oryginału w 2013 r. -04-16