Charakterystyka (matematyka) - Characterization (mathematics)

W matematyce , A charakterystyka obiektu to zestaw warunków, że choć różni się od definicji obiektu, jest logicznie równoważne do niego. Powiedzieć, że „Właściwość P charakteryzuje obiekt X ” oznacza powiedzieć, że nie tylko X ma właściwość P , ale że X jest jedyną rzeczą, która ma właściwość P (tj. P jest definiującą właściwością X ). Podobnie, mówi się , że zbiór właściwości P charakteryzuje X , gdy właściwości te odróżniają X od wszystkich innych obiektów. Mimo że charakterystyka identyfikuje obiekt w unikalny sposób, dla pojedynczego obiektu może istnieć kilka charakterystyk. Typowe wyrażenia matematyczne dla scharakteryzowania X pod względem P to „ P jest konieczne i wystarczające dla X ” oraz „ X zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy P ”.

Często spotyka się również stwierdzenia takie jak „Właściwość Q charakteryzuje Y aż do izomorfizmu ”. Pierwszy typ rachunku mówi w różnych słów, że rozszerzenie z P jest Singleton zestaw, a drugi mówi, że rozszerzenie Q jest pojedynczym klasy równoważności (do izomorfizmu, w podanym przykładzie - w zależności od tego, jak do jest używany , może być zaangażowana jakaś inna relacja równoważności ).

Odniesienie do terminologii matematycznej wskazuje, że charakterystyka pochodzi od greckiego terminu kharax , „szpiczasty kołek”:

„Od grecki kharax przyszedł kharakhter , instrument używany do znaku lub wygrawerować obiekt. Gdy obiekt został oznaczony, stało się charakterystyczny, więc postać czegoś przyszedł oznacza wyrazisty charakter. Późnym grecki przyrostek -istikos przekształcone rzeczownik charakter do cecha przymiotnikowa , która oprócz zachowania znaczenia przymiotnikowego stała się później również rzeczownikiem.”

Tak jak w chemii, charakterystyczna właściwość materiału posłuży do identyfikacji próbki lub w badaniu materiałów, struktury i właściwości określą charakterystykę , tak w matematyce istnieje nieustanny wysiłek wyrażania właściwości, które wyróżnią pożądaną cechę w teoria lub system. Charakteryzacja nie jest unikalna dla matematyki, ale ponieważ nauka jest abstrakcyjna, wiele czynności można opisać jako „charakteryzowanie”. Na przykład w przeglądach matematycznych od 2018 r. ponad 24 000 artykułów zawiera słowo w tytule artykułu, a 93 600 gdzieś w recenzji.

W dowolnym kontekście obiektów i cech charakteryzacje zostały wyrażone poprzez heterogeniczną relację aRb , co oznacza, że ​​obiekt a posiada cechę b . Na przykład b może oznaczać abstrakcyjne lub konkretne . Przedmioty można uznać za rozszerzenia świata, a cechy są wyrazem intencji . Ciągły program charakteryzowania różnych obiektów prowadzi do ich kategoryzacji .

Przykłady

  • Liczbę wymierną , na ogół definiuje się jako stosunek dwóch liczb całkowitych, można scharakteryzować jako liczba z ograniczonej lub powtarzając rozszerzalności dziesiętnych .
  • Równoległobok jest czworokąt , którego przeciwległe boki są równoległe. Jedną z jego cech charakterystycznych jest to, że przekątne przecinają się nawzajem. Oznacza to, że przekątne we wszystkich równoległobokach przecinają się nawzajem i odwrotnie, że każdy czworokąt, którego przekątne przecinają się nawzajem, musi być równoległobokiem. To ostatnie stwierdzenie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy używa się inkluzywnych definicji czworokątów (tak, że na przykład prostokąty są traktowane jako równoległoboki), co jest obecnie dominującym sposobem definiowania obiektów w matematyce.
  • „Wśród rozkładów prawdopodobieństwa w przedziale od 0 do ∞ na linii rzeczywistej bezpamięć charakteryzuje rozkłady wykładnicze ”. To stwierdzenie oznacza, że ​​rozkłady wykładnicze są jedynymi rozkładami prawdopodobieństwa, które są bezpamięciowe, pod warunkiem, że rozkład jest ciągły, jak zdefiniowano powyżej (więcej w rozdziale Charakteryzacja rozkładów prawdopodobieństwa ).
  • „Zgodnie z twierdzeniem Bohra-Mollerupa wśród wszystkich funkcji f takich, że f (1) = 1 i xf ( x ) = f ( x + 1) dla x > 0, logarytmiczna wypukłość charakteryzuje funkcję gamma ”. Oznacza to, że spośród wszystkich takich funkcji funkcja gamma jest jedyną funkcją logarytmiczno-wypukłą.
  • Okrąg charakteryzuje się jako rozmaitość jako jednowymiarowy, zwarty i połączony ; tutaj charakterystyka, jako gładka rozmaitość, jest aż do dyfeomorfizmu .

Zobacz też

Bibliografia