Okrągłe punkty w nieskończoności - Circular points at infinity

W geometrii rzutowej , że okrągłe punkty w nieskończoności (zwany również cykliczne punktów lub izotropowe punktów ), znajdują się dwa specjalne punkty w nieskończoności w złożonej płaszczyźnie rzutowej , które są zawarte w complexification każdego rzeczywistego koła .

współrzędne

Punkt kompleksu rzutowej płaszczyzna może być opisane w odniesieniu do współrzędnych jednorodnych , będąc potrojonej liczby zespolone ( x  : y  : Ż ) , gdzie dwie trójki opisują ten sam punkt na powierzchni, gdy współrzędne jedno potrójne są takie same tych z drugiej Oprócz bycia pomnożone przez ten sam czynnik niezerową. W systemie tym, punkty, w nieskończoności, może być wybrany jako te, których z -coordinate zero. Dwie koliste punktów w nieskończoności dwa z nich, zwykle przyjmuje się te o współrzędnych jednorodnych

(1: i: 0) i (1: -i: 0) .

Complexified okręgi

Prawdziwy koło zdefiniowane przez punkt środkowej ( x ₀ , y ₀ ) i promień r (z których wszystkie trzy są liczbami rzeczywistymi ) mogą być opisane jako zbiór rzeczywiste rozwiązania równania

${\ Displaystyle (X-x_ {0}) ^ {2} + (y-Y_ {0}) ^ {2} = r ^ {2}.}$

Konwersja ta do jednorodnego wzoru biorąc zbiór wszystkich rozwiązań liczb zespolonych daje complexification okręgu. Dwa punkty okrągłe mają swoją nazwę, ponieważ leżą one na complexification każdego prawdziwego kręgu. Bardziej ogólnie, oba punkty spełniają jednorodne równania typu

${\ Ax displaystyle ^ {2} + Ay ^ {2} + 2B_ {1} 2B_ XZ + YZ {2} CZ ^ {2} = 0.}$

W przypadku, gdy współczynniki są prawdziwe równanie daje ogólną koła (o rzeczywistym rzutowej płaszczyźnie ). Ogólnie, algebraiczna krzywą , która przechodzi przez te dwa punkty nazywa okrągły .

Dodatkowe właściwości

Okrągłe punkty w nieskończoności są punkty w nieskończoności z izotropowymi linii . Są one niezmienne pod tłumaczeń i obrotów płaszczyzny.

Pojęcie kąta może być określona przy użyciu okrągłe punkty, logarytm naturalny i dwustosunku :

Kąt pomiędzy dwoma liniami pewna krotność logarytmu dwustosunku ołówka utworzony przez dwie linie i linie łączenia ich przecięcia z kolistymi punktach.

Sommerville konfiguruje dwie linie na pochodzenie jako Oznaczając okrągłe punkty jak ω i ω ', on uzyskuje współczynnik krzyżowej${\ Displaystyle U: y = x \ tan \ theta \ quad u ': y = x \ tan \ theta.'}$

${\ Displaystyle (uu '\ omega \ omega') = {\ Frac {\ tan \ -i teta} {\ tan \ teta + l}} \ dz {\ Frac {\ tan \ teta „-i} {\ tan \ teta „+ l}}}$ po to aby

${\ Displaystyle \ cp = \ theta. '- \ teta = {\ tfrac {i} {2}} log \ (uu', \ omega \ omega „)}$

Referencje

• Pierre Samuel (1988) geometrii rzutowej Springer sekcja 1.6;
• Semple i Kneebone (1952) algebraiczna geometrii rzutowej , Oxford, sekcja II-8.