Równoległy czworokąt - Equidiagonal quadrilateral
W geometrii euklidesowej An equidiagonal czworoboku jest A wypukła w kształcie czworoboku , którego dwa krzyżulce mają jednakową długość. Równoboczne czworoboki były ważne w starożytnej matematyce indyjskiej , gdzie czworoboki klasyfikowano najpierw według tego, czy były równoboczne, a następnie na bardziej wyspecjalizowane typy.
Przypadki specjalne
Przykłady równobocznych czworoboków obejmują trapezoidy równoramienne , prostokąty i kwadraty .
Spośród wszystkich czworoboków kształtem, który ma największy stosunek obwodu do średnicy, jest latawiec równoboczny o kątach π / 3, 5π / 12, 5π / 6 i 5π / 12.
Charakteryzacje
Wypukły czworobok jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy jego równoległobok Varignon , równoległobok utworzony przez punkty środkowe jego boków, jest rombem . Równoważnym warunkiem jest to, że bimediany czworoboku (przekątne równoległoboku Varignona) są prostopadłe .
Wypukły czworobok o przekątnych długościach i bimediach długości i jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy
Powierzchnia
Obszar K o equidiagonal czworoboku można łatwo obliczyć, jeżeli długość bimedians m i n są znane. Czworokąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy
Wynika to bezpośrednio z faktu, że powierzchnia wypukłego czworoboku jest dwukrotnie większa niż powierzchnia jego równoległoboku Varignon, a przekątne w tym równoległoboku są bimedianami czworoboku. Za pomocą preparatów dla długościom bimedians obszar może być również wyrażone w kategoriach boki a, b, c, d z equidiagonal czworoboku i odległość x pomiędzy środkowymi przekątnych jak
Inne wzory na pole można uzyskać ustawiając p = q we wzorach na pole wypukłego czworoboku .
Związek z innymi typami czworoboków
Równoległobok jest equidiagonal wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostokąt i trapez jest equidiagonal wtedy i tylko wtedy, gdy jest to trapezu równoramiennego . Te cykliczne equidiagonal czworoboki są dokładnie równoramienne trapezy.
Istnieje dwoistość między równobocznymi czworobokami i prostokątnymi czworobokami : czworobok jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy jego równoległobok Varignon jest ortodiagonalny (romb), a czworokąt jest ortodiagonalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego równoległobok Varignona jest równoboczny (prostokąt). Równoważnie, czworobok ma równe przekątne wtedy i tylko wtedy, gdy ma prostopadłe bimediany i ma prostopadłe przekątne wtedy i tylko wtedy, gdy ma równe bimediany. Silvester (2006) podaje dalsze powiązania między czworobokami równobocznymi i ortodiagonalnymi, poprzez uogólnienie twierdzenia van Aubela .
Czworoboki, które są zarówno prostopadłe, jak i równoboczne, w których przekątne są co najmniej tak długie, jak wszystkie boki czworoboku, mają maksymalny obszar swojej średnicy spośród wszystkich czworoboków, rozwiązując przypadek n = 4 największego małego problemu wielokąta . Kwadrat jest jednym z takich czworoboków, ale jest ich nieskończenie wiele. Równoległobok, ortodiagonalne czworoboki nazywane są czworokątami środkowymi, ponieważ są jedynymi, dla których równoległobok Varignona (z wierzchołkami w środkowych punktach boków czworoboku) jest kwadratem. Taki czworobok o kolejnych bokach a, b, c, d ma pole
Równoległobok środkowy jest dokładnie kwadratem.