Ortodiagonalny czworokąt - Orthodiagonal quadrilateral
W geometrii euklidesowej An orthodiagonal czworoboku jest A czworoboku , w której przekątne przecinają się pod kątem prostym . Innymi słowy, jest to figura o czterech bokach, w której odcinki linii między nieprzylegającymi wierzchołkami są do siebie prostopadłe (prostopadłe).
Przypadki specjalne
Latawiec jest orthodiagonal czworoboku, w którym jedna przekątna jest linia symetrii. Latawce są dokładnie prostopadłościennymi czworobokami, które zawierają okrąg styczny do wszystkich czterech boków; to znaczy latawce są stycznymi prostopadłościennymi czworobokami.
Rombu jest orthodiagonal czworoboku z dwoma parami równoległych boków (to jest do orthodiagonal czworoboku, który jest również równoległobok ).
Kwadrat jest ograniczenie przypadku obu latawcem i rombu.
Prawosławne równoboczne czworoboki, w których przekątne są co najmniej tak długie, jak wszystkie boki czworoboku mają maksymalną powierzchnię dla swojej średnicy spośród wszystkich czworoboków, rozwiązując przypadek n = 4 największego małego problemu wielokąta . Kwadrat jest jednym z takich czworoboków, ale jest ich nieskończenie wiele. Prostokątny czworobok, który jest również równoboczny, jest czworobokiem środkowo-kwadratowym, ponieważ jego równoległobok Varignon jest kwadratem. Jego powierzchnię można wyrazić wyłącznie w kategoriach boków.
Charakteryzacje
Dla każdego prostokątnego czworoboku suma kwadratów dwóch przeciwległych boków jest równa sumie dwóch pozostałych przeciwległych boków: dla kolejnych boków a , b , c i d mamy
Wynika to z twierdzenia Pitagorasa , zgodnie z którym każdą z tych dwóch sum dwóch kwadratów można rozszerzyć, aby wyrównać sumę czterech kwadratów odległości od wierzchołków czworoboku do punktu, w którym przecinają się przekątne. I odwrotnie, każdy czworokąt, w którym a 2 + c 2 = b 2 + d 2, musi być ortodiagonalny. Można to udowodnić na wiele sposobów, w tym używając prawa cosinusów , wektorów , dowodu pośredniego i liczb zespolonych .
Przekątne wypukłego czworoboku są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy dwa bimediany mają równą długość.
Według innej charakterystyki przekątne wypukłego czworoboku ABCD są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
gdzie P jest punktem przecięcia przekątnych. Z tego równania wynika niemal natychmiast, że przekątne wypukłego czworoboku są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy rzuty przekątnej przecięcia na boki czworoboku są wierzchołkami cyklicznego czworoboku .
Wypukły czworobok jest ortodiagonalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego równoległobok Varignon (którego wierzchołki są środkami jego boków) jest prostokątem . A pokrewne stany charakteryzujące że wypukła czworoboku jest orthodiagonal wtedy i tylko wtedy, gdy środkami boków i stóp czterech maltitudes osiem punktów concyclic ; koło osiem pkt . Środek tego okręgu to środek ciężkości czworoboku. Czworobok utworzony przez stopy maltitude nazywa się głównym czworobokiem ortodontycznym .
Jeśli normalne po bokach wypukłego czworoboku ABCD przechodzącego przez przekątną przecinają przeciwległe boki w R , S , T , U i K , L , M , N są stopami tych normalnych, to ABCD jest ortodiagonalne, jeśli i tylko jeśli osiem punktów K , L , M , N , R , S , T i U jest koncyklicznych; sekund osiem punkt okręgu . Powiązana charakterystyka stwierdza, że wypukły czworokąt jest ortodiagonalny wtedy i tylko wtedy, gdy RSTU jest prostokątem, którego boki są równoległe do przekątnych ABCD .
Istnieje kilka charakterystyk metrycznych dotyczących czterech trójkątów utworzonych przez przekątne przecięcie P i wierzchołki wypukłego czworoboku ABCD . Oznaczmy przez m 1 , m, 2 , m, 3 , m 4 z mediany w trójkąty ABP , BCP , CDP , DAP z P na boki AB , BC , CD , DA odpowiednio. Jeśli R 1 , R 2 , R 3 , R 4 i h 1 , h 2 , h 3 , H 4 oznaczają promieni z circumcircles i wysokościach , odpowiednio tych trójkątów, po czym czworokąt ABCD znaczy orthodiagonal wtedy i tylko wtedy, gdy ktoś z następujących równości:
Ponadto czworobok ABCD z przecięciem P przekątnych jest ortodiagonalny wtedy i tylko wtedy, gdy środki opisujące trójkąty ABP , BCP , CDP i DAP są środkami boków czworoboku.
Porównanie ze stycznym czworobokiem
Kilka charakterystyk metrycznych czworoboków stycznych i czworokątów prostopadłościennych ma bardzo podobny wygląd, jak widać w tej tabeli. Oznaczenia na bokach a , b , c , d , promienie okrążające R 1 , R 2 , R 3 , R 4 oraz wysokości h 1 , h 2 , h 3 , h 4 są takie same jak powyżej w obu typach czworoboki.
Styczny czworokąt | Ortodiagonalny czworokąt |
---|---|
Powierzchnia
Obszar K o orthodiagonal czworoboku równa się połowie produktu z długościami przekątnych p i q :
I odwrotnie, każdy wypukły czworobok, w którym można obliczyć powierzchnię za pomocą tego wzoru, musi być ortodiagonalny. Prostokątny czworobok ma największą powierzchnię spośród wszystkich wypukłych czworoboków o określonych przekątnych.
Inne właściwości
- Prostokątne czworoboki są jedynymi czworobokami, dla których boki i kąt utworzony przez przekątne nie określają jednoznacznie pola powierzchni. Na przykład dwa rombów, oba mające wspólną stronę a (i, tak jak w przypadku wszystkich rombów, oba mają kąt prosty między przekątnymi), ale jeden z nich ma mniejszy kąt ostry niż drugi, mają różne obszary (obszar poprzedniego zbliża się do zera gdy kąt ostry zbliża się do zera).
- Jeśli kwadraty są zmontowane na zewnątrz po obu stronach każdej czworoboku (wypukłe, wklęsłe lub przekroczeniu), a następnie ich centrów ( centroidy ) są wierzchołkach orthodiagonal czworoboku, która również equidiagonal (to znaczy, o przekątnej równej długości). Nazywa się to twierdzeniem Van Aubela .
- Każdy bok prostokątnego czworoboku ma co najmniej jeden wspólny punkt z okręgiem punktów Pascala.
Właściwości prostokątnych czworoboków, które są również cykliczne
Circumradius i obszar
W przypadku cyklicznego prostokątnego czworoboku (takiego, który można wpisać w okrąg ), załóżmy, że przecięcie przekątnych dzieli jedną przekątną na odcinki o długości p 1 i p 2, a drugą na odcinki o długości q 1 i q 2 . Zatem (pierwsza równość to Propozycja 11 w Księdze lematów Archimedesa )
gdzie D jest średnicą okręgu opisanego . Dzieje się tak, ponieważ przekątne są prostopadłymi akordami koła . Te równania dają wyrażenie promienia obwodu
lub, jeśli chodzi o boki czworoboku, jak
Z tego też wynika
Tak więc, zgodnie z twierdzeniem Eulera o czworoboku , promień promienia można wyrazić w postaci przekątnych p i q , a odległość x między środkami przekątnych jako
Wzór na pole powierzchni K cyklicznego czworoboku ortodiagonalnego w odniesieniu do czterech boków uzyskuje się bezpośrednio, łącząc twierdzenie Ptolemeusza i wzór na pole czworoboku ortodiagonalnego . Wynik to
Inne właściwości
- W cyklicznym czworoboku ortodiagonalnym antycentrum pokrywa się z punktem, w którym przecinają się przekątne.
- Twierdzenie Brahmagupty stwierdza, że w przypadku cyklicznego prostopadłego czworoboku prostopadła z dowolnego boku przechodząca przez punkt przecięcia przekątnych przecina na pół przeciwną stronę.
- Jeśli orthodiagonal czworoboku jest także cykliczne, odległość od circumcenter (środek okręgu opisanego) do każdej strony jest równa połowie długości po stronie przeciwnej.
- W cyklicznym prostokątnym czworoboku odległość między punktami środkowymi przekątnych jest równa odległości między środkiem okręgu a punktem, w którym przecinają się przekątne.
Nieskończone zbiory wpisanych prostokątów
Dla każdego prostokąta czworoboku możemy wpisać dwa nieskończone zestawy prostokątów:
- (i) zestaw prostokątów, których boki są równoległe do przekątnych czworoboku
- (ii) zbiór prostokątów określonych przez okręgi z punktami Pascala.