Optyka Fouriera - Fourier optics

Optyka Fouriera to nauka o klasycznej optyce wykorzystująca transformaty Fouriera (FT), w których rozważany kształt fali jest uważany za złożony z kombinacji lub superpozycji fal płaskich. Ma pewne podobieństwa do zasady Huygensa-Fresnela , w której front falowy jest uważany za złożony z kombinacji sferycznych frontów falowych (zwanych również frontami fazowymi), których suma jest badanym frontem falowym. Kluczową różnicą jest to, że optyka Fouriera uważa fale płaskie za naturalne mody ośrodka propagacji, w przeciwieństwie do Huygensa-Fresnela, gdzie fale sferyczne pochodzą z ośrodka fizycznego.

Zakrzywiony front fazowy można zsyntetyzować z nieskończonej liczby tych „modów naturalnych”, tj. z frontów fazowych fali płaskiej zorientowanych w różnych kierunkach w przestrzeni. Daleko od swoich źródeł, rozszerzająca się fala sferyczna jest lokalnie styczna do płaskiego frontu fazowego (pojedyncza fala płaska z nieskończonego spektrum), która jest poprzeczna do promieniowego kierunku propagacji. W tym przypadku tworzony jest wzór dyfrakcyjny Fraunhofera , który emanuje z pojedynczego centrum fazowego fali sferycznej. W polu bliskim nie istnieje jedno dobrze zdefiniowane centrum fazowe fali sferycznej, więc czoło fali nie jest lokalnie styczne do kuli. W tym przypadku powstałby wzór dyfrakcji Fresnela , który emanuje z rozszerzonego źródła, składającego się z rozmieszczenia (fizycznie identyfikowanych) sferycznych źródeł fal w przestrzeni. W polu bliskim pełne spektrum fal płaskich jest niezbędne do reprezentowania fali bliskiego pola Fresnela, nawet lokalnie . „Szeroka” fala poruszająca się do przodu (jak rozszerzająca się fala oceaniczna zbliżająca się do brzegu) może być uważana za nieskończoną liczbę „ modów fali płaskiej ”, z których wszystkie mogą (gdy zderzają się z czymś na drodze) rozpraszać się niezależnie od jednego inny. Te matematyczne uproszczenia i obliczenia są domeną analizy i syntezy Fouriera – razem mogą opisać, co się dzieje, gdy światło przechodzi przez różne szczeliny, soczewki lub lustra zakrzywione w jedną lub drugą stronę, albo jest w pełni lub częściowo odbijane.

Optyka Fouriera tworzy większość teorii stojących za technikami przetwarzania obrazu , a także znajduje zastosowania, w których informacje muszą być wydobyte ze źródeł optycznych, takich jak optyka kwantowa . Ujmując to w nieco bardziej złożony sposób, podobnie do koncepcji częstotliwości i czasu stosowanej w tradycyjnej teorii transformacji Fouriera, optyka Fouriera wykorzystuje przestrzenną domenę częstotliwości ( k _x , k _y ) jako sprzężenie przestrzeni ( x , y ) domena. Powszechnie stosowane są terminy i pojęcia, takie jak teoria transformacji, widmo, szerokość pasma, funkcje okna i próbkowanie z jednowymiarowego przetwarzania sygnału .

Propagacja światła w jednorodnych, bezźródłowych mediach

Światło można opisać jako kształt fali rozchodzącej się w wolnej przestrzeni (próżnia) lub medium materialnym (takim jak powietrze lub szkło). Matematycznie, składnik o wartości rzeczywistej pola wektorowego opisującego falę jest reprezentowany przez skalarną funkcję falową u, która zależy zarówno od przestrzeni, jak i czasu:

${\displaystyle u=u(\mathbf {r},t)}$

gdzie

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}$

reprezentuje pozycję w przestrzeni trójwymiarowej (w kartezjańskim układzie współrzędnych tutaj), a t reprezentuje czas.

Równanie falowe

Optyka Fouriera zaczyna się od jednorodnego, skalarnego równania falowego (obowiązuje w regionach bez źródła):

${\ Displaystyle \ lewo (\ nabla ^ {2}-{\ Frac {1} {c ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowy ^ {2}} {\ częściowy {t} ^ {2}}} \right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$

gdzie jest prędkością światła, a u ( r , t ) jest wartością rzeczywistą kartezjańską składową fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w wolnej przestrzeni (np. u ( r , t ) = E _i ( r , t ) dla i = x , y , lub z gdzie E _i jest składową i- osi pola elektrycznego E w kartezjańskim układzie współrzędnych ). ${\displaystyle c}$

Sinusoidalny stan ustalony

Jeżeli światło o stałej częstotliwości w czasie / długość fali / kolor zakłada (od lasera jednomodowego), a następnie, w odniesieniu do konwencji czasu projektowania, które zakłada się zależność czasową rozwiązań fali przy częstotliwości kątowej z którym jest czasem okres fal, czasowo- harmoniczną postać pola optycznego podaje się jako ${\ Displaystyle e ^ {i \ omega t}}$${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$${\displaystyle f=1/\tau}$${\ Displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle u (\ mathbf {R} , t) = \ operatorname {Re} \ lewo \ {\ psi (\ mathbf {R}) e ^ {i \ omega t} \ prawej \}}$.

gdzie jest jednostka urojona , czy operator bierze rzeczywistą część , ${\displaystyle i}$${\ Displaystyle \ operatorname {Re} \ lewo \ {x \ prawo \}}$${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$

jest częstotliwością kątową (w radianach na jednostkę czasu) fal świetlnych, oraz

${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {R} ) = a (\ mathbf {r} ) e ^ {i \ phi (\ mathbf {r} )}}$

jest na ogół wielkością zespoloną , z oddzielną amplitudą w nieujemnej liczbie rzeczywistej i fazie . ${\displaystyle a}$${\displaystyle \phi}$

Równanie Helmholtza

Podstawienie tego wyrażenia do powyższego równania falowego skalarnego daje niezależną od czasu postać równania falowego,

${\ Displaystyle \ operatorname {Re} \ lewo \ {\ lewo (\ Nabla ^ {2} + k ^ {2} \ prawej) \ psi (\ mathbf {R}) \ prawej \} = 0}$

gdzie

${\ Displaystyle k = {\ omega \ nad c} = {2 \ pi \ nad \ lambda}}$

z długością fali w próżni jest liczbą falową (zwaną również stałą propagacji), jest przestrzenną częścią złożonej składowej kartezjańskiej fali elektromagnetycznej. Należy zauważyć, że stała propagacji i częstotliwość kątowa są ze sobą liniowo powiązane, co jest typową cechą poprzecznych fal elektromagnetycznych (TEM) w ośrodkach jednorodnych. ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r} )}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle \ omega}$

Ponieważ pierwotnie pożądane rozwiązanie równania falowego o wartościach rzeczywistych można po prostu uzyskać, biorąc część rzeczywistą , rozwiązanie następującego równania, znanego jako równanie Helmholtza , dotyczy głównie tego, że traktowanie funkcji o wartościach zespolonych jest często znacznie łatwiejsze niż traktując odpowiednią funkcję o wartościach rzeczywistych. ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)}$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) e ^ {i \ omega t}}$

${\ Displaystyle \ lewo (\ nabla ^ {2} + k ^ {2} \ prawej) \ psi (\ mathbf {r}) = 0}$.

Rozwiązywanie równania Helmholtza

Rozwiązania równania Helmholtza w kartezjańskim układzie współrzędnych można łatwo znaleźć za pomocą zasady rozdzielania zmiennych dla równań różniczkowych cząstkowych . Zasada ta mówi, że w oddzielnych ortogonalne współrzędne An elementarna roztworu produktu z równaniem fali mogą być wykonane z następujących postaci:

${\ Displaystyle \ psi (x, y, z) = f_ {x} (x) \ razy f_ {y} (y) \ razy f_ {z} (z)}$

tj. jako iloczyn funkcji x razy funkcja y razy funkcja z . Jeśli to rozwiązanie iloczynu elementarnego podstawić do równania falowego, używając skalarnego Laplace'a w układzie współrzędnych kartezjańskich

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = {\ Frac {\ częściowy ^ {2} \ psi} {\ częściowy x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowy ^ {2} \ psi} { \partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}}$

, otrzymujemy następujące równanie dla 3 poszczególnych funkcji:

${\ Displaystyle f''_ {x} (x) f_ {y} (y) f_ {z} (z) + f_ {x} (x) f''_ {y} (y) f_ {z} ( z)+f_{x}(x)f_{y}(y)f''_{z}(z)+k^{2}f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z }(z)=0\,}$

który jest łatwo przearanżowany w formę:

${\ Displaystyle {\ Frac {f''_ {x} (x)} {f_ {x} (x)}} + {\ Frac {f''_ {y} (y)} {f_ {y} ( y)}}+{\frac {f''_{z}(z)}{f_{z}(z)}}+k^{2}=0}$

Można teraz argumentować, że każdy iloraz w powyższym równaniu musi z konieczności być stały. Aby to uzasadnić, załóżmy, że pierwszy iloraz nie jest stałą i jest funkcją x . Ponieważ żaden z pozostałych wyrazów w równaniu nie ma żadnej zależności od zmiennej x , więc pierwszy wyraz również nie może mieć żadnej zależności od x ; musi być stała. (Jeżeli pierwszy wyraz jest funkcją x , to nie ma możliwości, aby lewa strona równania była równa zero.) Ta stała jest oznaczona jako - k _x ². Rozumując w podobny sposób dla ilorazów y i z otrzymuje się trzy równania różniczkowe zwyczajne dla f _x , f _y i f _z , wraz z jednym warunkiem rozdzielenia :

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f_ {x} (x) + k_ {x} ^ {2} f_ {x} (x) = 0}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2}} {dy ^ {2}}} f_ {y} (y) + k_ {y} ^ {2} f_ {y} (y) = 0}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} f_ {z} (z) + k_ {z} ^ {2} f_ {z} (z) = 0}$

${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$

Każde z tych 3 równań różniczkowych ma tę samą postać rozwiązania: sinusy, cosinusy lub złożone wykładniki. Podejdziemy do złożonego wykładniczego jako funkcji złożonej. W rezultacie elementarne rozwiązanie produktu to ${\ Displaystyle \ psi (x, y, z)}$${\ Displaystyle \ psi (x, y, z)}$

${\ Displaystyle \ psi (x, y, z) = Ae ^ {ik_ {x} x} e ^ {ik_ {y} y} e ^ {ik_ {z} z}}$

${\ Displaystyle = Ae ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {ik_ {z} z}}$

${\ Displaystyle = Ae ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {\ pm iz {\ sqrt {k ^ {2}-k_ {x} ^ {2}-k_ {y }^{2}}}}}$

z liczbą zespoloną ogólnie . Rozwiązanie to jest część przestrzenną o wartości zespolonej kartezjańskiego składnika (na przykład , lub jako składnik pola elektrycznego wzdłuż każdej osi w układzie współrzędnych ) fali rozmnożeniowy płaszczyźnie. ( , lub ) jest tutaj liczbą rzeczywistą, ponieważ przyjęto fale w ośrodku bezźródłowym, więc każda fala płaska nie ulega zanikowi ani wzmocnieniu podczas propagacji w ośrodku. Ujemny znak o ( , lub ) w wektorze fali (gdzie ) oznacza, że wektor kierunku propagacji fali ma pozytywny ( , lub ) -component, natomiast znak dodatni oznacza ujemny ( , lub ) -component z ten wektor. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle E_ {x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\ Displaystyle E_ {z}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\ Displaystyle {\ vec {k}} = k_ {x} \ widehat {x}} + k_ {y} {\ widehat {y}} + k_ {z} {\ widehat {z}}}$${\ Displaystyle \ lewo \ vert {\ vec {k}} \ prawo \ vert = k = {\ omega \ nad c} = {2 \ pi \ nad \ lambda}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

Rozwiązania produktów równania Helmholtza są również łatwo uzyskiwane we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych , co daje cylindryczne i sferyczne harmoniczne (przy czym pozostałe separowalne układy współrzędnych są używane znacznie rzadziej).

Kompletne rozwiązanie: całka superpozycji

Ogólne rozwiązanie jednorodnego równania fali elektromagnetycznej o ustalonej częstotliwości czasu w kartezjańskim układzie współrzędnych można utworzyć jako ważoną superpozycję wszystkich możliwych elementarnych rozwiązań fal płaskich jako ${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ psi (x, y, z) = \ inft _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ inft _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ psi _ {0} (k_ { x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_{x}^{ 2}-k_{y}^{2}}}}~dk_{x}dk_{y}~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2.1)}$

z ograniczeniami , każdy jako liczba rzeczywista i gdzie . ${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$${\displaystyle k_{i}}$${\ Displaystyle k = {\ omega \ nad c} = {2 \ pi \ nad \ lambda}}$${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$

Następnie niech

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ psi (x, y, z) | _ {z = 0}}$.

Następnie:

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ inft _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ psi _ {0} ( k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$

Ta reprezentacja widma fali płaskiej ogólnego pola elektromagnetycznego (np. fali sferycznej) jest podstawową podstawą optyki Fouriera (nie można tego wystarczająco mocno podkreślić), ponieważ gdy z = 0, powyższe równanie po prostu staje się transformatą Fouriera (FT ) związek między polem a jego płaską zawartością fali (stąd nazwa „optyka Fouriera”).

Zatem:

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (k_ {x}, k_ {y}) = {\ mathcal {F}} \ {\ psi _ {0} (x, y) \}}$

oraz

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = {\ mathcal {F}} ^ {-1} \ {\ psi _ {0} (k_ {x}, k_ {y}) \}}$

Cała przestrzenna zależność każdej składowej fali płaskiej jest wyraźnie opisana przez funkcję wykładniczą. Współczynnik wykładniczy jest funkcją tylko dwóch składowych wektora falowego dla każdej fali płaskiej (ponieważ pozostałą składową można wyznaczyć poprzez wspomniane wyżej ograniczenia), na przykład i , tak jak w zwykłej analizie Fouriera i przekształceniach Fouriera . ${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle k_{y}}$

Połączenie między optyką Fouriera a rozdzielczością obrazowania

Rozważmy system obrazowania, w którym oś z jest osią optyczną systemu, a płaszczyzna obiektu (do zobrazowania na płaszczyźnie obrazu systemu) jest płaszczyzną . Na powierzchni przedmiotu, przy czym część przestrzenną o wartości zespolonej kartezjańskiego składowej fali jest, jak wskazano powyżej, z ograniczeniami w , każdy jako liczba rzeczywista, oraz gdzie . Obrazowanie to rekonstrukcja fali na płaszczyźnie obiektu (posiadanie informacji o wzorze na płaszczyźnie obiektu, który ma być zobrazowany) na płaszczyźnie obrazu poprzez odpowiednią propagację fali od obiektu do płaszczyzn obrazu (np. pomyśl o obrazowaniu obrazu w przestrzeni powietrznej), a fala na płaszczyźnie obiektu, która w pełni podąża za wzorem, który ma być zobrazowany, jest w zasadzie opisana przez nieograniczoną odwrotną transformację Fouriera, która przyjmuje nieskończony zakres liczb rzeczywistych. Oznacza to, że dla danej częstotliwości światła tylko część pełnej cechy wzoru może być zobrazowana ze względu na wspomniane wyżej ograniczenia dotyczące ; (1) drobna cecha, której reprezentacja w odwrotnej transformacji Fouriera wymaga częstotliwości przestrzennych , gdzie liczby fal poprzecznych są zadowalające , nie może być w pełni zobrazowana, ponieważ fale o takich nie istnieją dla danego światła (Zjawisko to jest znane jako granica dyfrakcji .) oraz (2) częstotliwości przestrzenne o tak zbliżonych kątach wychodzących fal w stosunku do osi optycznej, wymagają systemu obrazowania o wysokiej NA ( Apertura numeryczna ), który jest drogi i trudny do zbudowania. Dla (1), nawet jeśli podłużne liczby falowe o wartościach zespolonych są dozwolone (przez nieznaną interakcję między światłem a wzorem płaszczyzny obiektu, który zwykle jest materiałem stałym), powodują zanik światła wzdłuż osi (wzmocnienie światła wzdłuż osi nie fizycznie ma sens, jeśli nie ma materiału wzmacniającego między obiektem a płaszczyznami obrazu, a jest to zwykły przypadek.), więc fale z takim mogą nie docierać do płaszczyzny obrazu, która zwykle jest wystarczająco daleko od płaszczyzny obiektu. ${\displaystyle \displaystyle z=0}$${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ inft _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ psi _ {0} ( k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$${\displaystyle k_{i}}$${\ Displaystyle k = {\ omega \ nad c} = {2 \ pi \ nad \ lambda}}$${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$${\ Displaystyle \ psi _ {0, unc} (x, y) = \ inft _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ inft _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ psi _ {0 }(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle {\frac {\displaystyle k_{T}}{2\pi}}}$${\displaystyle \displaystyle k_{T}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle k_ {T} ^ {2} = k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} \ geq k ^ {2}}$${\displaystyle \displaystyle k_{T}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k_{T}<k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k_{z}}$${\displaystyle k_{z}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k_{z}}$

W połączeniu z fotolitografią elementów elektronicznych, te (1) i (2) są powodami, dla których do zobrazowania drobniejszych cech układów scalonych wymagane jest światło o wyższej częstotliwości (mniejsza długość fali, a zatem większa wartość ) lub system obrazowania o wyższej wartości NA. fotorezyst na płytce. W efekcie maszyny realizujące taką litografię optyczną stają się coraz bardziej złożone i droższe, co znacznie podnosi koszty produkcji podzespołów elektronicznych. ${\displaystyle k}$

Przybliżenie przyosiowe

Propagacja fali przyosiowej (oś optyczna przyjmowana jako oś z)

Zakłada się, że rozwiązanie równania Helmholtza jako przestrzennej części składowej kartezjańskiej o wartościach zespolonych jednej fali częstotliwości przyjmuje postać:

${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r} ) = A (\ mathbf {r}) e ^ {-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$

gdzie jest wektor falowy , a ${\displaystyle \mathbf {k}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} = k_ {x} \ mathbf {x} + k_ {y} \ mathbf {y} + k_ {z} \ mathbf {z}}$

oraz

${\ Displaystyle k = \ | \ mathbf {k} \ | = {\ sqrt {k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}}} = {\ omega \nad c}}$

to numer fali. Następnie użyj przybliżenia przyosiowego , czyli przybliżenia małego kąta takiego, że

${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} \ ll k_ {z} ^ {2}}$

a więc aż do aproksymacji funkcji trygonometrycznych drugiego rzędu (tj. do drugiego członu w rozwinięciu w szereg Taylora każdej funkcji trygonometrycznej),

${\ Displaystyle \ sin \ theta \ ok \ theta}$

${\ Displaystyle \ tan \ theta \ ok \ theta}$

${\ Displaystyle \ cos \ theta \ ok 1-\ theta ^ {2}/2}$

gdzie jest kątem (w radianach) między wektorem falowym k a osią z jako osią optyczną omawianego układu optycznego. ${\displaystyle \theta}$

W rezultacie,

${\ Displaystyle k_ {z} = k \ cos \ theta \ w przybliżeniu k (1-\ theta ^ {2}/2)}$

oraz

${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {R}) \ w przybliżeniu A (\ mathbf {R}) e ^ {-i (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {ikz \ theta ^ {2 }/2}e^{-ikz}}$

Równanie fal przyosiowych

Podstawiając to wyrażenie do równania Helmholtza, otrzymujemy równanie fali przyosiowej:

${\ Displaystyle \ nabla _ {T} ^ {2} A-2ik {\ częściowy A \ nad \ częściowy z} = 0}$

gdzie

${\ Displaystyle \ nabla _ {T} ^ {2} = \ nabla ^ {2} - {\ częściowy ^ {2} \ nad \ częściowy z ^ {2}} = {\ częściowy ^ {2} \ nad \ częściowy x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}}$

jest poprzecznym operatorem Laplace'a w kartezjańskim układzie współrzędnych . W wyprowadzeniu równania fali przyosiowej stosuje się następujące przybliżenia.

• ${\displaystyle \theta}$jest małe ( ), więc termin z jest ignorowany.${\ Displaystyle \ theta \ ll 1}$${\ Displaystyle \ theta ^ {2}}$
• Terminy z i są znacznie mniejsze niż terminy z (lub ), więc te dwa terminy są ignorowane.${\ Displaystyle 2k_ {x}}$${\displaystyle 2k_{y}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle 2k_{z}}$
• ${\ Displaystyle \ lewo \ vert {\ Frac {{\ częściowy} ^ {2}} {\ częściowy {{z} ^ {2}}}} A (\ mathbf {R}) \ prawo \ vert \ ll \ lewo \vert k{\frac {\częściowy }{\częściowy {z}}}A(\mathbf {r} )\right\vert }$więc termin z jest ignorowany. Jest to przybliżenie powoli zmieniającej się obwiedni , co oznacza, że ​​amplituda lub obwiednia fali zmienia się powoli w porównaniu z głównym okresem fali .${\ Displaystyle {\ Frac {{\ częściowy} ^ {2}} {\ częściowy {{z} ^ {2}}}} A (\ mathbf {R})}$${\displaystyle A(\mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {2 \ pi} {k}}}$

Przybliżenie pola dalekiego

Powyższe równanie można ocenić asymptotycznie w polu dalekim (przy użyciu metody fazy stacjonarnej ), aby pokazać, że pole w odległym punkcie ( x , y , z ) jest rzeczywiście spowodowane wyłącznie składową fali płaskiej ( k _x , k _y , k _z ), który rozchodzi się równolegle do wektora ( x , y , z ) i którego płaszczyzna jest styczna do frontu fazowego w ( x , y , z ). Matematyczne szczegóły tego procesu można znaleźć u Scotta [1998] lub Scotta [1990]. Wynikiem wykonania integracji fazy stacjonarnej na powyższym wyrażeniu jest następujące wyrażenie,

${\ Displaystyle E_ {u} (r \ theta \ phi) ~ = ~ 2 \ pi ja ~ (k ~ \ cos \ theta) ~ {\ Frac {e ^ {-ikr}} {r}} ~ E_ {u}(k~\sin \theta ~\cos \phi ,k~\sin \theta ~\sin \phi )~~~~~~~~~~~~(2.2)}$

co wyraźnie wskazuje, że pole w (x,y,z) jest wprost proporcjonalne do składowej widmowej w kierunku (x,y,z), gdzie,

${\displaystyle x=r~\sin \theta~\cos\phi}$

${\ Displaystyle y = r ~ \ grzech \ theta ~ \ grzech \ phi}$

${\ Displaystyle Z = r ~ \ cos \ theta ~}$

oraz

${\ Displaystyle k_ {x} = k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}$

${\ Displaystyle k_ {y} = k ~ \ grzech \ theta ~ \ grzech \ phi}$

${\ Displaystyle k_ {z} = k ~ \ cos \ theta ~}$

Innymi słowy, wzór promieniowania dowolnego rozkładu pola płaskiego jest FT tego rozkładu źródła (patrz zasada Huygensa-Fresnela , gdzie to samo równanie jest opracowane przy użyciu podejścia opartego na funkcji Greena ). Zauważ, że to NIE jest fala płaska. Uzależnienie promieniowego sferyczny fali - zarówno pod względem wielkości i fazy - którego amplituda jest lokalny FT rozkładu źródła płaszczyzny w tym drugim kątem pola. Widmo fali płaskiej nie ma nic wspólnego z twierdzeniem, że pole zachowuje się jak fala płaska na duże odległości. ${\ Displaystyle {\ Frac {e ^ {-ikr}} {r}}}$

Przestrzeń a przepustowość kątowa

Powyższe równanie (2.2) ma kluczowe znaczenie dla utworzenia połączenia między przepustowością przestrzenną (z jednej strony) a przepustowością kątową (z drugiej) w dalekim polu. Zauważ, że termin „pole dalekie” zwykle oznacza, że ​​mówimy o zbieżnej lub rozbieżnej fali sferycznej z dość dobrze zdefiniowanym centrum fazowym. Połączenie między szerokością pasma przestrzennego i kątowego w polu dalekim jest niezbędne do zrozumienia właściwości filtrowania dolnoprzepustowego cienkich soczewek. Patrz rozdział 5.1.3 dla warunku określającego region pola dalekiego.

Po zrozumieniu pojęcia szerokości pasma kątowego, optyk może „skakać tam i z powrotem” między domenami przestrzennymi i spektralnymi, aby szybko uzyskać wgląd, który zwykle nie byłby tak łatwo dostępny tylko dzięki rozważaniom dotyczącym dziedziny przestrzennej lub optyki promieniowej. Na przykład, jakakolwiek szerokość pasma źródła, która leży poza kątem krawędzi do pierwszej soczewki (ten kąt krawędzi ustawia szerokość pasma systemu optycznego) nie zostanie przechwycona przez system do przetwarzania.

Na marginesie, naukowcy zajmujący się elektromagnetyzmami opracowali alternatywne sposoby obliczania pola elektrycznego strefy dalekiej, które nie obejmuje integracji fazy stacjonarnej. Opracowali koncepcję znaną jako „fikcyjne prądy magnetyczne”, zwykle oznaczaną przez M i zdefiniowaną jako

${\ Displaystyle ~ ~ \ mathbf {M} ~ = ~ 2 \ mathbf {E} ^ {aper} ~ \ razy ~ \ mathbf {\ kapelusz {z}}}$.

W równaniu tym zakłada się, że wektor jednostkowy w kierunku z wskazuje na półprzestrzeń, w której zostaną wykonane obliczenia pola dalekiego. Te równoważne prądy magnetyczne są uzyskiwane przy użyciu zasad równoważności, które, w przypadku nieskończonej powierzchni płaskiej, pozwalają na „zobrazowanie” wszelkich prądów elektrycznych J , podczas gdy fikcyjne prądy magnetyczne są uzyskiwane z pola elektrycznego o dwukrotnie większej aperturze (patrz Scott [1998] ]). Następnie wypromieniowane pole elektryczne jest obliczane z prądów magnetycznych za pomocą równania podobnego do równania dla pola magnetycznego wypromieniowanego przez prąd elektryczny. W ten sposób otrzymuje się równanie wektorowe dla wypromieniowanego pola elektrycznego w postaci pola elektrycznego apertury, a wyprowadzenie nie wymaga stosowania idei fazy stacjonarnej.

Widmo fali płaskiej: podstawa optyki Fouriera

Optyka Fouriera różni się nieco od zwykłej optyki promieni, zwykle używanej w analizie i projektowaniu systemów zogniskowanego obrazowania, takich jak kamery, teleskopy i mikroskopy. Optyka promieni jest pierwszym rodzajem optyki, z którym większość z nas spotyka się w swoim życiu; jest prosty w konceptualizacji i zrozumieniu oraz bardzo dobrze sprawdza się w uzyskaniu podstawowej wiedzy na temat popularnych urządzeń optycznych. Niestety, optyka promieniowa nie wyjaśnia działania układów optycznych Fouriera, które na ogół nie są układami zogniskowanymi. Optyka promieni jest podzbiorem optyki falowej (w żargonie jest to „asymptotyczna granica zerowej długości fali” optyki falowej) i dlatego ma ograniczoną przydatność. Musimy wiedzieć, kiedy jest ważne, a kiedy nie – a to jeden z tych momentów, kiedy nie jest. W naszym obecnym zadaniu musimy poszerzyć nasze rozumienie zjawisk optycznych o optykę falową, w której pole optyczne jest postrzegane jako rozwiązanie równań Maxwella. Ta bardziej ogólna optyka falowa dokładnie wyjaśnia działanie urządzeń z optyką Fouriera.

W tej części nie będziemy wracać do równań Maxwella, ale zaczniemy od jednorodnego równania Helmholtza (obowiązującego w mediach bezźródłowych), które jest o jeden poziom udoskonalenia w stosunku do równań Maxwella (Scott [1998]). ). Z tego równania pokażemy, jak nieskończone, jednorodne fale płaskie składają się na jedno rozwiązanie pola (z wielu możliwych) w wolnej przestrzeni. Te jednolite fale płaskie stanowią podstawę do zrozumienia optyki Fouriera.

Samolot fala spektrum koncepcji jest podstawowym fundamentem Fouriera Optics. Widmo fali płaskiej jest ciągłym widmem jednorodnych fal płaskich, a w widmie występuje jeden składnik fali płaskiej dla każdego punktu stycznej na froncie fazy pola dalekiego. Amplituda tej składowej fali płaskiej byłaby amplitudą pola optycznego w tym punkcie stycznej. Znowu jest to prawdą tylko w polu dalekim, zdefiniowanym jako: Zakres = 2 D ² / λ gdzie D jest maksymalnym zasięgiem liniowym źródeł optycznych, a λ jest długością fali (Scott [1998]). Widmo fali płaskiej jest często uważane za dyskretne dla pewnych typów siatek okresowych, chociaż w rzeczywistości widma z siatek są również ciągłe, ponieważ żadne urządzenie fizyczne nie może mieć nieskończonego zakresu wymaganego do wytworzenia prawdziwego widma liniowego.

Podobnie jak w przypadku sygnałów elektrycznych, szerokość pasma jest miarą szczegółowości obrazu; im drobniejszy szczegół, tym większa przepustowość wymagana do jego reprezentacji. Sygnał elektryczny prądu stałego jest stały i nie ma oscylacji; fala płaska rozchodząca się równolegle do osi optycznej ( ) ma stałą wartość w dowolnej płaszczyźnie x - y , a zatem jest analogiczna do (stałej) składowej stałej sygnału elektrycznego. Szerokość pasma w sygnałach elektrycznych odnosi się do różnicy między najwyższą i najniższą częstotliwością występującą w widmie sygnału. W przypadku systemów optycznych szerokość pasma również odnosi się do zawartości częstotliwości przestrzennej (pasmo przestrzenne), ale ma również znaczenie drugorzędne. Mierzy również, jak daleko od osi optycznej są odchylone odpowiednie fale płaskie, dlatego ten typ szerokości pasma jest często określany również jako szerokość pasma kątowego. Potrzeba większej szerokości pasma częstotliwości, aby wytworzyć krótki impuls w obwodzie elektrycznym i większej szerokości pasma kątowego (lub częstotliwości przestrzennej), aby wytworzyć ostrą plamę w systemie optycznym (patrz dyskusja związana z funkcją rozproszenia punktów ). ${\displaystyle z}$

Widmo fali płaskiej powstaje naturalnie jako rozwiązanie funkcji własnej lub „modu naturalnego” jednorodnego równania fali elektromagnetycznej we współrzędnych prostokątnych (patrz także Promieniowanie elektromagnetyczne , które wywodzi równanie fali z równań Maxwella w mediach bez źródła lub Scott [1998]) . W dziedzinie częstotliwości , przy założonej konwencji czasowej , jednorodne równanie fali elektromagnetycznej znane jest jako równanie Helmholtza i przyjmuje postać: ${\ Displaystyle e ^ {i \ omega t}}$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} E_ {u} + k ^ {2} E_ {u} = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~ (2.0)}$

gdzie u = x , y , z i k = 2π/λ jest liczbą falową ośrodka.

Rozwiązania funkcji własnych (tryb naturalny): tło i przegląd

W przypadku równań różniczkowych, podobnie jak w przypadku równań macierzowych, ilekroć prawa strona równania ma wartość zero (tzn. funkcja wymuszająca / wektor wymuszający wynosi zero), równanie może jeszcze dopuszczać nietrywialne rozwiązanie, znany w matematyce stosowanej jako rozwiązanie funkcji własnej , w fizyce jako rozwiązanie „modu naturalnego”, aw teorii obwodów elektrycznych jako „odpowiedź zerowego wejścia”. Jest to koncepcja obejmująca szeroki zakres dyscyplin fizycznych. Typowe fizyczne przykłady rezonansowych trybów naturalnych obejmują rezonansowe tryby wibracyjne instrumentów strunowych (1D), instrumentów perkusyjnych (2D) lub dawnego mostu Tacoma Narrows Bridge (3D). Przykłady propagacji modów naturalnych obejmują mody falowodowe, mody światłowodowe , solitony i fale Blocha . Nieskończone ośrodki jednorodne dopuszczają do równania Helmholtza prostokątne, kołowe i sferyczne rozwiązania harmoniczne, w zależności od rozważanego układu współrzędnych. Rozchodzące się fale płaskie, które będziemy badać w tym artykule, są prawdopodobnie najprostszym rodzajem rozchodzących się fal występujących w każdym rodzaju mediów.

Istnieje uderzające podobieństwo między powyższym równaniem Helmholtza (2.0), które można napisać

${\ Displaystyle (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) ~ f = 0,}$

i zwykłe równanie dla wartości własnych/wektorów własnych macierzy kwadratowej, A ,

${\ Displaystyle (\ mathbf {A} - \ lambda \ mathbf {ja}) ~ \ mathbf {x} = 0}$ ,

zwłaszcza, że ​​zarówno skalar Laplace'a, jak i macierz A są operatorami liniowymi w odpowiednich przestrzeniach funkcji/wektorów (znak minus w drugim równaniu jest praktycznie nieistotny; znak plus w pierwszym równaniu jest jednak znaczący ). Być może warto zauważyć, że zarówno rozwiązania funkcji własnych, jak i wektorów własnych dla tych dwóch równań, odpowiednio, często dają ortogonalny zbiór funkcji/wektorów, które obejmują (tj. tworzą zbiór bazowy) rozważane przestrzenie funkcji/wektorów. Zainteresowany czytelnik może zbadać inne funkcjonalne operatora liniowe, które wywołują różne rodzaje prostopadłych funkcyj jak wielomianów Legendre , wielomianów Czebyszewa i wielomiany Hermite'a . ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$

W przypadku macierzy wartości własne można znaleźć, ustawiając wyznacznik macierzy równy zero, tj. znajdując, gdzie macierz nie ma odwrotności. Macierze skończone mają tylko skończoną liczbę wartości własnych/wektorów własnych, podczas gdy operatory liniowe mogą mieć nieskończoną liczbę wartości własnych/funkcji własnych (w ograniczonych obszarach) lub nieprzeliczalnie nieskończone (ciągłe) widma rozwiązań, jak w obszarach nieograniczonych. ${\ Displaystyle \ lambda}$

W niektórych zastosowaniach fizycznych, takich jak obliczanie pasm w objętości okresowej , często zdarza się, że elementy macierzy będą bardzo skomplikowanymi funkcjami częstotliwości i liczby falowej, a macierz będzie nieosobliwa dla większości kombinacji częstotliwości i liczbę falową, ale będzie również liczba pojedyncza dla niektórych określonych kombinacji. Ustalając, które kombinacje częstotliwości i liczby falowej doprowadzają wyznacznik macierzy do zera, można określić charakterystykę propagacji ośrodka. Relacje tego typu, między częstotliwością a liczbą falową, są znane jako relacje dyspersji, a niektóre układy fizyczne mogą dopuszczać wiele różnych rodzajów relacji dyspersyjnych. Przykładem z elektromagnetyzmu jest zwykły falowód, który może dopuszczać liczne zależności dyspersyjne, z których każda związana jest z unikalnym modem falowodu. Każdy tryb propagacji falowodu jest znany jako rozwiązanie funkcji własnej (lub rozwiązanie w trybie własnym) równań Maxwella w falowodzie. Wolna przestrzeń dopuszcza również rozwiązania w trybie własnym (tryb naturalny) (znane częściej jako fale płaskie), ale z tą różnicą, że dla dowolnej częstotliwości wolna przestrzeń dopuszcza ciągłe widmo modalne, podczas gdy falowody mają widmo modów dyskretnych. W tym przypadku zależność dyspersyjna jest liniowa, jak w punkcie 1.2.

K-spacja

Warunek separacji,

${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$

które jest identyczne z równaniem dla metryki euklidesowej w trójwymiarowej przestrzeni konfiguracji, sugeruje pojęcie k-wektora w trójwymiarowej „przestrzeni k”, zdefiniowanej (dla propagacji fal płaskich) we współrzędnych prostokątnych jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {k} ~ = ~ k_ {x} \ mathbf {\ kapelusz {x}} + k_ {y} \ mathbf {\ kapelusz {y}} + k_ {z} \ mathbf {\ kapelusz {z }} }$

oraz w sferycznym układzie współrzędnych jako

${\ Displaystyle k_ {x} = k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}$

${\ Displaystyle k_ {y} = k ~ \ grzech \ theta ~ \ grzech \ phi}$

${\ Displaystyle k_ {z} = k ~ \ cos \ theta ~}$

W następnej sekcji zostaną użyte relacje sferycznego układu współrzędnych.

Pojęcie przestrzeni k jest kluczowe w wielu dyscyplinach inżynierii i fizyce, zwłaszcza w badaniach nad tomami okresowymi, takich jak krystalografia i teoria pasmowa materiałów półprzewodnikowych.

Dwuwymiarowa transformata Fouriera

Równanie analizy (obliczanie widma funkcji):

${\ Displaystyle U (k_ {x}, k_ {y}) = \ inft _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ inft _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (x, y) e ^ {-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy}$

Równanie syntezy (rekonstruujące funkcję z jej widma):

${\ Displaystyle u (x, y) = {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ inft _ {- \ infty} ^ {\infty }U(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}}$

Uwaga : współczynnik normalizujący: występuje zawsze, gdy używana jest częstotliwość kątowa (radiany), ale nie, gdy używana jest zwykła częstotliwość (cykle). ${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi)^{2}}}}$

Systemy optyczne: Ogólny przegląd i analogia z systemami przetwarzania sygnałów elektrycznych

Układ optyczny składa się z płaszczyzny wejściowej i płaszczyzny wyjściowej oraz zestawu elementów, które przekształcają obraz f utworzony na wejściu w inny obraz g utworzony na wyjściu. Obraz wyjściowy jest powiązany z obrazem wejściowym poprzez splatanie obrazu wejściowego z optyczną odpowiedzią impulsową h (znaną jako funkcja rozproszenia punktu , dla zogniskowanych systemów optycznych). Odpowiedź impulsowa jednoznacznie określa zachowanie wejścia-wyjścia systemu optycznego. Zgodnie z konwencją, oś optyczna układu jest traktowana jako oś z . W rezultacie oba obrazy i odpowiedź impulsowa są funkcjami współrzędnych poprzecznych x i y .

${\ Displaystyle g (x, y) = h (x, y) * f (x, y)}$

Odpowiedzią impulsową systemu obrazowania optycznego jest pole płaszczyzny wyjściowej, które powstaje, gdy idealne matematyczne punktowe źródło światła jest umieszczone w płaszczyźnie wejściowej (zwykle na osi). W praktyce nie jest konieczne posiadanie idealnego źródła punktowego w celu określenia dokładnej odpowiedzi impulsowej. Dzieje się tak dlatego, że jakakolwiek przepustowość źródła, która leży poza pasmem systemu i tak nie będzie miała znaczenia (ponieważ nie może być nawet przechwycona przez system optyczny), więc nie jest to konieczne do określenia odpowiedzi impulsowej. Źródło musi mieć co najmniej taką samą (kątową) przepustowość, jak system optyczny.

Systemy optyczne zwykle należą do jednej z dwóch różnych kategorii. Pierwszym z nich jest zwykły zogniskowany system obrazowania optycznego, w którym płaszczyzna wejściowa nazywana jest płaszczyzną obiektu, a płaszczyzna wyjściowa nazywana jest płaszczyzną obrazu. Pole w płaszczyźnie obrazu ma być wysokiej jakości reprodukcją pola w płaszczyźnie obiektu. W tym przypadku pożądana jest odpowiedź impulsowa układu optycznego, aby aproksymować funkcję delta 2D, w tym samym miejscu (lub lokalizacji wyskalowanej liniowo) w płaszczyźnie wyjściowej, odpowiadającej położeniu impulsu w płaszczyźnie wejściowej. Rzeczywista odpowiedź impulsowa zwykle przypomina funkcji Airy , którego promień jest rzędu od długości fali światła, używanej. W tym przypadku odpowiedź impulsowa jest zwykle określana jako funkcja rozproszenia punktu , ponieważ matematyczny punkt światła na płaszczyźnie obiektu został rozłożony na funkcję Airy'ego na płaszczyźnie obrazu.

Drugi typ to układ optycznego przetwarzania obrazu, w którym ma być zlokalizowana i odizolowana istotna cecha pola płaszczyzny wejściowej. W tym przypadku pożądane jest, aby odpowiedź impulsowa układu była wierną repliką (obrazem) tej cechy, która jest poszukiwana w polu płaszczyzny wejściowej, tak aby splot odpowiedzi impulsowej (obraz pożądanej cechy) naprzeciw pola płaszczyzny wejściowej wytworzy jasny punkt w lokalizacji cechy na płaszczyźnie wyjściowej. To właśnie ten ostatni rodzaj optycznego systemu przetwarzania obrazu jest przedmiotem tej sekcji. Sekcja 5.2 przedstawia jedną implementację sprzętową operacji przetwarzania obrazu optycznego opisanych w tej sekcji.

Płaszczyzna wejściowa

Płaszczyzna wejściowa jest zdefiniowana jako miejsce wszystkich punktów, takie, że z = 0. Obraz wejściowy f jest zatem

${\ Displaystyle f (x, y) = U (x, y, z) {\ duży |} _ {z = 0}}$

Płaszczyzna wyjściowa

Płaszczyzna wyjściowa jest zdefiniowana jako miejsce położenia wszystkich punktów takich, że z = d . Obraz wyjściowy g jest zatem

${\ Displaystyle g (x, y) = U (x, y, z) {\ duży |} _ {z = d}}$

Splot 2D funkcji wejściowej w funkcji odpowiedzi impulsowej

${\ Displaystyle g (x, y) ~ = ~ h (x, y) * f (x, y)}$

tj,

${\ Displaystyle g (x, y) = \ inft _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ inft _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (x-x 'y-y') ~ f (x',y')~dx'dy'~~~~~~(4.1)~}$

Uważny czytelnik zauważy, że całka powyżej milcząco zakłada, że ​​odpowiedź impulsowa NIE jest funkcją położenia (x',y') impulsu światła w płaszczyźnie wejściowej (jeśli tak nie było, tego typu splot nie byłoby możliwe). Ta właściwość jest znana jako niezmienność przesunięcia (Scott [1998]). Żaden system optyczny nie jest idealnie niezmienny: ponieważ idealny, matematyczny punkt światła jest skanowany z dala od osi optycznej, aberracje ostatecznie degradują odpowiedź impulsową (znaną jako koma w zogniskowanych systemach obrazowania). Jednak wysokiej jakości systemy optyczne są często „wystarczająco niezmiennicze” w pewnych obszarach płaszczyzny wejściowej, więc możemy uznać odpowiedź impulsową za funkcję jedynie różnicy między współrzędnymi płaszczyzny wejściowej i wyjściowej, a tym samym bezkarnie używać powyższego równania .

Równanie to zakłada również powiększenie jednostkowe. Jeśli powiększenie jest obecne, to eqn. (4.1) staje się

${\ Displaystyle g (x, y) = \ inft _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ inft _ {- \ infty} ^ {\ infty} h_ {M} (x-mx ', y-moje' )~f(x',y')~dx'dy'~~~~~~(4.2)~}$

co zasadniczo tłumaczy funkcję odpowiedzi impulsowej, h _M (), z x' na x=Mx'. W (4.2) h _M () będzie powiększoną wersją funkcji odpowiedzi impulsowej h() podobnego, nie powiększonego systemu, tak że h _M (x,y) =h(x/M,y/M).

Wyprowadzenie równania splotu

Rozszerzenie do dwóch wymiarów jest trywialne, z tą różnicą, że przyczynowość istnieje w dziedzinie czasu, ale nie w dziedzinie przestrzeni. Przyczynowość oznacza, że ​​odpowiedź impulsowa h ( t - t') układu elektrycznego, wywołana impulsem przyłożonym w czasie t', musi z konieczności wynosić zero dla wszystkich czasów t tak, że t - t' < 0.

Uzyskanie reprezentacji splotu odpowiedzi systemu wymaga reprezentujący sygnał wejściowy jako ważonej nakładania na pociągu funkcji impulsowej za pomocą właściwości przesuwalny z Diraca funkcji delta .

${\ Displaystyle f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-t ') f (t ') dt '}$

Zakłada się wówczas, że rozpatrywany system jest liniowy , to znaczy, że wyjście systemu wynikające z dwóch różnych wejść (ewentualnie w dwóch różnych momentach) jest sumą poszczególnych wyjść systemu do dwóch wejść, gdy wprowadzane indywidualnie. W ten sposób układ optyczny może nie zawierać materiałów nieliniowych ani urządzeń aktywnych (z wyjątkiem, być może, bardzo liniowych urządzeń aktywnych). Wyjście układu, dla pojedynczego wejścia funkcji delta, definiuje się jako odpowiedź impulsową układu, h(t - t'). I, przy naszym założeniu liniowości (tj., że wyjście systemu na wejście ciągu impulsów jest sumą wyjść z każdego pojedynczego impulsu), możemy teraz powiedzieć, że ogólna funkcja wejściowa f ( t ) daje wyjście:

${\ Displaystyle g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t-t ') f (t ') dt '}$

gdzie h (t - t') jest odpowiedzią (impulsową) układu liniowego na wejście funkcji delta δ(t - t'), zastosowane w czasie t'. Stąd pochodzi powyższe równanie splotu. Równanie splotu jest przydatne, ponieważ często znacznie łatwiej jest znaleźć odpowiedź systemu na dane wejściowe funkcji delta — a następnie wykonać powyższy splot, aby znaleźć odpowiedź na dowolne dane wejściowe — niż spróbować znaleźć odpowiedź na dowolne wejście bezpośrednio. Ponadto odpowiedź impulsowa (w domenie czasu lub częstotliwości) zwykle daje wgląd w odpowiednie wartości systemu. W przypadku większości obiektywów funkcja rozproszenia punktów (PSF) jest dość powszechną wartością do celów oceny.

Ta sama logika jest stosowana w związku z zasadą Huygensa-Fresnela lub sformułowaniem Stratton-Chu, w której „odpowiedź impulsowa” jest określana jako funkcja systemu Greena . Tak więc działanie domeny przestrzennej liniowego układu optycznego jest w ten sposób analogiczne do zasady Huygensa-Fresnela.

Funkcja transferu systemu

Jeśli ostatnie powyższe równanie jest przekształcone Fouriera, staje się:

${\ Displaystyle G (\ omega ) ~ = ~ H (\ omega ) \ cdot F (\ omega )}$

gdzie

${\ Displaystyle G (\ omega ) ~}$ jest widmem sygnału wyjściowego

${\ Displaystyle H (\ omega ) ~}$ jest funkcją transferu systemu?

${\displaystyle F(\omega)~}$ jest widmem sygnału wejściowego

W podobny sposób (4.1) można przekształcić Fouriera, aby uzyskać:

${\ Displaystyle G (k_ {x}, k_ {y}) ~ = ~ H (k_ {x}, k_ {y}) \ cdot F (k_ {x}, k_ {y})}$

Funkcja przenoszenia systemu, . W obrazowaniu optycznym funkcja ta jest lepiej znana jako funkcja transferu optycznego (Goodman) . ${\ Displaystyle H (\ omega )}$

Po raz kolejny można zauważyć z dyskusji na temat warunku sinus Abbego , że równanie to zakłada powiększenie jednostkowe.

Równanie to nabiera prawdziwego znaczenia, gdy transformata Fouriera jest powiązana ze współczynnikiem fali płaskiej, której liczby falowe poprzeczne wynoszą . W ten sposób widmo fali płaszczyzny wejściowej jest przekształcane w widmo fali płaszczyzny wyjściowej poprzez multiplikatywne działanie funkcji przenoszenia systemu. To właśnie na tym etapie zrozumienia poprzednie tło dotyczące widma fal płaskich staje się nieocenione dla konceptualizacji układów optycznych Fouriera. ${\ Displaystyle ~ G (k_ {x}, k_ {y})}$${\ Displaystyle ~ (k_ {x}, k_ {y})}$

Zastosowania zasad optyki Fouriera

Optyka Fouriera jest wykorzystywana w dziedzinie optycznego przetwarzania informacji, której podstawą jest klasyczny procesor 4F.

Transformaty Fouriera właściwości soczewki zapewniają liczne zastosowania w sygnału optycznego przetwarzania , takich jak filtrowanie przestrzenne , korelacja optycznego i generowane komputerowych hologramów .

Teoria optyki Fouriera jest wykorzystywana w interferometrii , szczypcach optycznych , pułapkach atomowych i obliczeniach kwantowych . Koncepcje optyki Fouriera służą do rekonstrukcji fazy natężenia światła w płaszczyźnie częstotliwości przestrzennej (patrz algorytm adaptacyjno-addytywny ).

Własność przekształcania Fouriera soczewek

Jeśli obiekt transmisyjny zostanie umieszczony o jedną ogniskową przed soczewką , to jego transformata Fouriera zostanie utworzona o jedną ogniskową za soczewką. Rozważ rysunek po prawej (kliknij, aby powiększyć)

Na tej figurze założono, że fala płaska padnie z lewej strony. Funkcja transmitancji w przedniej płaszczyźnie ogniskowej (tj. Plane 1) przestrzennie moduluje falę płaszczyzny padającej pod względem wielkości i fazy, jak po lewej stronie równania. (2.1) (określony dla z =0) iw ten sposób wytwarza widmo fal płaskich odpowiadające FT funkcji transmitancji, jak po prawej stronie równ. (2.1) (dla z >0). Różne składowe fali płaskiej rozchodzą się pod różnymi kątami nachylenia w stosunku do osi optycznej soczewki (tj. osi poziomej). Im drobniejsze cechy przezroczystości, tym szersze pasmo kątowe widma fali płaskiej. Rozważymy jedną taką składową fali płaskiej, propagującą się pod kątem θ względem osi optycznej. Zakłada się, że θ jest małe ( przybliżenie przyosiowe ), więc

${\ Displaystyle {\ Frac {k_ {x}} {k}} = \ sin \ theta \ simeq \ theta}$

oraz

${\ Displaystyle {\ Frac {k_ {z}} {k}} = \ cos \ theta \ simeq 1- {\ Frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$

oraz

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ cos \ theta}} \ simeq {\ Frac {1} {1-{\ Frac {\ theta ^ {2}} {2}}}} \ simeq 1+ {\ frac {\theta ^{2}}{2}}}$

Na rysunku faza fali płaskiej , przesuwająca się poziomo od przedniej płaszczyzny ogniskowej do płaszczyzny soczewki, wynosi

${\ Displaystyle e ^ {ikf \ cos \ theta} \,}$

a faza fali sferycznej od soczewki do punktu w tylnej płaszczyźnie ogniskowej wynosi:

${\ Displaystyle e ^ {ikf / \ cos \ theta} \,}$

a suma dwóch długości drogi wynosi f (1 + θ ² /2 + 1 - θ ² /2) = 2 f tj. jest to wartość stała, niezależna od kąta nachylenia, θ, dla fal płaskich przyosiowych. Każda składowa falowa płaszczyzny przyosiowej pola w przedniej płaszczyźnie ogniskowej pojawia się jako punkt funkcji rozproszenia w tylnej płaszczyźnie ogniskowej, z intensywnością i fazą równą intensywności i fazie oryginalnej składowej fali płaskiej w przedniej płaszczyźnie ogniskowej. Innymi słowy, pole w tylnej płaszczyźnie ogniskowej jest transformatą Fouriera pola w przedniej płaszczyźnie ogniskowej.

Wszystkie składowe FT są obliczane jednocześnie – równolegle – z prędkością światła. Na przykład światło porusza się z prędkością około 1 stopy (0,30 m). / ns, więc jeśli obiektyw ma 1 stopę (0,30 m). ogniskowej, całe 2D FT można obliczyć w około 2 ns (2 x ^10-9 sekund). Jeśli ogniskowa wynosi 1 cal, czas wynosi poniżej 200 ps. Żaden komputer elektroniczny nie może konkurować z tego rodzaju liczbami, a może nawet mieć nadzieję, że będzie mógł, chociaż superkomputery mogą w rzeczywistości okazać się szybsze niż optyka, choć może się to wydawać nieprawdopodobne. Jednak ich szybkość uzyskuje się poprzez połączenie wielu komputerów, które pojedynczo są wciąż wolniejsze od optyki. Wadą optycznej FT jest to, że, jak pokazuje wyprowadzenie, zależność FT dotyczy tylko fal płaskich przyosiowych, więc ten „komputer” FT jest z natury ograniczony w paśmie. Z drugiej strony, ponieważ długość fali światła widzialnego jest tak niewielka w stosunku do nawet najmniejszych wymiarów widocznej cechy na obrazie, tj.

${\ Displaystyle k ^ {2} \ gg k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2}}$

(dla wszystkich k _x , k _y w przepustowości przestrzenną obrazu, tak, że K _oo jest prawie równej wartości K ), to jest równolegle do osi przybliżenie niezbyt ograniczenia w praktyce. I oczywiście jest to komputer analogowy, a nie cyfrowy, więc precyzja jest ograniczona. Również faza może być trudna do wyodrębnienia; często jest wywnioskowany interferometrycznie.

Przetwarzanie optyczne jest szczególnie przydatne w aplikacjach czasu rzeczywistego, gdzie wymagane jest szybkie przetwarzanie ogromnych ilości danych 2D, szczególnie w odniesieniu do rozpoznawania wzorów.

Obcięcie obiektu i zjawisko Gibbsa

Przestrzennie modulowane pole elektryczne, pokazane po lewej stronie równ. (2.1), zwykle zajmuje tylko skończony (zwykle prostokątny) otwór w płaszczyźnie x,y. Funkcja apertury prostokątnej działa jak filtr 2D z kwadratowym wierzchołkiem, gdzie zakłada się, że pole poza prostokątem 2D wynosi zero. Przestrzenne całki dziedzinowe do obliczania współczynników FT po prawej stronie równ. (2.1) są obcięte na granicy tego otworu. To skrócenie kroku może wprowadzić niedokładności zarówno w obliczeniach teoretycznych, jak i zmierzonych wartościach współczynników fali płaskiej na RHS równania. (2.1).

Ilekroć funkcja jest nieciągle obcinana w jednej domenie FT, poszerzenie i falowanie są wprowadzane w drugiej domenie FT. Doskonałym przykładem z optyki jest w połączeniu z funkcją rozproszenia punktu, która dla oświetlenia fali płaskiej na osi soczewki kwadratowej (z otworem kołowym) jest funkcją Airy'ego, J ₁ ( x )/ x . Dosłownie, źródło punktowe zostało „rozłożone” (z dodanymi zmarszczkami), aby utworzyć funkcję rozproszenia punktu Airy'ego (w wyniku obcięcia widma fali płaskiej przez skończoną aperturę soczewki). To źródło błędu znane jest jako zjawisko Gibbsa i można je złagodzić, po prostu zapewniając, że cała istotna zawartość znajduje się w pobliżu środka przezroczystości, lub poprzez użycie funkcji okna, które płynnie zwężają pole do zera na granicach ramki. Zgodnie z twierdzeniem o splocie, FT dowolnej funkcji przezroczystości – pomnożonej (lub obciętej) przez funkcję apertury – jest równe FT funkcji przezroczystości nieobciętej splecionej z FT funkcji apertury, która w tym przypadku staje się rodzaj „funkcji Greensa” lub „funkcji odpowiedzi impulsowej” w domenie spektralnej. Dlatego obraz soczewki kołowej jest równy funkcji płaszczyzny obiektu splecionej z funkcją Airy'ego (FT funkcji przesłony kołowej wynosi J ₁ ( x )/ x a FT funkcji przesłony prostokątnej jest iloczynem funkcji sinc , grzech x / x ).

Analiza Fouriera i dekompozycja funkcjonalna

Chociaż przezroczystość wejściowa zajmuje tylko skończoną część płaszczyzny x - y (płaszczyzna 1), jednolite fale płaskie zawierające widmo fal płaskich zajmują całą płaszczyznę x - y , dlatego (w tym celu) tylko płaszczyzna podłużna Należy wziąć pod uwagę fazę fali (w kierunku z , od płaszczyzny 1 do płaszczyzny 2), a nie fazę poprzeczną do kierunku z . Oczywiście bardzo kuszące jest myślenie, że jeśli płaska fala emanująca ze skończonej szczeliny przezroczystości jest nachylona zbyt daleko od poziomu, jakoś „przeoczy” obiektyw całkowicie, ale znowu, ponieważ jednolita fala płaska rozciąga się nieskończenie daleko w we wszystkich kierunkach w płaszczyźnie poprzecznej ( x - y ), składowe fal płaskich nie mogą ominąć soczewki.

Kwestia ta wywołuje być może trudność przeważającą z analizy Fouriera, a mianowicie, że funkcja input-plane, zdefiniowane przez skończoną wsparcia (czyli nad własnym skończonej przysłony), jest w przybliżeniu z innymi funkcjami (sinusoid), które mają nieskończoną wsparcia ( I . e ., są one określone w całym nieskończonej X - Y płaszczyzny). Jest to niewiarygodnie nieefektywne obliczeniowo i jest głównym powodem, dla którego wymyślono falki , czyli reprezentowanie funkcji (zdefiniowanej na skończonym przedziale lub obszarze) w kategoriach funkcji oscylacyjnych, które są również zdefiniowane na skończonych przedziałach lub obszarach. Tak więc, zamiast uzyskać zawartość częstotliwości całego obrazu na raz (wraz z zawartością częstotliwości całej reszty płaszczyzny x - y , powyżej której obraz ma wartość zerową), wynikiem jest zamiast tego zawartość częstotliwości różnych części obrazu, co zwykle jest znacznie prostsze. Niestety, falki w płaszczyźnie x - y nie odpowiadają żadnemu znanemu typowi propagującej funkcji falowej, tak samo jak sinusoidy Fouriera (w płaszczyźnie x - y ) odpowiadają płaskim funkcjom falowym w trzech wymiarach. Jednak FT większości falek są dobrze znane i można by wykazać, że są równoważne z pewnym użytecznym rodzajem pola propagacji.

Z drugiej strony, funkcje oscylacji i funkcji Airy - które są nie tylko punkt rozprzestrzeniania funkcje prostokątnych i okrągłe otwory, odpowiednio, ale są również funkcje strony świata powszechnie stosowane do rozkładu funkcjonalnego interpolacji / teorii próbkowania [Scott 1990] - do odpowiadać zbieżne lub rozbieżne fale sferyczne, a zatem mogą być potencjalnie zaimplementowane jako zupełnie nowy rozkład funkcjonalny funkcji płaszczyzny obiektu, prowadząc w ten sposób do innego punktu widzenia podobnego w naturze do optyki Fouriera. Byłoby to w zasadzie takie samo jak w przypadku konwencjonalnej optyki promieni, ale z uwzględnieniem efektów dyfrakcyjnych. W tym przypadku każda funkcja rozproszenia punktu byłaby rodzajem „gładkiego piksela”, podobnie jak soliton na włóknie jest „gładkim impulsem”.

Być może wartością merytoryczną obiektywu w tym punkcie widzenia „funkcji rozproszenia punktu” byłoby pytanie, jak dobrze soczewka przekształca funkcję Airy'ego w płaszczyźnie obiektu w funkcję Airy'ego w płaszczyźnie obrazu, jako funkcję promieniowej odległości od optyki. osi, lub jako funkcja wielkości płaszczyzny obiektu funkcja Airy'ego. Przypomina to trochę funkcję rozproszenia punktu, z tym że teraz naprawdę patrzymy na nią jako na rodzaj funkcji transferu płaszczyzny wejścia-wyjścia (jak MTF), a nie w wartościach bezwzględnych w stosunku do idealnego punktu. Podobnie falki gaussowskie, które odpowiadałyby talii rozchodzącej się wiązki gaussowskiej, mogłyby być potencjalnie wykorzystane w jeszcze innym funkcjonalnym rozkładzie pola płaszczyzny obiektu.

Zasięg dalekiego pola i kryterium 2D ² / λ

Na powyższym rysunku, ilustrującym właściwość soczewek przekształcającą Fouriera, soczewka znajduje się w polu bliskim przezroczystości płaszczyzny obiektu, dlatego pole płaszczyzny obiektu na soczewce można traktować jako superpozycję fal płaskich, z których każda rozchodzi się przy pewien kąt w stosunku do osi z. W związku z tym kryterium pola dalekiego jest luźno zdefiniowane jako: Zakres = 2 D ² / λ gdzie D jest maksymalnym zasięgiem liniowym źródeł optycznych, a λ jest długością fali (Scott [1998]). D o przejrzystości jest rzędu 10 cm ( ^-2 m), a długość fali światła jest rzędu 10 ^-6 m, zatem D / λ dla całego przejrzystości jest rzędu 10 ⁴ . Tym razem D jest rzędu 10 ² m, czyli setek metrów. Z drugiej strony odległość pola dalekiego od miejsca PSF jest rzędu λ. Dzieje się tak, ponieważ D dla miejsca jest rzędu λ, więc D /λ jest rzędu jedności; tym razem D (tj. λ) jest rzędu λ ( ^10-6 m).

Ponieważ soczewka znajduje się w dalekim polu dowolnego punktu PSF, pole padające na soczewkę z punktu można uznać za falę sferyczną, jak w równ. (2.2), a nie jako widmo fali płaskiej, jak w równaniu. (2.1). Z drugiej strony soczewka znajduje się w polu bliskim całej przezroczystości płaszczyzny wejściowej, a więc eqn. (2.1) – pełne widmo fal płaskich – dokładnie przedstawia pole padające na soczewkę z tego większego, rozszerzonego źródła.

Obiektyw jako filtr dolnoprzepustowy

Obiektyw jest w zasadzie filtrem dolnoprzepustowym (patrz Filtr dolnoprzepustowy ). Rozważmy „małe” źródło światła umieszczone na osi w płaszczyźnie obiektu soczewki. Zakłada się, że źródło jest na tyle małe, że według kryterium pola dalekiego soczewka znajduje się w polu dalekim źródła „małego”. Wtedy pole wypromieniowane przez małe źródło jest falą sferyczną, która jest modulowana przez FT rozkładu źródła, jak w równ. (2.2) Następnie soczewka przechodzi - z płaszczyzny obiektu na płaszczyznę obrazu - tylko tę część wypromieniowanej fali sferycznej, która leży wewnątrz kąta krawędzi soczewki. W tym przypadku pola dalekiego obcięcie wypromieniowanej fali sferycznej jest równoznaczne z obcięciem widma fali płaskiej małego źródła. Tak więc składowe fali płaskiej w tej fali sferycznej dalekiego pola, które leżą poza kątem krawędzi obiektywu, nie są wychwytywane przez obiektyw i nie są przenoszone na płaszczyznę obrazu. Uwaga: Ta logika jest ważna tylko dla małych źródeł, dzięki czemu obiektyw jest w odległym regionie pola źródła, zgodnie z 2 D ² / λ kryterium, o którym mowa powyżej. Jeśli przezroczystość płaszczyzny obiektu wyobrazimy sobie jako sumę małych źródeł (jak we wzorze interpolacyjnym Whittakera–Shannona , Scott [1990]), z których każde ma swoje widmo obcięte w ten sposób, to cierpi na tym każdy punkt całej przezroczystości płaszczyzny obiektu. te same efekty tego filtrowania dolnoprzepustowego.

Utrata zawartości o wysokiej (przestrzennej) częstotliwości powoduje rozmycie i utratę ostrości (patrz dyskusja dotycząca funkcji rozproszenia punktów ). Obcięcie pasma powoduje, że (fikcyjne, matematyczne, idealne) źródło punktowe w płaszczyźnie obiektu jest rozmyte (lub rozłożone) na płaszczyźnie obrazu, co daje początek terminowi „funkcja rozproszenia punktu”. Za każdym razem, gdy szerokość pasma ulega rozszerzeniu lub skróceniu, rozmiar obrazu jest zwykle odpowiednio zmniejszany lub rozszerzany, w taki sposób, że iloczyn przestrzenno-przepustowy pozostaje stały, zgodnie z zasadą Heisenberga (Scott [1998] i warunek sinusoidalny Abbego ).

Koherencja i transformacja Fouriera

Pracując w dziedzinie częstotliwości, przy założonej ^{zależności czasowej} e ^jωt (inżynierskiej), domyślnie zakłada się światło spójne (laserowe), które ma zależność delta w dziedzinie częstotliwości. Światło o różnych częstotliwościach (funkcja delta) będzie „rozpylać” widmo fali płaskiej pod różnymi kątami, w wyniku czego te składowe fali płaskiej będą skupione w różnych miejscach na płaszczyźnie wyjściowej. Właściwość transformująca Fouriera soczewek działa najlepiej w przypadku światła spójnego, chyba że istnieje jakiś szczególny powód, aby łączyć światło o różnych częstotliwościach, aby osiągnąć jakiś specjalny cel.

Sprzętowa implementacja funkcji transferu systemu: korelator 4F

Przedstawiona w rozdziale 4 teoria dotycząca funkcji przenoszenia optycznego jest nieco abstrakcyjna. Istnieje jednak jedno bardzo dobrze znane urządzenie, które sprzętowo implementuje funkcję transferu systemu H przy użyciu tylko 2 identycznych obiektywów i płytki przezroczystości - korelator 4F. Chociaż jednym z ważnych zastosowań tego urządzenia z pewnością byłoby wdrożenie matematycznych operacji korelacji krzyżowej i splotu , to urządzenie - o długości 4 ogniskowych - w rzeczywistości obsługuje szeroką gamę operacji przetwarzania obrazu, które znacznie wykraczają poza to, co sugeruje jego nazwa. Schemat typowego korelatora 4F pokazano na poniższym rysunku (kliknij, aby powiększyć). To urządzenie można łatwo zrozumieć, łącząc reprezentację widma fal płaskich pola elektrycznego ( sekcja 2 ) z właściwością transformaty Fouriera soczewek kwadratowych ( sekcja 5.1 ), aby uzyskać operacje przetwarzania obrazu optycznego opisane w sekcji 4.

Korelator 4F opiera się na twierdzeniu splotowym z teorii transformacji Fouriera , które stwierdza, że splot w dziedzinie przestrzennej ( x , y ) jest równoważny bezpośredniemu mnożeniu w dziedzinie częstotliwości przestrzennej ( k _x , k _y ) (inaczej: domena widmowa ). . Ponownie zakłada się, że fala płaska pada z lewej strony i przezroczystość zawierająca jedną funkcję 2D, f ( x , y ), umieszcza się na płaszczyźnie wejściowej korelatora, znajdującego się o jedną ogniskową przed pierwszą soczewką. Przezroczystość przestrzennie moduluje falę płaszczyzny padającej pod względem wielkości i fazy, jak po lewej stronie równania. (2.1) i w ten sposób wytwarza widmo fal płaskich odpowiadające FT funkcji transmitancji, jak po prawej stronie równania. (2.1). Widmo to jest następnie formowane jako „obraz” o jedną ogniskową za pierwszą soczewką, jak pokazano. Maska transmisji zawierająca FT drugiej funkcji, g ( x , y ) jest umieszczona w tej samej płaszczyźnie, o jedną ogniskową za pierwszą soczewką, powodując, że transmisja przez maskę jest równa iloczynowi F ( k _x , k _y ) × G ( k _x , k _y ). Produkt ten obecnie znajduje się w „płaszczyźnie wkład” drugiej soczewki (jedna długość ogniskowej w przód), tak że FT produktu (to znaczy splotem z F ( x , y ) i g ( x , y )), powstaje w tylnej płaszczyźnie ogniskowej drugiej soczewki.

Jeśli idealne, matematyczne punktowe źródło światła zostanie umieszczone na osi w płaszczyźnie wejściowej pierwszej soczewki, to w płaszczyźnie wyjściowej pierwszej soczewki wytworzy się jednorodne, skolimowane pole. Kiedy to jednorodne, skolimowane pole jest mnożone przez maskę płaszczyzny FT, a następnie transformowane przez drugą soczewkę Fouriera, pole płaszczyzny wyjściowej (które w tym przypadku jest odpowiedzią impulsową korelatora) jest właśnie naszą funkcją korelującą g ( x , y ). W praktycznych zastosowaniach g ( x , y ) będzie pewnego rodzaju cechą, która musi być zidentyfikowana i zlokalizowana w polu płaszczyzny wejściowej (patrz Scott [1998]). W zastosowaniach wojskowych ta cecha może być czołgiem, statkiem lub samolotem, który musi być szybko zidentyfikowany w bardziej złożonej scenie.

Korelator 4F jest doskonałym urządzeniem do zilustrowania aspektów „systemowych” instrumentów optycznych, o których mowa w punkcie 4 powyżej. Funkcja maski płaszczyzny FT, G ( k _x , k _y ) jest funkcją przenoszenia systemu korelatora, którą ogólnie oznaczymy jako H ( k _x , k _y ) i jest to FT funkcji odpowiedzi impulsowej korelatora, h ( x , y ), która jest po prostu naszą funkcją korelacji g ( x , y ). Jak wspomniano powyżej, odpowiedź impulsowa korelatora jest tylko obrazem cechy, którą próbujemy znaleźć w obrazie wejściowym. W korelatora 4F przeniesienie funkcji systemu H ( k _x , k _y ) jest bezpośrednio mnożone na widmie F ( k _x , k _y ) funkcji wejściowych, w celu wytworzenia spektrum funkcji wyjściowej. W ten sposób systemy przetwarzania sygnałów elektrycznych działają na sygnałach czasowych 1D.

Przywracanie obrazu

Rozmycie obrazu przez funkcję rozproszenia punktowego jest intensywnie badane w przetwarzaniu informacji optycznych, jednym ze sposobów złagodzenia rozmycia jest zastosowanie filtra Wienera. Załóżmy dla przykładu, że to rozkład natężenia z obiektu niespójnego, to rozkład natężenia jego obrazu, który jest rozmyty przez funkcję rozrzutu punktów niezmienną przestrzennie i szum wprowadzony w procesie detekcji: ${\displaystyle o(x,y)}$${\displaystyle i(x,y)}$${\displaystyle s(x,y)}$${\displaystyle n(x,y)}$

${\ Displaystyle i (x, y) = o (x, y) \ czasami s (x, y) + n (x, y)}$

Celem przywracania obrazu jest znalezienie liniowego filtra przywracania, który minimalizuje błąd średniokwadratowy między rzeczywistym rozkładem a estymacją . To znaczy, aby zminimalizować ${\ Displaystyle {\ kapelusz {o}} (x, y)}$

${\ Displaystyle \ epsilon ^ {2} = | o- {\ kapelusz {o}} | ^ {2}}$

Rozwiązaniem tego problemu optymalizacji jest filtr Wienera :

${\ Displaystyle H \ lewo (f_ {X}, f_ {Y} \ prawej) = {\ Frac {S ^ {*} \ lewo (f_ {X}, f_ {Y} \ prawej)} {\ lewo | S \left(f_{X},f_{Y}\right)\right|^{2}+{\frac {\Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{ \Phi _{o}\lewo(f_{X},f_{Y}\prawo)}}}}}$,

gdzie są gęstości widmowe mocy funkcji rozrzutu punktowego, obiektu i szumu. ${\ Displaystyle S \ lewo (f_ {X}, f_ {Y} \ po prawej), \ Phi _ {o} \ lewo (f_ {X}, f_ {Y} \ po prawej), \ Phi _ {n} \ po lewej (f_{X},f_{Y}\prawo)}$

Ragnarsson zaproponował metodę optycznego wykonania filtrów renowacyjnych Wienera za pomocą techniki holograficznej, takiej jak konfiguracja pokazana na rysunku. Wyprowadzenie funkcji konfiguracji jest opisane w następujący sposób.

Załóżmy, że istnieje przezroczystość jako płaszczyzna zapisu i impuls emitowany ze źródła punktowego S. Fala impulsu jest kolimowana przez soczewkę L1 , tworząc rozkład równy odpowiedzi impulsowej . Następnie dystrybucja jest podzielona na dwie części: ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle h}$

1. Górna część jest najpierw ogniskowana (tj. transformowana Fouriera) przez soczewkę L2 do punktu na przednim planie ogniskowym soczewki L3 , tworząc wirtualne źródło punktowe generujące falę sferyczną. Fala jest następnie kolimowana przez soczewkę L3 i wytwarza nachyloną płaską falę, której kształt znajduje się w płaszczyźnie zapisu.${\ Displaystyle r_ {0}e ^ {-j2 \ pi \ alfa y}}$
2. Dolna część jest bezpośrednio kolimowana przez soczewkę L3 , dając rozkład amplitudy .${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ Lambda F}} H ({\ Frac {x_ {2}} {\ Lambda F}} {\ Frac {y_ {2}} {\ Lambda F}})}$

Dlatego całkowity rozkład intensywności wynosi

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathcal {I}} \ lewo (x_ {2}, y_ {2} \ prawo) = i \ lewo | r_ {o} \ exp \ lewo (-j2 \ pi \ alfa y_{2}\right)+{\frac {1}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}} {\lambda f}}\right)\right|^{2}\\=&r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}\left |H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H\po lewej({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\po prawej) \exp \left(j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H^{*}\left({\frac {x_{2}} {\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)\end{aligned}}}$

Załóżmy , że rozkład amplitudy i rozkład fazowy są takie, że ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle H \ lewo ({\ Frac {x_ {2}} {\ Lambda F}}, {\ Frac {y_ {2}} {\ Lambda F}} \ prawej) = S \ lewo ({\ Frac { x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left[j\psi \left({\frac {x_{2}} {\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\prawo)\prawo]}$,

wtedy możemy przepisać intensywność w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ja \ lewo (x_ {2}, y_ {2} \ prawej) = r_ {o} ^ {2} + {\ Frac {1} {\ lambda ^ {2} f ^ {2}}}S^{2}\lewo({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\prawo)+{\ frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\lewo({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\prawo )\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f }}\right)\right].\end{aligned}}}$

Należy zauważyć, że dla punktu początku płaszczyzny filmu ( ) rejestrowana fala z dolnej części powinna być znacznie silniejsza niż z górnej części, ponieważ fala przechodząca przez dolną ścieżkę jest skupiona, co prowadzi do zależności . ${\displaystyle (x_{2},y_{2})=\mathbf {0}}$${\displaystyle r_{0}<<{\frac {1}{\lambda f}}}$

W pracy Ragnarssona metoda ta opiera się na następujących postulatach:

1. Załóżmy, że istnieje przezroczystość, której transmitancja amplitudy jest proporcjonalna do , która zarejestrowała znaną odpowiedź impulsową rozmytego układu.${\displaystyle t}$${\displaystyle s(x,y)}$
2. Maksymalne przesunięcie fazowe wprowadzone przez filtr jest znacznie mniejsze niż radiany, dzięki czemu .${\displaystyle \phi}$${\displaystyle 2\pi}$${\displaystyle e^{j\phi}\ok 1+j\phi}$
3. Przesunięcie fazowe przezroczystości po bieleniu jest liniowo proporcjonalne do gęstości srebra występującej przed bieleniem.${\ Displaystyle D}$
4. Gęstość jest liniowo proporcjonalna do logarytmu ekspozycji .${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ja = r_ {o} ^ {2} + {\ Frac {1} {\ lambda ^ {2} f ^ {2}}} S ^ {2} \ koniec {wyrównany} }}$
5. Średnia ekspozycja jest znacznie silniejsza niż zmienna ekspozycja .${\displaystyle {\bar {ja}}}$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ Delta ja \ lewo ({\ Frac {x_ {2}} {\ Lambda F}} {\ Frac {y_ {2}} {\ Lambda F}} \ po prawej) = {\frac {2r_{o}}{\lambda f}}Po lewej({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}} \right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\ lambda f}}\right)\right].\end{aligned}}}$

Przez te postulaty mamy następującą zależność:

${\ Displaystyle \ Delta t \ propto \ Delta \ phi \ propto \ Delta D \ propto \ Delta (logI) \ około {\ Frac {\ Delta I} {I}}}$.

Na koniec otrzymujemy transmitancję amplitudy w postaci filtra Wienera:

${\ Displaystyle \ Delta T \ propto {\ Frac {S ^ {\ ast}} { R_ {0} ^ {2} \ lambda ^ {2} f ^ {2} + \ lewo \ vert S \ prawy \ vert ^ {2}}}}$.

Posłowie: Widmo fal płaskich w szerszym kontekście rozkładu funkcjonalnego

Pola elektryczne można przedstawić matematycznie na wiele różnych sposobów. W punktach widzenia Huygensa-Fresnela lub Strattona- Chu pole elektryczne jest reprezentowane jako superpozycja źródeł punktowych, z których każde powoduje powstanie pola funkcyjnego Greena . Pole sumy jest więc sumą ważoną wszystkich poszczególnych pól funkcyjnych Greena. To wydaje się być najbardziej naturalny sposób patrzenia na pole elektryczne dla większości ludzi – bez wątpienia, ponieważ większość z nas od czasu do czasu rysowała koła za pomocą kątomierza i papieru, podobnie jak robił to Thomas Young w swoim klasycznym papier o eksperymencie z podwójną szczeliną . Jednak w żadnym wypadku nie jest to jedyny sposób przedstawienia pola elektrycznego, które można również przedstawić jako widmo sinusoidalnie zmieniających się fal płaskich. Ponadto Frits Zernike zaproponował jeszcze inną dekompozycję funkcjonalną opartą na jego wielomianach Zernike , zdefiniowanych na dysku jednostkowym. Wielomiany trzeciego rzędu (i niższe) Zernike odpowiadają normalnym aberracjom soczewki. I jeszcze innego rozkładu funkcjonalnego można dokonać w kategoriach funkcji Sinca i funkcji Airy'ego, jak we wzorze interpolacyjnym Whittakera–Shannona i twierdzeniu o próbkowaniu Nyquista–Shannona . Wszystkie te rozkłady funkcjonalne mają zastosowanie w różnych okolicznościach. Optyk mający dostęp do tych różnych form reprezentacyjnych ma głębszy wgląd w naturę tych cudownych pól i ich właściwości. Te różne sposoby patrzenia na pole nie są sprzeczne ani sprzeczne, raczej poprzez badanie ich połączeń można często uzyskać głębszy wgląd w naturę pól falowych.

Rozkład funkcjonalny i funkcje własne

Bliźniacze tematy ekspansji funkcji własnych i dekompozycji funkcjonalnej , o których tu krótko wspomniano, nie są całkowicie niezależne. Rozszerzenia funkcji własnych do pewnych operatorów liniowych zdefiniowanych w danej dziedzinie często dadzą przeliczalnie nieskończony zbiór funkcji ortogonalnych, które obejmą tę dziedzinę. W zależności od operatora i wymiarowości (oraz kształtu i warunków brzegowych) jego dziedziny, w zasadzie możliwych jest wiele różnych typów dekompozycji funkcjonalnych.

Zobacz też

• Abbego warunek sinus
• Algorytm adaptacyjno-dodatkowy
• Zasada Huygensa-Fresnela
• Funkcja rozrzutu punktowego
• Mikroskopia z kontrastem fazowym
• Dyfrakcja Fraunhofera
• Dyfrakcja Fresnela
• Optyka geometryczna
• Przestrzeń Hilberta
• Korelator optyczny
• Optyczna transformata Hartleya

Bibliografia

• Duffieux, Pierre-Michel (1983). Transformacja Fouriera i jej zastosowania w optyce . Nowy Jork, USA: John Wiley & Sons .
• Goodman, Józef (2005). Wprowadzenie do optyki Fouriera (3 wyd.). Wydawnictwa Roberts & Company. Numer ISBN 0-9747077-2-4. Pobrano 28.10.2017 .
• Hecht, Eugeniusz (1987). Optyka (2 wyd.). Addisona Wesleya . Numer ISBN 0-201-11609-X.
• Wilsona, Raymonda (1995). Seria Fouriera i techniki transformacji optycznej we współczesnej optyce . John Wiley i Synowie . Numer ISBN 0-471-30357-7.
• Scott, Craig (1998). Wprowadzenie do optyki i obrazowania optycznego . John Wiley i Synowie . Numer ISBN 0-7803-3440-X.
• Scott, Craig (1990). Nowoczesne metody analizy i projektowania anten reflektorowych . Dom Artech . Numer ISBN 0-89006-419-9.
• Scott, Craig (1989). Metoda domeny spektralnej w elektromagnetyce . Dom Artech . Numer ISBN 0-89006-349-4.
• Wprowadzenie do optyki Fouriera i korelatora 4F

Zewnętrzne linki

• Ambs, Pierre (2010). „Informatyka optyczna: 60-letnia przygoda” . Postępy w technologiach optycznych . Ograniczona hindawi. 2010 : 1-15. doi : 10.1155/2010/372652 . ISSN  1687-6393 .
• Stratton, JA; Chu, LJ (1939-07-01). „Teoria dyfrakcji fal elektromagnetycznych” (PDF) . Przegląd fizyczny . Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 56 (1): 99–107. doi : 10.1103/physrev.56.99 . ISSN  0031-899X .