Gaussa-Kuzmin-Wirsing operator - Gauss–Kuzmin–Wirsing operator

W matematyce The operatora Gaussa-Kuzmin-Wirsing jest operatorowi przeniesienia mapy Gaussa.

Imię

Jej nazwa pochodzi od:

• Carl Gauss
• Rodion Osievich Kuzmin
• Eduard Wirsing

Znaczenie

Występuje w badaniu ułamków ; jest to również związane z funkcją zeta Riemanna .

Stosunek do map i ułamków

Mapa Gauss

Funkcja Gaussa (mapa) h jest:

${\ Displaystyle h (x) = 1 / X \ lfloor 1 / x \ rfloor.}$

gdzie:

• ${\ Displaystyle \ lfloor 1 / x \ rfloor}$oznacza funkcję podłogi

Ma nieskończoną liczbę nieciągłości skoku w punkcie x = 1 / N, dla dodatnich liczb całkowitych n. Trudno jest zbliżenie go jednym gładkim wielomianu.

Operator na mapach

Gaussa-Kuzmin-Wirsing Operator działa na funkcje jak ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle [GF] (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {(x + n) ^ {2}}} f \ lewo ({\ Frac {1 } {x + n}} \ prawej).}$

Wartości własne operatora

Pierwsza funkcja własna tego operatora jest

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ ln 2}} \ {\ Frac {1} {1 + x}}}$

co odpowiada wartości własnej do Î ₁ = 1. Ta funkcja własna daje prawdopodobieństwo wystąpienia danej liczby całkowitej w ciągłej ekspansji frakcja jest znana jako rozkład Gaussa-Kuzmin . Wynika to częściowo z powodu mapa Gaussa działa jako skrócenie przesunięcia bitowego dla ułamków : if

${\ Displaystyle x = [0; a_ {1}, {2} a_, a_ {3}, \ kropki]}$

to dalsze przedstawienie ułamek liczby 0 <  x  <1, a następnie

${\ Displaystyle h (x) = [0; a_ {2}, {3} a_ \ kropki].}$

Dodatkowe wartości własne mogą być obliczone numerycznie; następna wartość własna jest λ ₂ = -0,3036630029 ... (sekwencja A038517 w OEIS ) i jego bezwzględna wartość jest znana jako stałą Gaussa-Kuzmin-Wirsing . Formy analityczne dla dodatkowych funkcji własnych nie są znane. Nie wiadomo, czy wartości własne są irracjonalne .

Ustawmy wartości własne operatora Gaussa-Kuzmin-Wirsing według wartości bezwzględnej:

${\ Displaystyle 1 = | \ N _ {1} | \ geq | \ N _ {2} | \ geq | \ _ N {3}. | \ Geq \ cdots}$

Został on przypuszczał w 1995 roku przez Philippe Flajolet i Brigitte Vallée że

${\ Displaystyle \ lim \ granice _ {n \ rightarrow \ infty} {\ Frac {\ N _ {n}} {\ N _ {n + 1}}} = - \ cp ^ {2}, {\ tekst { w której}} \ cp = {\ Frac {1 + {\ sqrt {5}, {2}}}}.}$

W 2014 roku, Giedrius Alkauskas udowodnił to przypuszczenie. Ponadto następujący wynik asymptotycznej posiada:

${\ Displaystyle (-1) ^ {n + 1} \ N _ {n} = \ cp ^ {-} 2n + C \ cdot {\ Frac {\ cp ^ {- 2n}} {\ sqrt {n}} } + d (n) \ cdot {\ Frac {\ cp ^ {- 2n}} {n}}, {\ tekst {gdzie}} c = {\ Frac {{\ sqrt [{4}] {5}} \ cdot \ zeta (3/2)} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} = 1,1019785625880999 _ {+};}$

tutaj funkcja jest ograniczona, a jest funkcja zeta Riemanna . ${\ Displaystyle D (n)}$${\ Displaystyle \ zeta (\ gwiazdka)}$

widmo ciągłe

Wartości własne tworzą dyskretne widma, gdy operator jest ograniczony do oddziaływania na funkcje w przedziale jednostkowej prostej liczby. Mówiąc bardziej ogólnie, jako mapa Gaussa jest operatorem przesunięcie na przestrzeń baire'a operator GKW mogą być postrzegane jako operatora na powierzchni funkcji (traktowanej jako przestrzeń banachowskiej z funkcji bazowych, przyjmuje się, że funkcje kontrolne na cylindrach Spośród Topologia produkt ). W tym ostatnim przypadku nie ma widmo ciągłe, z wartości własnych w dyskowego kompleksu płaszczyźnie. Oznacza to, że z uwagi na cylinder , operator G przesuwa się w lewo: . Biorąc jako funkcja wskaźnik, który jest na butli 1 (gdy ) i zera w przeciwnym razie, jedna zawiera . Serie ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {\ omega}}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {\ omega} \ z \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle | \ N | <1}$${\ C_ displaystyle {n} [b] = \ {(a_ {1}, {2} a_ \ cdots) \ w \ mathbb {A} ^ {\ omega} a_ {n} = B \}}$${\ Displaystyle GC_ {n} [b] = C_ {n-1} [b]}$${\ Displaystyle r_ {A, B} (x)}$${\ Displaystyle x \ w C_ {n} [b]}$${\ Displaystyle Gr_ {A, B} = R_ {N-1, B}}$

${\ Displaystyle f (x) = \ _ {suma n = 1} ^ {\ infty} \ ^ N {n-1} r_ {A, B} (x)}$

Następnie jest funkcją własną z wartości własnej . Oznacza to, że trzeba , gdy podsumowanie jest zbieżny, to znaczy kiedy . ${\ Displaystyle \ N}$${\ Displaystyle [GF] (x) = \ N F (x)}$${\ Displaystyle | \ N | <1}$

Szczególnym przypadkiem pojawia się, gdy ktoś zechce rozważyć środek Haar operatora przesunięcia, czyli funkcję, która jest niezmienna pod zmianowym. To jest podana przez środek Minkowskiego . Oznacza to, że jeden ma .${\ Displaystyle? ^ {\ Pierwsza}}$${\ Displaystyle G? ^ {\ Pierwsza} = ^ {\ pierwsza}}$

Stosunek do zeta Riemanna

Operator GKW jest związany z funkcją zeta Riemanna . Zauważ, że funkcja zeta można zapisać jako

${\ Displaystyle \ zeta (s) = {\ Frac {1} {s-1}} - s \ _ int {0} {1} ^ h (X) x, ^ {s-1} \;} dx$

co oznacza, że

${\ Displaystyle \ zeta (s) = {\ Frac {s} {s-1}} - s \ int _ {0} ^ {1} x \ lewo [Gx ^ {s-1} \ prawo] \ dx }$

zmianą-of-zmiennej.

elementy macierzowe

Rozważyć szereg Taylora rozszerzenia X = 1 dla funkcji f ( x ) i . To znaczy, niech ${\ Displaystyle G (x) = [GF] (x)}$

${\ Displaystyle F (1-x) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (- x) ^ {n} {\ Frac {f ^ {(n)} (1)} {n}! }}$

i zapisać również w g ( x ). Ekspansja jest o x  = 1, ponieważ operator GKW jest słabo zachowywały się w x  = 0. ekspansja jest o 1-X, dzięki czemu możemy zachować x liczbę dodatnią, 0 ≤  x  ≤ 1. Następnie operator działa na GKW Taylor jak współczynniki

${\ Displaystyle (-1) ^ {m} {\ g ^ uł {{(m)} (1)} {M!}} = \ _ {Suma n = 0} ^ {\ infty} G_ mn} {( 1) ^ {n} {\ Frac {f ^ {(n)} (1)} {n!}}}$

gdzie elementy macierzy operatora GKW są przez

${\ Displaystyle G_ {mn} = \ suma _ {k = 0} ^ {A} (- 1) ^ {k} {n \ wybrać k} {k + m + 1 \ wybrać m} \ lewo [\ zeta ( k + m + 2) -1 \ prawo].}$

Operator jest bardzo dobrze uformowane, a tym samym bardzo podatny numerycznie. Gaussa-Kuzmin stała jest łatwo obliczana na wysoką precyzją numerycznie diagonalizing górny lewy n przez n porcji. Nie wiadomo, wyrażenie zamkniętą postać, która diagonalizes tego operatora; czyli nie ma wyrażenia zamkniętej postaci znanej na wektory własne.

zeta Riemanna

Zeta Riemanna można zapisać jako

${\ Displaystyle \ zeta (s) = {\ Frac {s} {s-1}} - s \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {s-1 \ wyboru n} c_ {n}}$

gdzie podane są elementami macierzy powyżej: ${\ T_ displaystyle {n}}$

${\ Displaystyle c_ {n} = \ _ {suma m = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {G_ {mn}} {(m + 1) (M + 2)}}.}$

Wykonując sumowanie, dostaje:

${\ Displaystyle c_ {n} = 1 \ y + \ _ suma k = {1} ^ {A} (- 1) ^ {k} {n \ wybrać k} \ lewo [{\ Frac {1} {K }} - {\ Frac {\ zeta (k + 1)} {k + 1}} \ prawo]}$

gdzie jest stała Eulera-Mascheroni . Są odtworzyć analogiem stałych Stieltjes , ale dla spadającego silni ekspansji. Przez pisanie ${\ Displaystyle \ y}$${\ T_ displaystyle {n}}$

${\ Displaystyle a_ {N} = {N t_} - {\ Frac {1} {2 (n + 1)}}}$

dostaje: ₀ = -0,0772156 ... i ₁ = -0,00474863 ... i tak dalej. Wartości dostać szybko, ale są małe oscylacyjny. Niektóre wyraźne sumy tych wartości może być wykonana. Mogą być one wyraźnie związane ze stałych Stieltjes poprzez ponowne wyrażanie spadającą silni jako wielomian z liczb Stirlinga współczynników, a następnie rozwiązywania. Bardziej ogólnie, zeta Riemanna mogą zostać zaprezentowane jako rozszerzenie pod względem sekwencji Sheffera wielomianów.

Ta rozbudowa Riemanna zeta jest badane w następujących publikacjach. Współczynniki spadają w

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {2n} {\ pi}} \ prawej) ^ {1/4} e ^ {- {\ sqrt {4 \ pi n}}} \ \ cos lewo ({\ sqrt { 4 \ pi n}} - {\ Frac {5 \ pi} {8}} \ prawej) + {\ mathcal {o}} \ lewo ({\ Frac {e ^ {- {\ sqrt {4 \ pi n} }}} {n ^ {1/4}}} \ prawej).}$

Referencje

Informacje ogólne

• A. Ya. Khinchin , ułamkami , 1935, angielskie University of Chicago Press, 1961 ISBN  0-486-69630-8 (patrz punkt 15).
• KI Babenko, na problem z Gaussa , radziecki matematyczna Doklady 19 : 136-140 (1978) MR 472746
• KI Babenko i SP Jur'ev, Na dyskretyzacji problem Gaussa , radziecki matematyczna Doklady 19 : 731-735 (1978). MR 499751
• A. Durner, Na twierdzenie Gaussa-Kuzmin-Levy. Łuk. Math. 58 , 251-256 (1992). MR 1148200
• AJ MacLeod, wysokiej dokładności numeryczne Wartości Gaussa-Kuzmin ułamka problem. Komputery Math. Appl. 26 , 37-44, (1993).
• E. Wirsing, Na twierdzenie Gaussa-Kuzmin-Levy i Frobenius-Type twierdzenia dla przestrzeni funkcyjnych. Acta Arith. 24 , 507-528 (1974). MR 337868

Dalsza lektura

• Keith Briggs, Dokładne obliczenie stałej Gaussa-Kuzmin-Wirsing (2003) (zawiera bardzo bogaty zbiór odnośników).
• Phillipe Flajolet i Brigitte Vallée , od stałej Gaussa-Kuzmin-Wirsing (1995).
• Linas Vepstas Bernoulliego Operator, Gaussa-Kuzmin-Wirsing Operator, a Riemann Zeta (2004) (PDF)

Linki zewnętrzne

• Weisstein Eric W. "Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant" . MathWorld .
• OEIS sekwencja A038517 (dziesiętna rozszerzenie Gaussa-Kuzmin-Wirsing stałych)