Hiperboloida - Hyperboloid

Hiperboloid jednego arkusza

powierzchnia stożkowa pomiędzy

Hiperboloida dwóch arkuszy

W geometrii , o hiperboloidy rewolucji , czasami nazywany okrągły hiperboloida , jest powierzchnia generowane przez obrót hiperboli wokół jednego z jego głównych osi . Hiperboloidy powierzchnia jest otrzymywany z hiperboloidy obrotowej deformując je drogą kierunkowych zgorzeliny , lub bardziej ogólnie, o afinicznej transformacji .

Hiperboloidy jest Quadric powierzchni , to jest powierzchnia określona jako zestaw zerowej z wielomianem stopnia dwa do trzech zmiennych. Wśród powierzchni kwadratowych hiperboloid charakteryzuje się tym, że nie jest stożkiem ani cylindrem , ma środek symetrii i przecina wiele płaszczyzn w hiperbole. Hiperboloid ma trzy parami prostopadłe osie symetrii i trzy parami prostopadłe płaszczyzny symetrii .

Mając hiperboloid, jeśli wybierze się kartezjański układ współrzędnych, którego osie są osiami symetrii hiperboloidu, a początek jest środkiem symetrii hiperboloidu, to hiperboloid może być zdefiniowany jednym z dwóch następujących równań:

${\ Displaystyle {x ^ {2} \ nad a ^ {2}} + {y ^ {2} \ nad b ^ {2}} - {z ^ {2} \ nad c ^ {2}} = 1, }$

lub

${\ Displaystyle {x ^ {2} \ nad a ^ {2}} + {y ^ {2} \ nad b ^ {2}} - {z ^ {2} \ nad c ^ {2}} = -1 .}$

Obie powierzchnie są asymptotyczne do stożka równania

${\ Displaystyle {x ^ {2} \ nad a ^ {2}} + {y ^ {2} \ nad b ^ {2}} - {z ^ {2} \ nad c ^ {2}} = 0. }$

Powierzchnia jest hiperboloidą obrotu wtedy i tylko wtedy , gdy W przeciwnym razie osie są jednoznacznie zdefiniowane ( do zamiany osi x i osi y ). ${\ Displaystyle a ^ {2} = b ^ {2}.}$

Istnieją dwa rodzaje hiperboloidów. W pierwszym przypadku ( +1 po prawej stronie równania): hiperboloid jednoarkuszowy , zwany również hiperboloidem hiperbolicznym . Jest to połączona powierzchnia , która w każdym punkcie ma ujemną krzywiznę Gaussa . Oznacza to, że w pobliżu każdego punktu przecięcie hiperboloidy i jej płaszczyzny stycznej w tym punkcie składa się z dwóch gałęzi krzywej, które mają różne styczne w punkcie. W przypadku hiperboloidy jednoarkuszowej te gałęzie krzywych są liniami, a zatem hiperboloid jednoarkuszowy jest powierzchnią podwójnie rządzoną .

W drugim przypadku ( -1 po prawej stronie równania): dwuarkuszowy hiperboloid , zwany także hiperboloidem eliptycznym . Powierzchnia ma dwa połączone komponenty i dodatnią krzywiznę Gaussa w każdym punkcie. Zatem powierzchnia jest wypukła w tym sensie, że płaszczyzna styczna w każdym punkcie przecina powierzchnię tylko w tym punkcie.

Reprezentacje parametryczne

Animacja hiperboloidy rewolucji

Można zdefiniować współrzędne kartezjańskie dla hiperboloidów, podobnie jak współrzędne sferyczne , zachowując kąt azymutalny θ ∈ [0, 2 π ) , ale zmieniając nachylenie v na hiperboliczne funkcje trygonometryczne :

Hiperboloid jednopowierzchniowy: v ∈ (−∞, ∞)

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} x & = a \ cosh v \ cos \ theta \ \ y & = b \ cosh v \ sin \ theta \ \ z & = c \ sinh v \ koniec {wyrównane}}}$

Hiperboloid dwupowierzchniowy: v ∈ [0, ∞)

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} x & = a \ sinh v \ cos \ theta \ \ y & = b \ sinh v \ sin \ theta \ \ z& = \ pm c \ cosh v \ koniec {wyrównane}}}$

hiperboloidy jednego arkusza: generowanie przez obracającą się hiperbolę (góra) i linię (dół: czerwony lub niebieski)

hiperboloida jednego arkusza: przekroje płaskie

Poniższa reprezentacja parametryczna obejmuje hiperboloidy jednego arkusza, dwóch arkuszy i ich wspólnego stożka granicznego, każdy z osią - jako osią symetrii: ${\displaystyle z}$

${\ Displaystyle {\ vec {x}} (s, t) = \ lewo ({\ zacząć tablicę} {lll} a {\ sqrt {s ^ {2} + d}} \ cos t \ \ b {\ sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)}$

• Dla jednego uzyskuje się hiperboloidę jednego arkusza,${\displaystyle d>0}$
• Dla hiperboloidy dwóch arkuszy i${\displaystyle d<0}$
• Do podwójnego stożka.${\ Displaystyle d = 0}$

Można uzyskać parametryczną reprezentację hiperboloidy o innej osi współrzędnych jako osi symetrii, przetasowując pozycję wyrazu do odpowiedniej składowej powyższego równania. ${\displaystyle cs}$

Uogólnione równania

Bardziej ogólnie, arbitralnie zorientowany hiperboloid, wyśrodkowany na v , jest zdefiniowany równaniem by

${\ Displaystyle (\ mathbf {xv} ) ^ {\ operatorname {T}} A (\ mathbf {xv}) = 1,}$

gdzie A jest macierzą , a x , v są wektorami .

Te wektory z A określają główne kierunki hiperboloidy i wartości własnych z A są odwrotności kwadratów z półosi: , i . Hiperboloid jednoarkuszowy ma dwie dodatnie wartości własne i jedną ujemną wartość własną. Hiperboloid dwuarkuszowy ma jedną dodatnią wartość własną i dwie ujemne wartości własne. ${\ Displaystyle {1/a ^ {2}}}$${\ Displaystyle {1/b ^ {2}}}$${\ Displaystyle {1/c ^ {2}}}$

Nieruchomości

Hiperboloid jednego arkusza

Linie na powierzchni

• Hiperboloid jednego arkusza zawiera dwa ołówki linii. Jest to podwójnie rządzona powierzchnia .

Jeśli hiperboloid ma równanie, to linie ${\ Displaystyle {x ^ {2} \ nad a ^ {2}} + {y ^ {2} \ nad b ^ {2}} - {z ^ {2} \ nad c ^ {2}} = 1}$

${\ Displaystyle g_ {\ alfa} ^ {\ pm}: {\ vec {x}} (t) = {\ zacząć {pmatrix} a \ cos \ alfa \ \ b \ sin \ alfa \ \ 0 \ koniec {pmatrix }}+t\cdot {\begin{pmatrix}-a\sin \alpha \\b\cos \alpha \\\pm c\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alfa \leq 2\pi \ }$

są zawarte w powierzchni.

W przypadku, gdy hiperboloid jest powierzchnią obrotową i można go wygenerować obracając jedną z dwóch linii lub , które są skośne do osi obrotu (patrz rysunek). Ta własność nazywa się twierdzeniem Wrena . Bardziej powszechną generacją jednoarkuszowej hiperboloidy obrotu jest obracanie hiperboli wokół jej pół-mniejszej osi (patrz rysunek; obracanie hiperboli wokół jej drugiej osi daje dwuarkuszową hiperbolę obrotu). ${\displaystyle a=b}$${\displaystyle g_{0}^{+}}$${\displaystyle g_{0}^{-}}$

Hiperboloid jednego arkusza jest rzutowo równoważny paraboloidowi hiperbolicznemu .

Sekcje samolotu

Dla uproszczenia uwzględniono płaskie odcinki jednostki hiperboloidy z równaniem . Ponieważ hiperboloid w pozycji ogólnej jest afinicznym obrazem jednostki hiperboloidy, wynik odnosi się również do przypadku ogólnego. ${\ Displaystyle \ H_ {1}: x ^ {2} + Y ^ {2}-z ^ {2} = 1}$

• Płaszczyzna o nachyleniu mniejszym niż 1 (1 to nachylenie linii hiperboloidy) przecina się w elipsie ,${\displaystyle H_{1}}$
• Płaszczyzna z nachyleniem równym 1 zawierający intersects pochodzenia w parze równoległych ,${\displaystyle H_{1}}$
• Płaszczyzna o nachyleniu równym 1 nie zawierająca początku przecina się w paraboli ,${\displaystyle H_{1}}$
• Płaszczyzną przecięcia w parę przecinających się linii ,${\displaystyle H_{1}}$
• Płaszczyzna niestyczna o nachyleniu większym niż 1 przecina się w hiperboli .${\displaystyle H_{1}}$

Oczywiście każda jednoarkuszowa hiperboloida rewolucji zawiera koła. Odnosi się to również, ale mniej oczywiste, w ogólnym przypadku (patrz okrągły rozdział ).

Hiperboloida dwóch arkuszy

hiperboloid dwóch arkuszy: generowanie przez obracanie hiperboli

hiperboloida dwóch arkuszy: przekroje płaskie

Hiperboloid dwóch arkuszy nie zawiera linii. Omówienie przekrojów płaskich można przeprowadzić dla hiperboloidy jednostkowej dwóch arkuszy o równaniu

${\ Displaystyle H_ {2}: \ x ^ {2} + Y ^ {2}-z ^ {2} = -1}$.

które mogą być generowane przez obracającą się hiperbolę wokół jednej z jej osi (tej, która przecina hiperbolę)

• Płaszczyzna o nachyleniu mniejszym niż 1 (1 to nachylenie asymptot generowanej hiperboli) przecina się albo w elipsie, albo w punkcie, albo wcale,${\displaystyle H_{2}}$
• Płaszczyzna o nachyleniu równym 1 zawierająca początek (punkt środkowy hiperboloidy) nie przecina się ,${\displaystyle H_{2}}$
• Płaszczyzna o nachyleniu równym 1 nie zawierająca początku przecina się w paraboli ,${\displaystyle H_{2}}$
• Płaszczyzna o nachyleniu większym niż 1 przecina się w hiperboli .${\displaystyle H_{2}}$

Oczywiście każda dwuarkuszowa hiperboloida obrotu zawiera koła. Odnosi się to również, ale mniej oczywiste, w ogólnym przypadku (patrz okrągły rozdział ).

Uwaga: Hiperboloid złożony z dwóch arkuszy jest rzutowo równoważny sferze.

Inne właściwości

Symetrie

Hiperboloidy z równaniami to ${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ Frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ Frac {Z ^ {2} }{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}} }-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\ }$

• punktowo symetryczny do początku,
• symetryczny do płaszczyzn współrzędnych i
• obrotowo symetryczny do osi z i symetryczny do dowolnej płaszczyzny zawierającej oś z, w przypadku (hiperboloidy obrotu).${\displaystyle a=b}$

Krzywizna

Podczas gdy krzywizna Gaussa hiperboloidy jednego arkusza jest ujemna, krzywizna hiperboloidy dwóch arkuszy jest dodatnia. Pomimo swojej dodatniej krzywizny, hiperboloida dwóch arkuszy o innej odpowiednio dobranej metryce może być również wykorzystana jako model geometrii hiperbolicznej.

W więcej niż trzech wymiarach

Hiperboloidy urojone są często spotykane w matematyce wyższych wymiarów. Na przykład w przestrzeni pseudoeuklidesowej mamy do czynienia z formą kwadratową :

${\ Displaystyle q (x) = \ lewo (x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} \ po prawej) - \ lewo (x_ {k + 1} ^ {2} + \ cdots +x_{n}^{2}\prawo),\quad k<n.}$

Gdy c jest dowolną stałą , to część przestrzeni dana przez

${\ Displaystyle \ l nawias x\ :\ q (x) = c \ r nawias}$

nazywa się hiperboloidem . Przypadek zdegenerowany odpowiada c = 0 .

Jako przykład rozważ następujący fragment:

... wektory prędkości zawsze leżą na powierzchni, którą Minkowski nazywa hiperboloidą czterowymiarową, ponieważ wyrażona w postaci czysto rzeczywistych współrzędnych ( y ₁ , ..., y ₄ ) równanie to y²
₁+ y²
₂+ y²
₃− y²
₄= −1 , analogicznie do hiperboloidy y²
₁+ y²
₂− y²
₃= -1 przestrzeni trójwymiarowej.

Jednak termin quasi-sfera jest również używany w tym kontekście, ponieważ sfera i hiperboloid mają pewne cechy wspólne (patrz § Relacja do sfery poniżej).

Struktury hiperboloidowe

W budownictwie stosuje się hiperboloidy jednowarstwowe o strukturach zwanych strukturami hiperboloidowymi . Hiperboloid to podwójnie rządzona powierzchnia ; dzięki temu można go zbudować z prostych belek stalowych, tworząc mocną konstrukcję przy niższych kosztach niż inne metody. Przykładami są chłodnie kominowe , zwłaszcza elektrowni , oraz wiele innych konstrukcji .

• Galeria jednoarkuszowych struktur hiperboloidowych
• 

  Adziogol Lighthouse , Ukraina , 1911.

• 

  Wieża portowa w Kobe , Japonia , 1963.

• 

  Planetarium im. Jamesa S. McDonnell w Saint Louis Science Center , St. Louis , Missouri , 1963.

• 

  Wieża kontrolna międzynarodowego lotniska w Newcastle , Newcastle upon Tyne , Anglia , 1967.

• 

  Wieża transmisyjna Jeszczed , Czechy , 1968.

• 

  Katedra w Brasília , Brazylia , 1970.

• 

  Wieża ciśnień hiperboloidowych ze zbiornikiem toroidalnym , Ciechanów , Polska , 1972.

• 

  Roy Thomson Hall , Toronto , Kanada , 1982.

• 

  THTR-300 wieży chłodzącej dla już zlikwidowane toru reaktora jądrowego w Hamm -Uentrop, Niemcy , 1983.

• 

  The Corporation Street Bridge , Manchester , Anglia , 1999.

• 

  Killesberg wieża widokowa, Stuttgart , Niemcy , 2001.

• 

  BMW Welt , (BMW World), muzeum i miejsce wydarzenia, Monachium , Niemcy , 2007.

• 

  Canton Tower , Chiny , 2010.

• 

  Essarts-le-Roi wieża ciśnień, Francja .

Stosunek do sfery

W 1853 William Rowan Hamilton opublikował swoje Wykłady na temat kwaternionów, które zawierały prezentację bikwaternionów . Poniższy fragment ze strony 673 pokazuje, w jaki sposób Hamilton używa algebry dwukwaternionowej i wektorów z kwaternionów do wytworzenia hiperboloidów z równania sfery :

... równanie sfery jednostkowej ρ ² + 1 = 0 i zamień wektor ρ na postać dwuwektorową , taką jak σ + τ √ -1 . Równanie sfery rozpada się następnie na układ dwóch następujących:

σ ² − τ ² + 1 = 0 , S . στ = 0 ;

i sugeruje rozważenie σ i τ jako dwóch rzeczywistych i prostokątnych wektorów, takich, że

T τ = ( T σ ² − 1 ) ^1/2 .

Stąd łatwo wywnioskować, że jeśli przyjmiemy σ λ${\displaystyle \równoległe}$ , gdzie λ jest wektorem w danej pozycji, nowy rzeczywisty wektor σ + τ zakończy się na powierzchni hiperboloidy dwuwarstwowej i równobocznej ; a jeśli z drugiej strony przyjmiemy τ λ${\displaystyle \równoległe}$ , to miejsce krańca wektora rzeczywistego σ + τ będzie hiperboloidą równoboczną, ale jednoarkuszową . Badanie tych dwóch hiperboloidów łączy się więc w ten sposób bardzo prosto, poprzez dwukwaterniony, z badaniem kuli; ...

W tym fragmencie S jest operatorem podającym skalarną część kwaternionu, a T jest „tensorem”, teraz nazywanym normą , kwaternionem.

Współczesne spojrzenie na unifikację kuli i hiperboloidy wykorzystuje ideę przekroju stożkowego jako wycinka formy kwadratowej . Zamiast powierzchni stożkowej potrzebne są stożkowe hiperpowierzchnie w przestrzeni czterowymiarowej z punktami p = ( w , x , y , z ) ∈ R ⁴ określonymi przez formy kwadratowe . Najpierw rozważ stożkową hiperpowierzchnię

${\ Displaystyle P = \ l nawias p \ :\ w ^ {2} = x ^ {2} + Y ^ {2} + z ^ {2} \ r nawias }$ i

${\ Displaystyle H_ {r} = \ l nawias p \ : \ w = r \ r nawias,}$który jest hiperpłaszczyzną .

Wtedy jest sfera o promieniu r . Z drugiej strony stożkowa hiperpowierzchnia ${\ Displaystyle P \ czapka H_ {r}}$

${\ Displaystyle Q = \ l nawias p \ :\ w ^ {2} + z ^ {2} = x ^ {2} + Y ^ {2} \ r nawias }$zapewnia, że jest to hiperboloid.${\ Displaystyle Q \ czapka H_ {r}}$

W teorii postaci kwadratowej , A Urządzenie quasi kula jest podzbiorem kwadratowej przestrzeni X, składający się z x ∈ X tak, że kwadratowa normą X wynosi jeden.

Zobacz też

Odtwórz multimedia

Hiperboloidowa wieża Szuchowa (1898) w Vyksa , Rosja

• de Sitter miejsce
• Elipsoida
• Lista powierzchni
• Paraboloid / Paraboloid hiperboliczny
• Królewiątko
• Obrót osi
• Split-quaternion § Profil
• Przesunięcie osi

Bibliografia

• Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie , Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
• David A. Brannan, MF Esplen i Jeremy J Gray (1999) Geometria , s. 39-41 Cambridge University Press .
• HSM Coxeter (1961) Wprowadzenie do geometrii , s. 130, John Wiley i Synowie .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Hiperboloid” . MatematykaŚwiat .
  • Weisstein, Eric W. "Hyperboloid jednowarstwowy" . MatematykaŚwiat .
  • Weisstein, Eric W. „Dwuwarstwowy hiperboloid” . MatematykaŚwiat .
  • Weisstein, Eric W. „Eliptyczny hiperboloid” . MatematykaŚwiat .