Notacja matematyczna -Mathematical notation

Notacja matematyczna polega na używaniu symboli do przedstawiania operacji , liczb nieokreślonych , relacji i wszelkich innych obiektów matematycznych oraz łączenia ich w wyrażenia i wzory . Notacja matematyczna jest szeroko stosowana w matematyce , naukach ścisłych i inżynierii do przedstawiania złożonych pojęć i właściwości w zwięzły, jednoznaczny i dokładny sposób.

Na przykład równanie Alberta Einsteina jest ilościowym przedstawieniem w zapisie matematycznym równoważności masy i energii . ${\ Displaystyle E = mc ^ {2}}$

Notacja matematyczna została po raz pierwszy wprowadzona przez François Viète pod koniec XVI wieku i znacznie rozszerzona w XVII i XVIII wieku przez René Descartesa , Izaaka Newtona , Gottfrieda Wilhelma Leibniza i ogólnie Leonharda Eulera .

Symbolika

Stosowanie wielu symboli jest podstawą zapisu matematycznego. Pełnią one podobną rolę jak słowa w językach naturalnych . Mogą pełnić różne role w notacji matematycznej, podobnie jak czasowniki, przymiotniki i rzeczowniki pełnią różne role w zdaniu.

Litery jako symbole

Litery są zwykle używane do nazywania — w żargonie matematycznym mówi się, że reprezentują — obiekty matematyczne . Zwykle używa się alfabetu łacińskiego i greckiego , ale czasami używa się niektórych liter alfabetu hebrajskiego . Wielkie i małe litery są traktowane jako różne symbole. W przypadku alfabetu łacińskiego różne kroje zapewniają również różne symbole. Na przykład i może teoretycznie pojawić się w tym samym tekście matematycznym w sześciu różnych znaczeniach. Zwykle rzymskie pionowe kroje pisma nie są używane w symbolach, z wyjątkiem symboli składających się z kilku liter, takich jak symbol „ ” funkcji sinusoidalnej . ${\ Displaystyle (\ aleph, \ beth)}$ ${\ Displaystyle r, R, \ mathbb {R}, {\ mathcal {R}}, {\ mathfrak {r}},}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {R}}}$ ${\ Displaystyle \ grzech}$

Aby mieć więcej symboli i umożliwić reprezentowanie powiązanych obiektów matematycznych przez powiązane symbole, często stosuje się znaki diakrytyczne , indeksy dolne i górne . Na przykład może oznaczać transformatę Fouriera pochodnej funkcji o nazwie ${\ Displaystyle {\ kapelusz {f'_ {1}}}}$ ${\ displaystyle f_ {1}.}$

Inne symbole

Symbole służą nie tylko do nazywania obiektów matematycznych. Można ich używać do operacji na relacjach dla spójników logicznych dla kwantyfikatorów i do innych celów. ${\ Displaystyle (+, -, /, \ oplus, \ ldots),}$ ${\ Displaystyle (=, <, \ równoważnik, \ sim, \ równoważnik, \ ldots),}$ ${\ Displaystyle (\ implikuje, \ ziemia, \ lor, \ ldots),}$ ${\ Displaystyle (\ forall, \ istnieje),}$

Niektóre symbole są podobne do liter łacińskich lub greckich, inne są uzyskiwane przez deformację liter, niektóre są tradycyjnymi symbolami typograficznymi , ale wiele z nich zostało specjalnie zaprojektowanych dla matematyki.

Wyrażenia

Wyrażenie jest skończoną kombinacją symboli , która jest dobrze sformułowana zgodnie z regułami zależnymi od kontekstu. Ogólnie rzecz biorąc, wyrażenie oznacza lub nazywa obiekt matematyczny , a zatem pełni w języku matematyki rolę frazy rzeczownikowej w języku naturalnym.

Wyrażenie często zawiera pewne operatory i dlatego może być oceniane na podstawie działania zawartych w nim operatorów. Na przykład jest wyrażeniem, w którym operator może zostać oceniony pod kątem uzyskania wyniku So, i są dwoma różnymi wyrażeniami reprezentującymi tę samą liczbę. Taki jest sens równości ${\ Displaystyle 3 + 2}$ ${\ Displaystyle +}$ ${\ Displaystyle 5.}$ ${\ Displaystyle 3 + 2}$ ${\ styl wyświetlania 5}$ ${\ Displaystyle 3 + 2 = 5.}$

Bardziej skomplikowanym przykładem jest wyrażenie , które można obliczyć na Chociaż otrzymane wyrażenie zawiera operatory dzielenia , odejmowania i potęgowania , nie można go dalej obliczać, ponieważ $a$ i $b$ oznaczają nieokreślone liczby. ${\textstyle \int _ {a}^{b}xdx}$ ${\ textstyle {\ frac {b ^ {2}} {2}} - {\ frac {a ^ {2}} {2}}.}$

Historia

Liczby

Uważa się, że notacja przedstawiająca liczby została po raz pierwszy opracowana co najmniej 50 000 lat temu - wczesne idee matematyczne, takie jak liczenie palców , były również reprezentowane przez kolekcje skał, patyków, kości, gliny, kamienia, rzeźb w drewnie i zawiązanych lin. Tally stick to sposób liczenia sięgający górnego paleolitu . Być może najstarsze znane teksty matematyczne pochodzą ze starożytnego Sumeru . Census Quipu of the Andes i Ishango Bone z Afryki wykorzystywały metodę znaczników do rozliczania pojęć liczbowych.

Pojęcie zera i wprowadzenie jego notacji to ważne osiągnięcia we wczesnej matematyce, która na wieki poprzedza koncepcję zera jako liczby. Był używany jako symbol zastępczy przez Babilończyków i greckich Egipcjan , a następnie jako liczba całkowita przez Majów , Hindusów i Arabów (patrz historia zera ).

Nowoczesna notacja

Aż do XVI wieku matematyka była zasadniczo retoryczna w tym sensie, że wszystko oprócz wyraźnych liczb wyrażano słowami. Jednak niektórzy autorzy, tacy jak Diophantus, używali niektórych symboli jako skrótów.

Pierwsze systematyczne użycie formuł, aw szczególności użycie symboli ( zmiennych ) dla nieokreślonych liczb, jest generalnie przypisywane François Viète (XVI wiek). Użył jednak innych symboli niż te, które są obecnie standardowe.

Później René Descartes (XVII wiek) wprowadził współczesną notację zmiennych i równań ; w szczególności użycie dla nieznanych wielkości i dla znanych ( stałe ). Wprowadził również notację $i$ oraz termin „urojony” dla jednostki urojonej . ${\ displaystyle x, y, z}$ ${\ Displaystyle a, b, c}$

W XVIII i XIX wieku nastąpiła standaryzacja stosowanej obecnie notacji matematycznej. Leonhard Euler był odpowiedzialny za wiele obecnie używanych notacji: notację funkcyjną $e$ dla podstawy logarytmu naturalnego, dla sumowania itp. Spopularyzował także użycie $π$ dla stałej Archimedesa (zaproponowane przez Williama Jonesa , oparte na wcześniejsza notacja Williama Oughtreda ). ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ styl tekstu \ suma}$

Od tego czasu wprowadzono wiele nowych notacji, często specyficznych dla określonej dziedziny matematyki. Niektóre notacje zostały nazwane na cześć ich wynalazców, na przykład notacja Leibniza , symbol Legendre'a , konwencja sumowania Einsteina itp.

Skład

Ogólne systemy składu na ogół nie nadają się do zapisu matematycznego. Jednym z powodów jest to, że w notacji matematycznej symbole są często ułożone w dwuwymiarowe figury, takie jak in

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {{\ rozpocząć {bmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {bmatrix}} ^ {n}} {n!}}.}

TeX to zorientowany matematycznie system składu, który został stworzony w 1978 roku przez Donalda Knutha . Jest szeroko stosowany w matematyce, poprzez swoje rozszerzenie o nazwie LaTeX i jest de facto standardem. (Powyższe wyrażenie jest napisane w LaTeX.)

Niedawno MathML zapewnia inne podejście do składu matematycznego . Jednak nie jest dobrze obsługiwany w przeglądarkach internetowych, co jest jego głównym celem.

Niezwykłe wyświetlanie

π

dozwolone przez TeX (styl europejski, z przecinkiem jako separatorem dziesiętnym )

Notacja matematyczna nie oparta na łacinie

Współczesna arabska notacja matematyczna opiera się głównie na alfabecie arabskim i jest szeroko stosowana w świecie arabskim , zwłaszcza w szkolnictwie przedszkolnym .

(Notacja zachodnia wykorzystuje cyfry arabskie , ale notacja arabska zastępuje również litery łacińskie i powiązane symbole pismem arabskim).

Oprócz notacji arabskiej matematyka wykorzystuje również litery greckie do oznaczania szerokiej gamy obiektów matematycznych i zmiennych. W niektórych przypadkach używane są również niektóre litery hebrajskie (na przykład w kontekście nieskończonych kardynałów ).

Niektóre zapisy matematyczne są w większości schematyczne, więc są prawie całkowicie niezależne od pisma. Przykładami są notacja graficzna Penrose'a i diagramy Coxetera-Dynkina .

Notacje matematyczne oparte na alfabecie Braille'a używane przez osoby niewidome obejmują Nemeth Braille i GS8 Braille .

Zobacz też

Notatki

^ Wprowadzenie do historii matematyki (6. wydanie) autorstwa Howarda Evesa (1990) s. 9
^ Georges Ifrah zauważa, że ludzie nauczyli się liczyć na dłoniach. Ifrah pokazuje na przykład obraz Boecjusza (żyjącego w latach 480–524 lub 525) liczącego na palcach w Ifrah 2000 , s. 48.

Bibliografia

Florian Cajori , Historia notacji matematycznych (1929), 2 tomy. ISBN 0-486-67766-4
Ifrah, Georges (2000), Uniwersalna historia liczb: od prehistorii do wynalezienia komputera. , John Wiley i synowie , s. 48, ISBN 0-471-39340-1. Przetłumaczone z francuskiego przez Davida Bellosa, EF Hardinga, Sophie Wood i Iana Monka. Ifrah wspiera swoją tezę, cytując wyrażenia idiomatyczne z języków całego świata.
Mazur, Joseph (2014), Oświecające symbole: krótka historia notacji matematycznej i jej ukrytych mocy . Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15463-3

Linki zewnętrzne

Najwcześniejsze zastosowania różnych symboli matematycznych
Matematyczna notacja ASCII jak wpisywać notację matematyczną w dowolnym edytorze tekstu.
Matematyka jako język w Cut-the-Knot
Stephen Wolfram : Notacja matematyczna: przeszłość i przyszłość . Październik 2000. Transkrypcja przemówienia programowego wygłoszonego na MathML i Math on the Web: MathML International Conference.

[1] Wprowadzenie do historii matematyki (6. wydanie) autorstwa Howarda Evesa (1990) s. 9

[2] Georges Ifrah zauważa, że ludzie nauczyli się liczyć na dłoniach. Ifrah pokazuje na przykład obraz Boecjusza (żyjącego w latach 480–524 lub 525) liczącego na palcach w Ifrah 2000 , s. 48.

Languages

In other projects