Minimalny wielomian (teoria pola) - Minimal polynomial (field theory)
W teorii pola , gałęzi matematyki , najmniejszym wielomianem wartości α jest z grubsza wielomian najniższego stopnia mający współczynniki określonego typu, takie że α jest pierwiastkiem wielomianu. Jeśli istnieje minimalny wielomian α , jest on unikalny. Współczynnik najwyższego stopnia składnika wielomianu musi wynosić 1, a określony typ dla pozostałych współczynników może być liczbami całkowitymi , wymiernymi , rzeczywistymi lub innymi.
Bardziej formalnie, minimalny wielomian jest określona w stosunku do rozszerzenia pola E / F i element pola przedłużenie E . Minimalna wielomianem elementu, jeśli istnieje, jest członkiem F [ x ], w pierścieniu wielomianów w zmiennej x o współczynnikach w F . Mając element α z E , niech J α będzie zbiorem wszystkich wielomianów f ( x ) w F [ x ] takim, że f ( α ) = 0. Element α nazywamy pierwiastkiem lub zerem każdego wielomianu w J α . Zestaw J α jest tak nazwana, ponieważ jest idealny z F [ x ]. Wielomian zerowy, którego wszystkie współczynniki wynoszą 0, występuje w każdym J α od 0 α i = 0 dla wszystkich α i i . To sprawia, że zerowy wielomian jest bezużyteczny do klasyfikowania różnych wartości α na typy, więc jest wyjątkowy. Jeśli istnieją niezerowe wielomiany w J α , to α nazywa się elementem algebraicznym nad F i istnieje wielomian moniczny najmniejszego stopnia w J α . Jest to minimalny wielomianem alfa w stosunku do E / F . Jest ona wyjątkowa i nieredukowalne nad F . Jeśli wielomian zero jedynym członkiem J alfa , następnie α nazywa się nadzmysłowy elementu przez F i nie ma minimalną wielomianem względem E / F .
Minimalne wielomiany są przydatne do konstruowania i analizowania rozszerzeń pól. Gdy α jest algebraiczna z minimalnym wielomian a ( x ), przy czym najmniejsza pole, które zawiera zarówno K i alfa jest izomorficzny z pierścieniem iloraz F [ x ] / ⟨ ( x )⟩, gdzie ⟨ ( x )⟩ jest ideał F [ x ] generowane przez a ( x ). Minimalne wielomiany są również używane do definiowania elementów sprzężonych .
Definicja
Niech E / F będzie rozszerzenie ciała , α element E i F. [ x ] Pierścień wielomianów x ponad F . Element α ma minimalny wielomian, gdy α jest algebraiczne względem F , to znaczy, gdy f ( α ) = 0 dla jakiegoś niezerowego wielomianu f ( x ) w F [ x ]. Wówczas minimalny wielomian α jest definiowany jako wielomian moniczny najmniejszego stopnia spośród wszystkich wielomianów w F [ x ] mającym α jako pierwiastek.
Wyjątkowość
Niech ( x ) będzie minimalna wielomianem alfa w stosunku do E / F . Wyjątkowość a ( x ) jest ustanowiony przez rozważenie pierścień Homomorfizm sub alfa z F [ x ] na E substytuty a dla x , to znaczy grupą alfa ( F ( x )) = f ( alfa ). Jądro sub α , ker (sub α ), jest zbiorem wszystkich wielomianów w F [ x ], dla których α jest pierwiastkiem. Oznacza to, że ker (sub α ) = J α z góry. Ponieważ sub α jest homomorfizmem pierścienia, ker (sub α ) jest ideałem F [ x ]. Ponieważ F [ x ] jest głównym pierścieniem, gdy F jest polem, istnieje co najmniej jeden wielomian w ker (sub α ), który generuje ker (sub α ). Taki wielomian będzie miał najmniejszy stopień spośród wszystkich niezerowych wielomianów w ker (sub α ), a a ( x ) jest uważany za jedyny wśród nich wielomian moniczny.
Wyjątkowość wielomianu monicznego
Załóżmy, że p i q są wielomianami monicznymi w J α o minimalnym stopniu n > 0. Ponieważ p - q ∈ J α i deg ( p - q ) < n wynika, że p - q = 0, czyli p = q .
Nieruchomości
Minimalny wielomian jest nieredukowalny. Niech E / F będzie rozszerzenie ciała przez F , jak wyżej, a- ∈ E i F ∈ F [ x ] minimalne wielomianu dla alfa . Załóżmy, że f = gh , gdzie g , h ∈ F [ x ] mają niższy stopień niż f . Teraz f ( α ) = 0. Ponieważ pola są również domenami całkowitymi , mamy g ( α ) = 0 lub h ( α ) = 0. Jest to sprzeczne z minimalnością stopnia f . Zatem minimalne wielomiany są nieredukowalne.
Przykłady
Minimalny wielomian rozszerzenia pola Galois
Biorąc pod uwagę rozszerzenie pola Galois, minimalny wielomian dowolnego nie w można obliczyć jako
jeśli nie ma stabilizatorów w działaniu Galois. Ponieważ jest nieredukowalny, co można wywnioskować patrząc na pierwiastki , jest to minimalny wielomian. Należy zauważyć, że tego samego rodzaju o wzorze I może być uznane przez zastąpienie w którym jest grupa stabilizator . Na przykład, jeśli to jego stabilizator jest , stąd jego minimalny wielomian.
Kwadratowe rozszerzenia pól
Q ( √ 2 )
Jeśli F = Q , E = R , α = √ 2 , to minimalny wielomian dla α to a ( x ) = x 2 - 2. Pole podstawowe F jest ważne, ponieważ określa możliwości współczynników a ( x ) . Na przykład, jeśli weźmiemy F = R , to minimalny wielomian dla α = √ 2 to a ( x ) = x - √ 2 .
Q ( √ d )
Ogólnie rzecz biorąc, dla kwadratowego rozszerzenia podanego przez kwadrat bez kwadratu obliczenie minimalnego wielomianu elementu można znaleźć za pomocą teorii Galois. Następnie
w szczególności oznacza to i . Można to wykorzystać do określenia za pomocą szeregu relacji za pomocą arytmetyki modularnej .
Rozszerzenia pól dwukwadratowych
Jeśli α = √ 2 + √ 3 , to minimalnym wielomianem w Q [ x ] jest a ( x ) = x 4 - 10 x 2 + 1 = ( x - √ 2 - √ 3 ) ( x + √ 2 - √ 3 ) ( x - √ 2 + √ 3 ) ( x + √ 2 + √ 3 ).
Zwróć uwagę, czy wtedy działanie Galois na stabilizuje się . Stąd minimalny wielomian można znaleźć za pomocą grupy ilorazów .
Korzenie jedności
Minimalne wielomiany w Q [ x ] pierwiastków jedności to wielomiany cyklotomiczne .
Wielomiany Swinnertona-Dyera
Minimalny wielomian w Q [ x ] sumy pierwiastków kwadratowych z pierwszych n liczb pierwszych jest konstruowany analogicznie i nazywany jest wielomianem Swinnertona-Dyera .
Zobacz też
Bibliografia
- Weisstein, Eric W. "Liczby algebraiczne Minimalny wielomian" . MathWorld .
- Minimalny wielomian w PlanetMath .
- Pinter, Charles C. Księga algebry abstrakcyjnej . Dover Books on Mathematics Series. Publikacje Dover, 2010, s. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5 .Linki zewnętrzne