Funkcja arytmetyczna - Arithmetic function

W teorii liczb , co stanowi średnią arytmetyczną , arytmetyczne lub działanie numer teoretycznie jest większość autorów każdy funkcja f ( n ), którego domena jest dodatnie liczby całkowite i którego zakres jest podgrupa o liczbach zespolonych . Hardy i Wright zawierają w swojej definicji wymóg, aby funkcja arytmetyczna „wyrażała pewną właściwość arytmetyczną n ”.

Przykładem funkcji arytmetycznej jest funkcja dzielnika, której wartość przy dodatniej liczbie całkowitej n jest równa liczbie dzielników n .

Istnieje większa klasa funkcji teoretycznych liczb, które nie pasują do powyższej definicji, na przykład funkcje liczące liczby pierwsze . Ten artykuł zawiera łącza do funkcji obu klas.

Funkcje arytmetyczne są często skrajnie nieregularne (patrz tabela ), ale niektóre z nich mają rozwinięcia szeregów w postaci sumy Ramanujana .

Funkcje multiplikatywne i addytywne

Funkcja arytmetyczna a is

• całkowicie addytywne, jeśli a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) dla wszystkich liczb naturalnych m i n ;
• całkowicie multiplikatywna, jeśli a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) dla wszystkich liczb naturalnych m i n ;

Dwie liczby całkowite m i n są nazywane względnie pierwszymi, jeśli ich największym wspólnym dzielnikiem jest 1, to znaczy, jeśli nie ma liczby pierwszej, która dzieli je obie.

Wtedy funkcja arytmetyczna a jest

• dodatek, jeśli a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) dla wszystkich względnie pierwszych liczb naturalnych m i n ;
• multiplikatywna jeśli a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) dla wszystkich względnie pierwszych liczb naturalnych m i n .

Notacja

${\ Displaystyle \ suma _ {p} f (p)}$   i     oznaczają, że suma lub iloczyn jest nad wszystkimi liczbami pierwszymi : ${\ Displaystyle \ prod _ {p} f (p)}$

${\ Displaystyle \ suma _ {p} f (p) = f (2) + f (3) + f (5) + \ cdots }$

${\ Displaystyle \ prod _ {p} f (p) = f (2) f (3) f (5) \ cdots.}$

Podobnie     i     oznacza, że ​​suma lub iloczyn jest ponad wszystkimi potęgami pierwszymi ze ściśle dodatnim wykładnikiem (więc k = 0 nie jest uwzględniony): ${\ Displaystyle \ suma _ {p ^ {k}} f (p ^ {k})}$${\ Displaystyle \ prod _ {p ^ {k}} f (p ^ {k})}$

${\ Displaystyle \ suma _ {p ^ {k}} f (p ^ {k}) = \ suma _ {p} \ suma _ {k> 0} f (p ^ {k}) = f (2) + f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots }$

${\ Displaystyle \ suma _ {d \ mid n} f (d)}$   i     oznaczają, że suma lub iloczyn jest po wszystkich dodatnich dzielnikach n , w tym 1 i n . Na przykład, jeśli n = 12, ${\ Displaystyle \ prod _ {d \ mid n} f (d)}$

${\ Displaystyle \ prod _ {d \ mid 12} f (d) = f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).\}$

Notacje mogą być łączone:     i     oznaczają, że suma lub iloczyn jest ponad wszystkimi dzielnikami pierwszymi n . Na przykład, jeśli n = 18, ${\ Displaystyle \ suma _ {p \ mid n} f (p)}$${\ Displaystyle \ prod _ {p \ mid n} f (p)}$

${\ Displaystyle \ suma _ {p \ mid 18} f (p) = f (2) + f (3), \}$

i podobnie     i     oznaczają, że suma lub iloczyn jest ponad wszystkimi potęgami pierwszymi dzielącymi n . Na przykład, jeśli n = 24, ${\ Displaystyle \ suma _ {p ^ {k} \ mid n} f (p ^ {k})}$${\ Displaystyle \ prod _ {p ^ {k} \ mid n} f (p ^ {k})}$

${\ Displaystyle \ prod _ {p ^ {k} \ mid 24} f (p ^ {k}) = f (2) f (3) f (4) f (8). \}$

Ω( n ), ω ( n ), ν _p ( n ) – rozkład potęgi pierwotnej

Podstawowe twierdzenie arytmetyki państw, że każda liczba całkowita dodatnia n można przedstawić jednoznacznie jako iloczyn potęg liczb pierwszych:     gdzie p ₁ < p ₂ <... < p _k są liczbami pierwszymi i z _j są liczbami całkowitymi dodatnimi. (1 jest podany przez pusty produkt.) ${\ Displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {a_ {k}}}$

Często wygodnie jest napisać to jako iloczyn nieskończony po wszystkich liczbach pierwszych, gdzie wszystkie oprócz skończonej liczby mają wykładnik zerowy. Zdefiniuj wycenę p- adyczną ν _p ( n ) jako wykładnik najwyższej potęgi liczby pierwszej p , która dzieli n . Oznacza to, że jeśli p jest jednym z p _{i ,} to ν _p ( n ) = a _i , w przeciwnym razie wynosi zero. Następnie

${\ Displaystyle n = \ prod _ {p} p ^ {\ nu _ {p} (n)}.}$

W związku z powyższym pierwsze funkcje omega ω i Ω są zdefiniowane przez

ω ( n ) = k ,

Ω( n ) = a ₁ + a ₂ + ... + a _k .

Aby uniknąć powtórzeń, gdy tylko jest to możliwe, formuły funkcji wymienionych w tym artykule są podane w postaci n i odpowiadających im p _i , a _i , ω i Ω.

Funkcje multiplikatywne

σ _k ( n ), τ( n ), d ( n ) – sumy dzielników

σ _k ( n ) jest sumą k-tych potęg dodatnich dzielników n , w tym 1 i n , gdzie k jest liczbą zespoloną.

σ ₁ ( n ) , suma (dodatnich) dzielników n , jest zwykle oznaczana przez σ( n ) .

Ponieważ liczba dodatnia do potęgi zerowej wynosi jeden, σ ₀ ( n ) jest zatem liczbą (dodatnich) dzielników n ; jest zwykle oznaczany przez d ( n ) lub τ( n ) (dla niemieckiego Teilera = dzielniki).

${\ Displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} {\ Frac {p_ {i} ^ {(a_ {i} + 1) k} - 1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i} ^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$

Ustawienie k = 0 w drugim produkcie daje

${\ Displaystyle \ tau (n) = d (n) = (1 + a_ {1}) (1 + a_ {2}) \ cdots (1 + a_ {\ omega (n)}).}$

φ( n ) – funkcja totient Eulera

φ( n ) , funkcja totient Eulera, jest liczbą dodatnich liczb całkowitych nie większych niż n, które są względnie pierwsze od n .

${\ Displaystyle \ varphi (n) = n \ prod _ {p \ mid n} \ lewo (1-{\ Frac {1} {p}} \ prawej) = n \ lewo ({\ Frac {p_ {1} -1}{p_{1}}}\prawo)\lewo({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\prawo)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\prawda).}$

J _k ( n ) – funkcja totient Jordana

J _k ( n ) , funkcjatotientJordana, jest liczbą k -krotek liczb całkowitych dodatnich, wszystkich mniejszych lub równych n, które tworząwzględnie pierwszą( k + 1)-krotkę razem z n . Jest to uogólnienie totient Eulera, φ( n ) = J ₁ ( n ) .

${\ Displaystyle J_ {k} (n) = n ^ {k} \ prod _ {p \ mid n} \ lewo (1-{\ Frac {1} {p ^ {k}}} \ prawej) = n ^ {k}\lewo({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\prawo)\lewo({\frac {p_{2}^{k} -1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)} ^{k}}}\prawo).}$

μ( n ) – funkcja Möbiusa

μ( n ) , funkcja Möbiusa, jest ważna ze względu nawzór inwersji Möbiusa . Zobacz splot Dirichleta poniżej.

${\ Displaystyle \ mu (n) = {\ zacząć {przypadki} (-1) ^ {\ omega (n)} = (-1) ^ {\ Omega (n)} i {\ tekst {jeśli}} \; \omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{przypadki}}}$

Oznacza to, że μ(1) = 1. (Ponieważ Ω(1) = ω(1) = 0.)

τ( n ) – funkcja tau Ramanujana

τ( n ) , funkcja tau Ramanujana, jest zdefiniowana przeztożsamośćjej funkcji generującej :

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 1} \ tau (n) q ^ {n} = q \ prod _ {n \ geq 1} (1-q ^ {n}) ^ {24}.}$

Chociaż trudno jest powiedzieć dokładnie to, co „arytmetyczna własność n ” To „wyraża”, ( τ ( n ) jest (2π) ^-12 razy n th współczynnika Fouriera w q-ekspansji na modułowej dyskryminacyjnej funkcji) jest włączone spośród funkcji arytmetycznych, ponieważ jest multiplikatywną i występuje w identyczności pomiędzy niektórymi Ď _k ( n ) i r, _k ( n funkcji) (ponieważ są również współczynnikami ekspansji w postaci modułowych ).

c _q ( n ) – suma Ramanujana

c _q ( n ) , suma Ramanujan, znajduje sumanpotęg prymitywnegoq-gokorzeni jedności:

${\ Displaystyle c_ {q} (n) = \ suma _ {\ stackrel {1 \ leq a \ leq q} {\ gcd (a, q) = 1}} e ^ {2 \ pi ja {\ tfrac {a }{q}}n}.}$

Mimo że jest ona zdefiniowana jako suma liczb zespolonych (nieracjonalna dla większości wartości q ), jest liczbą całkowitą. Dla ustalonej wartości n jest multiplikatywna w q :

Jeśli q i r są względnie pierwsze , wtedy${\ Displaystyle c_ {q} (n) c_ {r} (n) = c_ {qr} (n).}$

ψ ( n ) - Dedekind funkcja psi

Funkcja Dedekinda psi , używana w teorii funkcji modularnych , jest określona wzorem

${\ Displaystyle \ psi (n) = n \ prod _ {p | n} \ lewo (1+ {\ Frac {1} {p}} \ prawej).}$

Całkowicie multiplikatywne funkcje

λ( n ) – funkcja Liouville

λ ( n ) , funkcja Liouville'a, jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ lambda (n) = (-1) ^ {\ Omega (n)}.}$

χ ( n ) – znaki

Wszystkie znaki Dirichleta χ ( n ) są całkowicie multiplikatywne. Dwie postacie mają specjalne zapisy:

Główną postać (mod n ), jest oznaczona przez × ₀ ( a ) (lub χ ₁ ( )). Jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle \ chi _ {0} (a) = {\ zacząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} \ GCD (a, n) = 1, \ \ 0 i {\ tekst {jeśli}} \ GCD ( a,n)\neq 1.\end{przypadki}}}$

Znak kwadratowy (mod n ) jest oznaczony symbolem Jacobiego dla nieparzystego n (nie jest zdefiniowany dla parzystego n .):

${\ Displaystyle {\ Bigg (}{\ Frac {a} {n}} {\ Bigg}} = \ lewo ({\ Frac {a} {p_ {1}}} \ po prawej) ^ {a_ {1}} \left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right )^{a_{\omega (n)}}.}$

W tym wzorze znajduje się symbol Legendre'a , zdefiniowany dla wszystkich liczb całkowitych a i wszystkich nieparzystych liczb pierwszych p by ${\ Displaystyle ({\ tfrac {a} {p}})}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a} {p}} \ prawej) = {\ zacząć {przypadki} \; \; \, 0 & {\ tekst {jeśli}} a \ równoważne 0 {\ pmod {p} },\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ i dla pewnej liczby całkowitej }}x,\;a\equiv x^{2}{\ pmod {p}}\\-1&{\text{jeśli nie ma takiego }}x.\end{przypadki}}}$

Zgodnie z normalną konwencją dla pustego produktu, ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a} {1}} \ po prawej) = 1.}$

Funkcje dodatkowe

ω ( n ) – odrębne dzielniki pierwsze

ω( n ) , zdefiniowane powyżej jako liczba odrębnych liczb pierwszych dzielących n , jest addytywne (patrz funkcja Prime omega ).

Funkcje całkowicie addytywne

Ω( n ) – dzielniki pierwsze

Ω( n ) , zdefiniowana powyżej jako liczba czynników pierwszych n liczonych z krotnościami, jest całkowicie addytywna (patrz funkcja Prime omega ).

ν _p ( n ) – p -adyczne wartościowanie liczby całkowitej n

Dla ustalonej liczby pierwszej p , ν _p ( n ) , zdefiniowane powyżej jako wykładnik największej potęgi p dzielącej n , jest całkowicie addytywne.

Ani multiplikatywna, ani addytywna

π ( x ), Π( x ), θ ( x ), ψ ( x ) – funkcje zliczania liczb pierwszych

Te ważne funkcje (które nie są funkcjami arytmetycznymi) są zdefiniowane dla nieujemnych argumentów rzeczywistych i są używane w różnych stwierdzeniach i dowodach twierdzenia o liczbach pierwszych . Są to funkcje sumujące (patrz główna sekcja tuż poniżej) funkcji arytmetycznych, które nie są ani multiplikatywne, ani addytywne.

π ( x ) , funkcja zliczania liczb pierwszych, to liczba liczb pierwszych nieprzekraczającychx. Jest to funkcja sumy funkcjicharakterystycznejliczb pierwszych.

${\ Displaystyle \ pi (x) = \ suma _ {p \ leq x} 1}$

Powiązana funkcja liczy potęgi pierwsze o wadze 1 dla liczb pierwszych, 1/2 dla ich kwadratów, 1/3 dla sześcianów... Jest to funkcja sumująca funkcji arytmetycznej, która przyjmuje wartość 1/ k na liczbach całkowitych będących k -ta potęga pewnej liczby pierwszej, a wartość 0 innych liczb całkowitych.

${\ Displaystyle \ Pi (x) = \ suma _ {p ^ {k} \ leq x} {\ Frac {1} {k}}.}$

θ ( x ) i ψ ( x ), funkcje Czebyszewa, są zdefiniowane jako sumy logarytmów naturalnych liczb pierwszych nieprzekraczającychx.

${\ Displaystyle \ vartheta (x) = \ suma _ {p \ leq x} \ log p}$

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ suma _ {p ^ {k} \ równa x} \ log p.}$

Funkcja Czebyszewa ψ ( x ) jest funkcją sumującą funkcji von Mangoldta tuż poniżej.

Λ( n ) – funkcja von Mangoldta

Λ( n ) , funkcja von Mangoldta wynosi 0, chyba że argument n jest potęgą pierwszą p ^k , w którym to przypadku jest to logarytm naturalny liczby pierwszej p :

${\ Displaystyle \ Lambda (n) = {\ zacząć {przypadki} \ log p i {\ tekst {jeśli}} n = 2,3,4,5.7,8,9,11,13,16 \ldots = p^{k}{\text{ jest potęgą pierwszą}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\ ;\;\;{\text{ nie jest potęgą pierwszą}}.\end{cases}}}$

p ( n ) – funkcja partycji

p ( n ) , funkcja podziału, to liczba sposobów przedstawianianjako sumy dodatnich liczb całkowitych, gdzie dwie reprezentacje z tymi samymi sumami w różnym porządku nie są liczone jako różne:

${\ Displaystyle p (n) = | \ lewo \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ kropki a_ {k}): 0 < a_ {1} \ równoważnik a_ {2} \ równoważnik \ cdots \ równoważnik a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}|.}$

λ( n ) – funkcja Carmichaela

λ ( n ) , to funkcja Carmichael najmniejszą liczbę dodatnią tak, że   dla wszystkichjestwzględnie pierwsze dlaN. Równoważnie jest tonajmniejsza wspólna wielokrotnośćrzędów elementówmultiplikatywnej grupy liczb całkowitych modulo n . ${\ Displaystyle a ^ {\ lambda (n)} \ równoważnik 1 {\ pmod {n}}}$

Dla potęg nieparzystych liczb pierwszych oraz dla 2 i 4 λ ( n ) jest równa funkcji totient Eulera n ; dla potęg 2 większych od 4 jest równy połowie funkcji totient Eulera n :

${\ Displaystyle \ lambda (n) = {\ zacząć {przypadki} \; \; \ phi (n) i {\ tekst {jeśli}} n = 2,3,4,5,7,9,11,13, 17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \ koniec{sprawy}}}$

a dla ogólnego n jest to najmniejsza wspólna wielokrotność λ każdego z pierwszych współczynników mocy n :

${\ Displaystyle \ lambda (p_ {1} ^ {a_ {1}} p_ {2} ^ {a_ {2}} \ kropki p_ {\ omega (n)} ^ {a_ {\ omega (n)}}) =\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\ omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}$

h ( n ) – numer klasy

h ( n ) , funkcja numeru klasy, jest rzędemidealnej grupy klasalgebraicznego rozszerzenia wymiernych zdyskryminacją n. Notacja jest niejednoznaczna, ponieważ na ogół istnieje wiele rozszerzeń z tym samym wyróżnikiem. Zobaczpole kwadratoweipolecyklotomicznedla klasycznych przykładów.

r _k ( n ) – Suma k kwadratów

r _k ( n ) to liczba sposobównmoże być reprezentowana jako sumakkwadratów, gdzie reprezentacje różniące się tylko kolejnością sum lub znakami pierwiastków kwadratowych są liczone jako różne.

${\ Displaystyle R_ {k} (n) = | \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ kropki, a_ {k}): n = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|}$

D ( n ) – pochodna arytmetyczna

Używając notacji Heaviside'a dla pochodnej, D ( n ) jest funkcją taką, że

${\ Displaystyle D (n) = 1}$jeśli n liczba pierwsza, i

${\ Displaystyle D (mn) = mD (n) + D (m) n}$( Reguła produktu )

Funkcje sumujące

Dana funkcja arytmetyczna a ( n ), jej funkcja sumowania A ( x ) jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle A (x): = \ suma _ {n \ leq x} a (n).}$

A można traktować jako funkcję zmiennej rzeczywistej. Biorąc pod uwagę dodatnią liczbę całkowitą m , A jest stałe w otwartych przedziałach m < x < m + 1 i ma nieciągłość skoku przy każdej liczbie całkowitej, dla której a ( m ) ≠ 0.

Ponieważ takie funkcje są często reprezentowane przez szeregi i całki, aby osiągnąć zbieżność punktową, zwykle definiuje się wartość na nieciągłościach jako średnią wartości z lewej i prawej strony:

${\ Displaystyle A_ {0} (m): = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ suma _ {n < m} a (n) + \ suma _ {n \ leq m} a (n )\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).}$

Poszczególne wartości funkcji arytmetycznych mogą się gwałtownie zmieniać – jak w większości powyższych przykładów. Funkcje sumujące „wygładzają” te fluktuacje. W niektórych przypadkach może być możliwe znalezienie asymptotycznego zachowania funkcji sumowania dla dużego x .

Klasycznym przykładem tego zjawiska jest przez funkcję dzielnik summatory funkcja sumowanie D ( n ) liczba dzielników n :

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} d (n) = 2}$

${\ Displaystyle \ Limsup _ {n \ do \ infty} {\ Frac {\ log d (n) \ log \ log n} {\ log n}} = \ log 2}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {d (1) + d (2) + \ cdots + d (n)} {\ log (1) + \ log (2) + \ cdots +\log(n)}}=1.}$

Średnia arytmetyczna kolejność funkcji pewne uproszczenie lub lepiej zrozumiałe funkcję, która ma taką samą funkcję sumowania asymptotycznie, a tym samym przyjmuje takie same wartości w „średnie”. Mówimy, że g jest średnia kolejność od f if

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ równoważnik x} f (n) \ sim \ suma _ {n \ równoważnik x} g (n)}$

ponieważ x dąży do nieskończoności. Powyższy przykład pokazuje, że d ( n ) ma średnią logarytmiczną kolejność ( n ).

Splot Dirichleta

Mając daną funkcję arytmetyczną a ( n ), niech F _a ( s ), dla zespolonych s , będzie funkcją określoną przez odpowiedni szereg Dirichleta (gdzie jest zbieżny ):

${\ Displaystyle F_ {a} (s): = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {a (n)} {n ^ {s}}}.}$

M _a ( e ) jest nazywane funkcją tworzącą się w ( n ). Najprostszym takim szeregiem, odpowiadającym stałej funkcji a ( n )=1 dla wszystkich n , jest ς ( s ) funkcja zeta Riemanna .

Funkcja generująca funkcji Möbiusa jest odwrotnością funkcji zeta:

${\ Displaystyle \ zeta (s) \ \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = 1 \; \; {\ mathfrak {R}}\,s>0.}$

Rozważmy dwie funkcje arytmetyczne a i b oraz odpowiadające im funkcje generujące F _a ( s ) i F _b ( s ). Iloczyn F _a ( s ) F _b ( s ) można obliczyć w następujący sposób:

${\ Displaystyle F_ {a} (s) F_ {b} (s) = \ lewo (\ suma _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {a (m)} {m ^ {s}} }\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b(n)}{n^{s}}}\right).}$

Jest to proste ćwiczenie pokazujące, że jeśli c ( n ) jest zdefiniowane przez

${\ Displaystyle c (n): = \ suma _ {ij = n} a (i) b (j) = \ suma _ {i \ średni n} a (i) b \ lewo ({\ Frac {n}) i}}\prawda),}$

następnie

${\ Displaystyle F_ {c} (s) = F_ {a} (s) F_ {b} (s).}$

Funkcja C jest nazywana Dirichlet splotu z i B , i jest oznaczona . ${\displaystyle a*b}$

Szczególnie ważnym przypadkiem jest splot ze stałą funkcją a ( n ) = 1 dla wszystkich n , co odpowiada pomnożeniu funkcji generującej przez funkcję zeta:

${\ Displaystyle g (n) = \ suma _ {d \ średni n} f (d).}$

Mnożenie przez odwrotność funkcji zeta daje wzór inwersji Möbiusa :

${\ Displaystyle f (n) = \ suma _ {d \ mid n} \ mu \ lewo ({\ Frac {n} {d}} \ prawej) g (d).}$

Jeśli f jest mnożnikiem, to g . Jeśli f jest całkowicie multiplikatywne, to g jest multiplikatywne, ale może być lub nie być całkowicie multiplikatywne.

Relacje między funkcjami

Istnieje wiele wzorów łączących funkcje arytmetyczne ze sobą iz funkcjami analizy, zwłaszcza potęgami, pierwiastkami oraz funkcjami wykładniczymi i logarytmicznymi. Tożsamości sumy dzielników stron zawierają wiele bardziej uogólnionych i powiązanych przykładów tożsamości zawierających funkcje arytmetyczne.

Oto kilka przykładów:

Sploty Dirichleta

${\ Displaystyle \ suma _ {\ delta \ mid n} \ mu (\ delta ) = \ suma _ {\ delta \ mid n} \ lambda \ po lewej ({\ frac {n} {\ delta}} \ po prawej) | \mu (\delta )|={\begin{przypadki}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{przypadki}}}$     gdzie λ jest funkcją Liouville'a.

${\ Displaystyle \ suma _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) = n.}$      

${\ Displaystyle \ varphi (n) = \ suma _ {\ delta \ mid n} \ mu \ lewo ({\ Frac {n} {\ delta}} \ prawej) \ delta = n \ suma _ {\ delta \ mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}$       Inwersja Möbiusa

${\ Displaystyle \ suma _ {d \ mid n} J_ {k} (d) = n ^ {k}.}$      

${\ Displaystyle J_ {k} (n) = \ suma _ {\ delta \ mid n} \ mu \ lewo ({\ Frac {n} {\ delta}} \ po prawej) \ delta ^ {k} = n ^ { k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}$       Inwersja Möbiusa

${\ Displaystyle \ suma _ {\ delta \ mid n} \ delta ^ {s} J_ {r} (\ delta) J_ {s} \ po lewej ({\ Frac {n} {\ delta}} \ po prawej) = J_ {r+s}(n)}$      

${\ Displaystyle \ suma _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) d \ lewo ({\ Frac {n} {\ delta}} \ prawej) = \ sigma (n).}$      

${\ Displaystyle \ suma _ {\ delta \ mid n} | \ mu (\ delta) | = 2 ^ {\ omega (n)}.}$      

${\ Displaystyle | \ mu (n) | = \ suma _ {\ delta \ mid n} \ mu \ lewo ({\ Frac {n} {\ delta}} \ prawej) 2 ^ {\ omega (\ delta)} .}$       Inwersja Möbiusa

${\ Displaystyle \ suma _ {\ delta \ mid n} 2 ^ {\ omega (\ delta)} = d (n ^ {2}).}$      

${\ Displaystyle 2 ^ {\ omega (n)} = \ suma _ {\ delta \ mid n} \ mu \ lewo ({\ Frac {n} {\ delta}} \ po prawej) d (\ delta ^ {2} ).}$       Inwersja Möbiusa

${\ Displaystyle \ suma _ {\ delta \ mid n} d (\ delta ^ {2}) = d ^ {2} (n).}$      

${\ Displaystyle d (n ^ {2}) = \ suma _ {\ delta \ mid n} \ mu \ lewo ({\ Frac {n} {\ delta}} \ prawej) d ^ {2} (\ delta) .}$       Inwersja Möbiusa

${\ Displaystyle \ suma _ {\ delta \ mid n} d \ lewo ({\ Frac {n} {\ delta}} \ prawej) 2 ^ {\ omega (\ delta)} = d ^ {2} (n) .}$      

${\ Displaystyle \ suma _ {\ delta \ mid n} \ lambda (\ delta ) = {\ zacząć {przypadki} i 1 {\ tekst {jeśli}} n {\ tekst {jest kwadratem}} \ \ i 0 {\ tekst { if }}n{\text{ nie jest kwadratem.}}\end{przypadki}}}$     gdzie λ jest funkcją Liouville'a .

${\ Displaystyle \ suma _ {\ delta \ mid n} \ Lambda (\ delta) = \ log n.}$      

${\ Displaystyle \ Lambda (n) = \ suma _ {\ delta \ mid n} \ mu \ lewo ({\ Frac {n} {\ delta}} \ po prawej) \ log (\ delta).}$       Inwersja Möbiusa

Sumy kwadratów

Dla wszystkich     ( czterokwadratowe twierdzenie Lagrange'a ). ${\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}$

${\ Displaystyle r_ {2} (n) = 4 \ suma _ {d \ mid n} \ lewo ({\ Frac {-4} {d}} \ po prawej),}$

gdzie symbol Kroneckera ma wartości

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {-4} {n}} \ prawej) = {\ zacząć {przypadki} + 1 i {\ tekst {jeśli}} n \ równoważne 1 {\ pmod {4}} \ \ - 1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ jest parzyste}}.\\\end{ sprawy}}}$

W poniższej sekcji dotyczącej numerów klas znajduje się wzór na r ₃ .

${\ Displaystyle r_ {4} (n) = 8 \ suma _ {\ stackrel {d \ mid n {4 \, \ nmid \, d}} d = 8 (2+ (-1) ^ {n}) \sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ jest nieparzyste }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ jest parzyste }}\end{ sprawy}},}$    

gdzie ν = ν ₂ ( n ) .    

${\ Displaystyle R_ {6} (n) = 16 \ suma _ {d \ mid n} \ chi \ lewo ({\ Frac {n} {d}} \ prawej) d ^ {2}-4 \ suma _ { d\mid n}\chi (d)d^{2},}$

gdzie ${\ Displaystyle \ chi (n) = \ lewo ({\ Frac {-4} {n}} \ prawej).}$

Zdefiniuj funkcję σ _k ^* ( n ) jako

${\ Displaystyle \ sigma _ {k} ^ {*} (n) = (-1) ^ {n} \ suma _ {d \ mid n} (-1) ^ {d} d ^ {k} = {\ begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ jest nieparzyste }}\\\sum _ {\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d ^{k}&{\text{jeśli }}n{\text{ jest parzyste}}.\end{przypadki}}}$

Oznacza to, że jeśli n jest nieparzyste, σ _k ^* ( n ) jest sumą k -tego uprawnień dzielników n , czyli σ _k ( n ), a jeśli n jest nawet jest sumą k th potęgi parzystych dzielników n minus suma k-tych potęg nieparzystych dzielników n .

${\ Displaystyle r_ {8} (n) = 16 \ sigma _ {3} ^ {*} (n).}$    

Przyjęcie konwencji, która Ramanujan za τ ( x ) = 0 , jeżeli x jest nie jest całkowita.

${\ Displaystyle R_ {24} (n) = {\ Frac {16} {691}} \ sigma _ {11} ^ {*} (n) + {\ Frac {128} {691}} \ lewo \ {( -1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}$    

Sploty sumy dzielników

Tutaj „splot” nie oznacza „splot Dirichleta”, ale zamiast tego odnosi się do wzoru na współczynniki iloczynu dwóch szeregów potęgowych :

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} \ po prawej) \ lewo (\ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n }x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j }=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{ni}\right)x^{n}=\sum _ {n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}.}$

Sekwencja jest nazywany splotu lub produkt Cauchy- sekwencji _n i b _n . Wzory te można udowodnić analitycznie (patrz seria Eisensteina ) lub metodami elementarnymi. ${\ Displaystyle c_ {n} = \ suma _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {3} (n) = {\ Frac {1} {5}} \ lewo \ {6n \ sigma _ {1} (n) - \ sigma _ {1} (n) + 12 \ suma _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(nk)\right\}.}$    

${\ Displaystyle \ sigma _ {5} (n) = {\ Frac {1} {21}} \ lewo \ {10 (3n-1) \ sigma _ {3} (n) + \ sigma _ {1} ( n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(nk)\right\}.}$    

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sigma _ {7} (n) i = {\ Frac {1} {20}} \ lewo \ {21 (2n-1) \ sigma _ {5} (n) - \sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(nk)\right\}\\&=\sigma _ {3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(nk).\end{aligned}}}$    

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sigma _ {9} (n) i = {\ Frac {1} {11}} \ lewo \ {10 (3n-2) \ sigma _ {7} (n) + \sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(nk)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3} (k)\sigma _{5}(nk)\right\}.\end{aligned}}}$    

${\ Displaystyle \ tau (n) = {\ Frac {65} {756}} \ sigma _ {11} (n) + {\ Frac {691} {756}} \ sigma _ {5} (n) - { \frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(nk),}$     gdzie τ ( n ) jest funkcją Ramanujana.    

Ponieważ σ _k ( n ) (dla liczby naturalnej k ) i τ ( n ) są liczbami całkowitymi, powyższe wzory można wykorzystać do udowodnienia zgodności funkcji. Zobacz funkcję tau Ramanujan dla kilku przykładów.

Rozszerz domenę funkcji partycji ustawiając p (0) = 1.

${\ Displaystyle p (n) = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} \ sigma (k) p (nk).}$       Ten cykl może służyć do obliczania p ( n ).

Powiązane z numerem klasy

Peter Gustav Lejeune Dirichlet odkrył formuł, które odnoszą się numer klasy h z kwadratowych pól numerycznych symbolu Jacobiego.

Liczba całkowita D nazywana jest wyróżnikiem podstawowym, jeśli jest wyróżnikiem kwadratowego pola liczbowego. Jest to równoważne D ≠ 1 i albo a) D jest bezkwadratowe i D ≡ 1 (mod 4) lub b) D ≡ 0 (mod 4), D /4 jest bezkwadratowe i D /4 ≡ 2 lub 3 (mod 4 ).

Rozszerz symbol Jacobiego, aby zaakceptować liczby parzyste w „mianowniku”, definiując symbol Kroneckera :

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a} {2}} \ prawej) = {\ zacząć {przypadki} \; \; \, 0 & {\ tekst {jeśli}} a {\ tekst {jest parzysty}} \ \(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ jeśli }}a{\text{ jest nieparzyste. }}\end{przypadki}}}$

Wtedy jeśli D < -4 jest fundamentalnym wyróżnikiem

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} h (D) i = {\ Frac {1} {D}} \ suma _ {R = 1} ^ {| D |} r \ lewo ({\ Frac {D}} r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D| /2}\lewo({\frac {D}{r}}\prawo).\end{wyrównany}}}$

Istnieje również wzór odnoszący się do r ₃ i h . Ponownie, niech D będzie fundamentalnym wyróżnikiem, D < -4. Następnie

${\ Displaystyle R_ {3}(| D |) = 12 \ lewo (1-\ lewo ({\ Frac {D} {2}} \ po prawej) \ po prawej) h (D).}$

Związane z liczbą pierwszych

Niech   będzie n- tą liczbą harmoniczną . Następnie ${\ Displaystyle H_ {n} = 1 + {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {3}} + \ cdots + {\ Frac {1} {n}}}$

${\ Displaystyle \ sigma (n) \ leq H_ {n} + e ^ {H_ {n}} \ log H_ {n}}$   jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n wtedy i tylko wtedy, gdy hipoteza Riemanna jest prawdziwa.    

Hipoteza Riemanna jest również równoważna stwierdzeniu, że dla wszystkich n > 5040,

${\ Displaystyle \ sigma (n) <e ^ {\ gamma} n \ log \ log n}$     (gdzie γ jest stałą Eulera-Mascheroni ). To jest twierdzenie Robina .

${\ Displaystyle \ suma _ {p} \ nu _ {p} (n) = \ Omega (n).}$

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ suma _ {n \ leq x} \ Lambda (n).}$    

${\ Displaystyle \ Pi (x) = \ suma _ {n \ leq x} {\ Frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}$    

${\ Displaystyle e ^ {\ theta (x)} = \ prod _ {p \ leq x} p.}$    

${\ Displaystyle e ^ {\ psi (x)} = \ nazwa operatora {lcm} [1,2, \ kropki, \ l piętro x \ r piętro].}$    

Tożsamość Menona

W 1965 r. udowodnił P Kesava Menon

${\ Displaystyle \ suma _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} \ gcd (k-1, n) = \ varphi (n) d (n). }$

Zostało to uogólnione przez wielu matematyków. Na przykład,

B. Sury

${\ Displaystyle \ suma _ {\ stos {1 \ równoważnik k_ {1}, k_ {2}, \ kropki, k_ {s} \ równoważnik n} {\ gcd (k_ {1}, n) = 1}} \ gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}$

N. Rao

${\ Displaystyle \ suma _ {\ stos {1 \ równoważnik k_ {1}, k_ {2}, \ kropki, k_ {s} \ równoważnik n} {\ gcd (k_ {1}, k_ {2}, \ kropki) ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n) ^{s}=J_{s}(n)d(n),}$

gdzie a ₁ , a ₂ , ..., a _s są liczbami całkowitymi, gcd( a ₁ , a ₂ , ..., a _s , n ) = 1.

László Fejes Tóth

${\ Displaystyle \ suma _ {\ stackrel {1 \ równoważnik k \ równoważnik m} {\ GCD (k, m) = 1}} \ GCD (k ^ {2}-1, m_ {1}) \ GCD (k ^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\ varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}$

gdzie m ₁ i m ₂ są nieparzyste, m = lcm( m ₁ , m ₂ ).

W rzeczywistości, jeśli f jest dowolną funkcją arytmetyczną

${\ Displaystyle \ suma _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} f (\ gcd (k-1, n)) = \ varphi (n) \ suma _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}$

gdzie * oznacza splot Dirichleta.

Różnorodny

Niech m i n będą różne, nieparzyste i dodatnie. Wtedy symbol Jacobiego spełnia prawo kwadratowej wzajemności :

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {m} {n}} \ po prawej) \ po lewej ({\ Frac {n} {m}} \ po prawej) = (-1) ^ {(m-1) (n- 1)/4}.}$    

Niech D ( n ) będzie pochodną arytmetyczną. Następnie pochodna logarytmiczna

${\ Displaystyle {\ Frac {D (n)} {n}} = \ suma _ {\ stackrel {p \ mid n} {p {\ tekst {prim}}}} {\ Frac {v_ {p} (n )}{P}}}$

Niech λ ( n ) będzie funkcją Liouville'a. Następnie

${\ Displaystyle | \ lambda (n) | \ mu (n) = \ lambda (n) | \ mu (n) | = \ mu (n)}$     oraz

${\ Displaystyle \ lambda (n) \ mu (n) = | \ mu (n) | = \ mu ^ {2} (n).}$    

Niech λ ( n ) będzie funkcją Carmichaela. Następnie

${\ Displaystyle \ lambda (n) \ mid \ phi (n).}$     Dalej,

${\ Displaystyle \ lambda (n) = \ phi (n) {\ tekst {jeśli i tylko wtedy, gdy}} n = {\ zacząć {przypadki} 1,2, 4; \ \ 3,5, 7, 9, 11, \ldots {\text{ (czyli }}p^{k}{\text{, gdzie }}p{\text{ jest nieparzystą liczbą pierwszą)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (czyli }}2p^{k}{\text{, gdzie }}p{\text{ jest nieparzystą liczbą pierwszą)}}.\end{cases}}}$

Zobacz Multiplikatywna grupa liczb całkowitych modulo n i Pierwiastek pierwotny modulo n .  

${\ Displaystyle 2 ^ {\ omega (n)} \ równoważnik d (n) \ równoważnik 2 ^ {\ omega (n)}.}$    

${\ Displaystyle {\ Frac {6} {\ pi ^ {2}}} < {\ Frac {\ phi (n) \ sigma (n)} {n ^ {2}}} <1.}$    

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} c_ {q} (n) i = {\ Frac {\ mu \ lewo ({\ Frac {q} {\ GCD (q, n)}} \ prawej)} {\ phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\ mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{wyrównany}}}$         Zauważ, że  ${\ Displaystyle \ phi (q) = \ suma _ {\ delta \ mid q} \ mu \ lewo ({\ Frac {q} {\ delta}} \ prawej) \ delta.}$    

${\ Displaystyle c_ {q} (1) = \ mu (q).}$

${\ Displaystyle c_ {q} (q) = \ phi (q).}$

${\ Displaystyle \ suma _ {\ delta \ mid n} d ^ {3} (\ delta ) = \ lewo (\ suma _ {\ delta \ mid n} d (\ delta) \ po prawej) ^ {2}.}$       Porównaj to z 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²

${\ Displaystyle d (uv) = \ suma _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ mu (\ delta) d \ lewo ({\ Frac {u} {\ delta}} \ prawej) d \ w lewo({\frac {v}{\delta }}\w prawo).}$    

${\ Displaystyle \ sigma _ {k} (u) \ sigma _ {k} (v) = \ suma _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^ {k} \ sigma _ {k} \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\prawo).}$    

${\ Displaystyle \ tau (u) \ tau (v) = \ suma _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^ {11} \ tau \ lewo ({\ Frac {uv} {\ delta ^{2}}}\prawda),}$     gdzie τ ( n ) jest funkcją Ramanujana.    

Pierwsze 100 wartości niektórych funkcji arytmetycznych

n	faktoryzacja	( n )	ω ( n )	Ω( n )	( n )	( n )	( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	σ 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	-1	-1	0,69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	-1	-1	1.10	2	2	4	10	0	8	32
4	2 2	2	1	2	1	0	0,69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	-1	-1	1,61	3	2	6	26	8	24	48
6	2 · 3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	-1	-1	1,95	4	2	8	50	0	0	64
8	2 3	4	1	3	-1	0	0,69	4	4	15	85	4	12	24
9	3 2	6	1	2	1	0	1.10	4	3	13	91	4	30	104
10	2 · 5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	-1	-1	2,40	5	2	12	122	0	24	96
12	2 2 · 3	4	2	3	-1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	-1	-1	2,56	6	2	14	170	8	24	112
14	2 · 7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3 · 5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
16	2 4	8	1	4	1	0	0,69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	16	1	1	-1	-1	2.83	7	2	18	290	8	48	144
18	2 · 3 2	6	2	3	-1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	-1	-1	2,94	8	2	20	362	0	24	160
20	2 2 · 5	8	2	3	-1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3 · 7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	-1	-1	3,14	9	2	24	530	0	0	192
24	2 3 · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	5 2	20	1	2	1	0	1,61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	3 3	18	1	3	-1	0	1.10	9	4	40	820	0	32	320
28	2 2 · 7	12	2	3	-1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	-1	-1	3,37	10	2	30	842	8	72	240
30	2 · 3 · 5	8	3	3	-1	-1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	-1	-1	3,43	11	2	32	962	0	0	256
32	2 5	16	1	5	-1	0	0,69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2 · 17	16	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5 · 7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	2 2 · 3 2	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	-1	-1	3,61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	2 3 · 5	16	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	-1	-1	3,71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	-1	-1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	-1	-1	3,76	14	2	44	1850	0	24	352
44	2 2 · 11	20	2	3	-1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	3 2 · 5	24	2	3	-1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2 · 23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	-1	-1	3,85	15	2	48	2210	0	0	384
48	2 4 · 3	16	2	5	-1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	7 2	42	1	2	1	0	1,95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2 · 5 2	20	2	3	-1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3 · 17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	2 2 · 13	24	2	3	-1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	-1	-1	3,97	16	2	54	2810	8	72	432
54	2 · 3 3	18	2	4	1	0	0	16	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	16	4	72	3172	0	0	576
56	2 3 · 7	24	2	4	1	0	0	16	8	120	4250	0	48	192
57	3 · 19	36	2	2	1	1	0	16	4	80	3620	0	48	640
58	2 · 29	28	2	2	1	1	0	16	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	-1	-1	4,08	17	2	60	3482	0	72	480
60	2 2 · 3 · 5	16	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	-1	-1	4.11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2 · 31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	3 2 · 7	36	2	3	-1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	2 6	32	1	6	1	0	0,69	18	7	127	5461	4	6	24
65	5 · 13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	16	96	672
66	2 · 3 · 11	20	3	3	-1	-1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	-1	-1	4.20	19	2	68	4490	0	24	544
68	2 2 · 17	32	2	3	-1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3 · 23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2 · 5 · 7	24	3	3	-1	-1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	-1	-1	4.26	20	2	72	5042	0	0	576
72	2 3 · 3 2	24	2	5	-1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	-1	-1	4.29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2 · 37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3 · 5 2	40	2	3	-1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	2 2 · 19	36	2	3	-1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7 · 11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2 · 3 · 13	24	3	3	-1	-1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	-1	-1	4,37	22	2	80	6242	0	0	640
80	2 4 · 5	32	2	5	-1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	3 4	54	1	4	1	0	1.10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2 · 41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	-1	-1	4,42	23	2	84	6890	0	72	672
84	2 2 · 3 · 7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5 · 17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	16	48	864
86	2 · 43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3 · 29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	2 3 · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	-1	-1	4,49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 · 3 2 · 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7 · 13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	2 2 · 23	44	2	3	-1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3 · 31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2 · 47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5 · 19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	2 5 · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	-1	-1	4,57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 · 7 2	42	2	3	-1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	3 2 · 11	60	2	3	-1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	2 2 · 5 2	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744
n	faktoryzacja	( n )	ω ( n )	Ω( n )	( n )	( n )	( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	σ 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )

Uwagi

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976), Wprowadzenie do teorii liczb analitycznych , Springer Undergraduate Texts in Mathematics , ISBN 0-387-90163-9
• Apostol, Tom M. (1989), Funkcje modułowe i seria Dirichleta w teorii liczb (wydanie 2) , New York: Springer, ISBN 0-387-97127-0
• Bateman, Paul T .; Diamond, Harold G. (2004), Analityczna teoria liczb, wprowadzenie , World Scientific , ISBN 978-981-238-938-1
• Cohen, Henri (1993), Kurs komputerowej teorii liczb algebraicznych , Berlin: Springer , ISBN 3-540-55640-0
• Edwards, Harold (1977). Wielkie Twierdzenie Fermata . Nowy Jork: Springer . Numer ISBN 0-387-90230-9.
• Hardy, GH (1999), Ramanujan: Dwanaście wykładów na tematy sugerowane przez jego życie i pracę , Providence RI: AMS / Chelsea, hdl : 10115/1436 , ISBN 978-0-8218-2023-0
• Hardy, GH ; Wright, EM (1979) [1938]. Wprowadzenie do teorii liczb (wyd. 5). Oxford: Clarendon Press. Numer ISBN 0-19-853171-0. MR  0568909 . Zbl  0423.10001 .
• Jameson, GJO (2003), Twierdzenie o liczbach pierwszych , Cambridge University Press, ISBN 0-521-89110-8
• Koblitz, Neal (1984), Wprowadzenie do krzywych eliptycznych i form modułowych , New York: Springer, ISBN 0-387-97966-2
• Landau, Edmund (1966), Elementarna teoria liczb , New York: Chelsea
• William J. LeVeque (1996), Podstawy teorii liczb , Courier Dover Publications, ISBN 0-486-68906-9
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Wprowadzenie do teorii liczb (2nd ed.), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77-171950
• Elliott Mendelson (1987), Wprowadzenie do logiki matematycznej , CRC Press, ISBN 0-412-80830-7
• Nagell, Trygve (1964), Wprowadzenie do teorii liczb (2nd Edition) , Chelsea, ISBN 978-0-8218-2833-5
• Niven, Iwan M .; Zuckerman, Herbert S. (1972), Wprowadzenie do teorii liczb (wydanie 3) , John Wiley & Sons , ISBN 0-471-64154-5
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elementy teorii liczb , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN  77-81766
• Ramanujan, Srinivasa (2000), Zebrane dokumenty , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Williams, Kenneth S. (2011), Teoria liczb w duchu Liouville , London Mathematical Society Student Texts, 76 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-17562-3, Zbl  1227.11002

Dalsza lektura

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994), Funkcje arytmetyczne. Wprowadzenie do elementarnych i analitycznych właściwości funkcji arytmetycznych i niektórych ich prawie okresowych właściwości , London Mathematical Society Lecture Note Series, 184 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-42725-8, Zbl  0807.11001

Zewnętrzne linki

• „Funkcja arytmetyczna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Kolejne uogólnienie funkcji Totient Eulera
• Huard, Ou, Spearman i Williams. Elementarna ocena pewnych sum splotu obejmujących funkcje dzielnika
• Dineva, Rosica, Euler Totient, Möbius i funkcje dzielnika
• László Tóth, Tożsamość Menona i sumy arytmetyczne reprezentujące funkcje kilku zmiennych