Formuła sznurowadła - Shoelace formula

Wzór sznurowadło lub algorytm sznurowadła (znany również jako wzoru obszar Gaussa i przez wzorze mierniczego ) jest matematycznym algorytmem , aby określić powierzchnię o prostym wieloboku , którego wierzchołki są opisane przez współrzędnych prostokątnych w płaszczyźnie. Użytkownik mnoży krzyżowo odpowiednie współrzędne, aby znaleźć obszar obejmujący wielokąt , i odejmuje go od otaczającego wielokąta, aby znaleźć obszar wielokąta wewnątrz. Nazywa się to wzorem na sznurowadła ze względu na stałe mnożenie krzyżowe dla współrzędnych tworzących wielokąt, jak nawlekanie sznurowadeł. Bywa też nazywana metodą sznurowadła . Ma zastosowanie m.in. w geodezji i leśnictwie.

Formuła została opisana przez Albrechta Ludwiga Friedricha Meistera (1724-1788) w 1769 roku i przez Carla Friedricha Gaussa w 1795 roku. Można ją zweryfikować dzieląc wielokąt na trójkąty i można ją uznać za szczególny przypadek twierdzenia Greena .

Wzór na pole otrzymuje się, biorąc każdą krawędź AB i obliczając pole trójkąta ABO z wierzchołkiem na początku O , biorąc iloczyn krzyżowy (który daje pole równoległoboku ) i dzieląc przez 2. wielokąt, te trójkąty z dodatnim i ujemnym obszarem nałożą się na siebie, a obszary między początkiem a wielokątem zostaną usunięte i zsumowane do 0, podczas gdy pozostanie tylko obszar wewnątrz trójkąta odniesienia. Dlatego formuła ta nazywana jest formułą geodety, ponieważ „inspektor” jest na początku; jeśli idziesz w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, obszar dodatni jest dodawany przy przechodzeniu od lewej do prawej, a obszar ujemny jest dodawany przy przechodzeniu od prawej do lewej, z perspektywy początku.

Formuła powierzchni może być również zastosowana do nakładających się wielokątów, ponieważ znaczenie pola jest nadal jasne, mimo że nakładające się wielokąty nie są generalnie proste . Co więcej, wielokąt nakładający się na siebie może mieć wiele „interpretacji”, ale wzór Shoelace może być użyty do wykazania, że ​​powierzchnia wielokąta jest taka sama niezależnie od interpretacji.

Oświadczenie

Formuła może być reprezentowana przez wyrażenie

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {A} i = {1 \ ponad 2} \ lewo | \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n-1} x_ {i} y_ {i + 1}\right)+x_{n}y_{1}-\left(\sum _{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_{i}\right)-x_{1} y_{n}\right|\\[4pt]&={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots +x_{n-1}y_{ n}+x_{n}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\cdots -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{ n}|\end{wyrównany}}}$

gdzie

• A to powierzchnia wielokąta,
• n to liczba boków wielokąta, a
• ( x _i ,  y _i ), i  = 1, 2, ...,  n są uporządkowanymi wierzchołkami (lub "rogami") wielokąta.

Alternatywnie

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {A} & = {1 \ ponad 2} \ lewo | \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} (y_ {i + 1} -y_ {i-1})\right|={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i+1}-x_{i-1}) \right|={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\right |\\[5pt]&={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i+1}+x_{i})(y_{i+1}- y_{i})\right|={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\ y_{i}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right|\end{aligned}}}$

gdzie x _{n +1} = x ₁ i x ₀ = x _n , a także y _{n +1} = y ₁ i y ₀ = y _n .

Jeżeli punkty są oznaczone sekwencyjnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to suma powyższych wyznaczników jest dodatnia, a znaki wartości bezwzględnej można pominąć; jeśli są oznaczone zgodnie z ruchem wskazówek zegara, suma wyznaczników będzie ujemna. Dzieje się tak, ponieważ formuła może być postrzegana jako szczególny przypadek twierdzenia Greena .

Szczególnie zwięzłe stwierdzenie wzoru można podać w terminach algebry zewnętrznej . Jeżeli są kolejnymi wierzchołkami wielokąta (traktowanymi jako wektory na płaszczyźnie kartezjańskiej) to ${\displaystyle v_{1},\kropki,v_{n}}$

${\ Displaystyle A = {\ Frac {1} {2}} \ cdot \ lewo | \ suma _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} \ klin V_ {i + 1} \ prawo |.}$

Dowody

Dowód na trójkąt

Odnosząc się do rysunku, niech będzie pole trójkąta, którego wierzchołki są podane przez współrzędne i Narysuj prostokąt o minimalnej powierzchni wokół trójkąta, tak aby jego boki były równoległe do osi lub . Co najmniej jeden wierzchołek trójkąta będzie znajdować się w rogu prostokąta. Na rysunku, pola trzech otaczających trójkątów są i Oczywiście są równe polu prostokąta (nazwijmy go ) minus pola pozostałych trzech trójkątów: ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),}$${\displaystyle (x_{3},y_{3}).}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle \ mathbf {C} , \ mathbf {D} ,}$${\ Displaystyle \ mathbf {E}.}$${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} }$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = \ mathbf {R} - \ mathbf {C} - \ mathbf {D} - \ mathbf {E}}$

Przyglądając się figurze można zauważyć, że obszary są podane przez

${\displaystyle \mathbf {R} =(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})=(x_{3}y_{1}+x_{2}y_{3}) )-(x_{3}y_{3}+x_{2}y_{1})}$

${\ Displaystyle - \ mathbf {C} =- {\ Frac {1} {2}} (x_ {3}-x_ {2}) (y_ {2}-y_ {3}) = {\ Frac {1} {2}}(-x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3})+{\frac {1}{2}}(x_{3}y_{3}+x_{2}y_ {2})}$

${\ Displaystyle - \ mathbf {D} =- {\ Frac {1} {2}} (x_ {3}-x_ {1}) (y_ {1}-y_ {3}) = {\ Frac {1} {2}}(-x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})+{\frac {1}{2}}(x_{3}y_{3}+x_{1}y_ {1})}$

${\ Displaystyle - \ mathbf {E} =- {\ Frac {1} {2}} (x_ {1}-x_ {2}) (y_ {1}-y_ {2}) = {\ Frac {1} {2}}(-x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2})+{\frac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_ {1})}$

Zbieranie terminów i przestawianie plonów

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{2}}((x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})-(x_{1}y_{3}- x_{3}y_{1})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}))}$

co można zapisać jako wyznacznik

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ Frac {1} {2}} {\ zacząć {vmatrix} 1 i 1 i 1 \ \ x_ {1} i x_ {2} i x_ {3} \ \ y_ {1} i y_ {2} &y_{3}\end{vmatrix}}}$

Jeśli współrzędne zostaną zapisane w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara, wartość wyznacznika będzie ${\displaystyle -\mathbf {A}.}$

Zmiana układu w inny sposób

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ Frac {1} {2}} | x_ {1}y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1}-x_ {2 }y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|}$

która jest formą formuły sznurowadła. Ten wzór można rozszerzyć, aby znaleźć pole dowolnego wielokąta, ponieważ prosty wielokąt można podzielić na trójkąty.

Dowód dla czworoboku i wielokąta ogólnego

Znalezienie pola czworokąta pokazuje, w jaki sposób wzór na sznurowadło można uogólnić na dowolny wielokąt, dzieląc wielokąt na trójkąty. Rozważmy figurę czworoboku, którego współrzędne są oznaczone w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara. Czworokąt jest podzielony na dwa trójkąty z obszarami i Używając wzoru trójkąta na każdym trójkącie, który otrzymujemy ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} .}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2 }y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} = {\ Frac {1} {2}} (x_ {1}y_ {3} + x_ {3} y_ {4} + x_ {4} y_ {1}-x_ {3 }y_{1}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4})}$

Ponieważ oba trójkąty zostały prześledzone w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, oba obszary są dodatnie i otrzymujemy obszar czworoboku przez dodanie dwóch obszarów. Ostatni dodatni wyraz i ostatni ujemny wyraz anulowania z pierwszym dodatnim wyrazem i pierwszym ujemnym wyrazem dawania ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} }$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ tekst {cz.}} = {\ Frac {1} {2}} (x_ {1}y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3 }y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4} ).}$

Przykłady

Użytkownik musi znać punkty wielokąta na płaszczyźnie kartezjańskiej. Na przykład weź trójkąt o współrzędnych {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Weź pierwszą współrzędną x i pomnóż ją przez drugą wartość y , następnie weź drugą współrzędną x i pomnóż ją przez trzecią wartość y i powtarzaj tyle razy, aż zostanie to zrobione dla wszystkich żądanych punktów. Można to przedstawić za pomocą następującego wzoru:

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ tekst {tri.}} = {1 \ ponad 2} | x_ {1}y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1 }-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|}$

dla x _i i y _i reprezentujących każdą odpowiednią współrzędną. Ten wzór jest po prostu rozwinięciem tych podanych powyżej dla przypadku n = 3. Używając go, można stwierdzić, że pole trójkąta jest równe połowie wartości bezwzględnej 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, co wynosi 3. Liczba zmiennych zależy od liczby boków wielokąta . Na przykład pięciokąt zostanie zdefiniowany do x ₅ i y ₅ :

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ tekst {pent.}} = {1 \ ponad 2} | x_ {1}y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {4 }+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5 }y_{4}-x_{1}y_{5}|}$

a czworokąt zostanie określony do x ₄ i y ₄ :

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ tekst {cz.}} = {1 \ ponad 2} | x_ {1}y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {4 }+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4}|.}$

Bardziej złożony przykład

Rozważmy wielokąt określony przez punkty (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5) i (5, 6), jak pokazano na diagramie.

Powierzchnia tego wielokąta to:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {A} & = {1 \ ponad 2} \ {\ duży |} 3 \ razy 11 + 5 \ razy 8 + 12 \ razy 5 + 9 \ razy 6 + 5 \times 4\\&{}\qquad {}-4\times 5-11\times 12-8\times 9-5\times 5-6\times 3{\big |}\\[10pt]&={ 60 \over 2}=30.\end{wyrównany}}}$

Etymologia

Powodem, dla którego ta formuła jest nazywana formułą sznurowadła, jest powszechna metoda używana do jej oceny. Ta metoda wykorzystuje macierze . Jako przykład wybierz trójkąt z wierzchołkami (2, 4), (3, -8) i (1, 2). Następnie skonstruuj następującą macierz, „obchodząc” trójkąt i kończąc na punkcie początkowym.

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 2 i 4 \ \ 3 i 8 \ \ 1 i 2 \ \ 2 i 4 \ koniec {bmatrix}}}$

Najpierw narysuj po przekątnej w dół i w prawo ukośniki (jak pokazano poniżej),

  

i pomnóż dwie liczby połączone każdym ukośnikiem, a następnie dodaj wszystkie iloczyny: (2 × -8) + (3 × 2) + (1 × 4) = -6. Zrób to samo z ukośnikami ukośnie w dół i w lewo (pokazane poniżej z ukośnikami skierowanymi w dół):

  

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Następnie weź bezwzględną różnicę tych dwóch liczb: |(−6) − (8)| = 14. Dzielenie tego na pół daje pole trójkąta: 7. Takie uporządkowanie liczb ułatwia przypomnienie i ocenę wzoru. Ze wszystkimi narysowanymi ukośnikami matryca luźno przypomina but z zawiązanymi sznurowadłami, stąd nazwa algorytmu.

Uogólnienie

W wyższych wymiarach pole wielokąta można obliczyć z jego wierzchołków za pomocą zewnętrznej postaci algebry wzoru Shoelace (np. w 3d suma kolejnych iloczynów krzyżowych ):

(gdy wierzchołki nie są współpłaszczyznowe, obliczany jest obszar wektora zawarty w pętli, tj. rzutowany obszar lub "cień" w płaszczyźnie, w której jest największy).

To sformułowanie można również uogólnić, aby obliczyć objętość n-wymiarowego politopu na podstawie współrzędnych jego wierzchołków, a dokładniej, na podstawie siatki hiperpowierzchniowej . Na przykład, objętość 3-wymiarowej wielościanu można znaleźć triangulacji jego powierzchnia z siatki i sumowanie podpisane ilości z czworościanów utworzoną przez każde z powierzchni trójkąta i pochodzenia:

gdzie suma jest nad ścianami i należy zachować ostrożność, aby uporządkować wierzchołki konsekwentnie (wszystkie zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, patrząc z zewnątrz wielościanu). Alternatywnie wyrażenie w kategoriach powierzchni twarzy i normalnych powierzchni może być wyprowadzone przy użyciu twierdzenia o dywergencji (patrz Wielościan § Tom ).

Zobacz też

• Planimetr
• Twierdzenie Picka
• Formuła Herona

Zewnętrzne linki

• Film Mathologa o formule sznurowadła Gaussa

Bibliografia