Jednolita zbieżność - Uniform convergence

W matematycznej zakresie analiz , zbieżność jest tryb z zbieżności funkcji silniejsze niż zbieżności punktowej . Sekwencja o funkcji zbieżny równomiernie do ograniczającej funkcji w zestawie jeżeli ze względu dowolnie mała liczba dodatnia , numer znajduje się tak, że każda z funkcji różnią się o nie więcej niż w każdym punkcie w . Opisany w sposób nieformalny, jeśli zbiega się jednostajnie, to szybkość, z jaką podejścia są „jednolite” w całej swojej dziedzinie w następującym sensie: aby zagwarantować, że mieści się w pewnej odległości od , nie musimy znać wartości w pytaniu — można znaleźć pojedynczą wartość niezależny od , taką, że wybór zapewni, że jest w zakresie dla wszystkich . W przeciwieństwie do tego, punktowa zbieżność z to jedynie gwarantuje, że dla dowolnego podanego z góry możemy znaleźć ( może zależeć od wartości ) tak, że dla tego konkretnego , mieści się w zakresie kiedykolwiek . ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle \epsilon}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle f_ {N}, f_ {N + 1}, f_ {N + 2}, \ ldots}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \epsilon}$ ${\displaystyle x}$ ${\ Displaystyle E}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f_ {n} (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle f_ {n} (x)}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\w e}$${\ Displaystyle N = N (\ epsilon )}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle n\geq n}$${\ Displaystyle f_ {n} (x)}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\w e}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\w e}$${\ Displaystyle N = N (\ epsilon , x)}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\ Displaystyle f_ {n} (x)}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n\geq n}$

Różnica między zbieżnością jednostajną a zbieżnością punktową nie była w pełni doceniana na początku historii rachunku różniczkowego, co prowadziło do przypadków błędnego rozumowania. Pojęcie, które po raz pierwszy sformalizował Karl Weierstrass , jest ważne, ponieważ kilka własności funkcji , takich jak ciągłość , całkowalność Riemanna , oraz, wraz z dodatkowymi hipotezami, różniczkowalność , przenosi się do granicy, jeśli zbieżność jest jednostajna, ale niekoniecznie, jeśli konwergencja nie jest jednolita. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Historia

W 1821 Augustin-Louis Cauchy opublikował dowód, że zbieżna suma funkcji ciągłych jest zawsze ciągła, na co Niels Henrik Abel w 1826 r. znalazł rzekome kontrprzykłady w kontekście szeregu Fouriera , argumentując, że dowód Cauchy'ego musiał być błędny. Całkowicie standardowe pojęcia zbieżności nie istniały w tym czasie, a Cauchy zajmował się konwergencją przy użyciu nieskończenie małych metod. We współczesnym języku Cauchy udowodnił, że jednostajnie zbieżny ciąg funkcji ciągłych ma ciągłą granicę. Brak zbieżności jedynie punktowej zbieżności funkcji ciągłych do funkcji ciągłej ilustruje znaczenie rozróżniania różnych typów zbieżności podczas obsługi sekwencji funkcji.

Określenie zbieżności prawdopodobnie po raz pierwszy użyty przez Christopha Gudermann , w 1838 papieru na funkcje eliptyczne , gdzie zatrudnionych wyrażenie „konwergencji w sposób jednolity”, gdy „Tryb zbieżności” serii jest niezależna od zmiennych i podczas gdy on uważał, że to „niezwykły fakt”, że szeregi zbiegają się w ten sposób, nie podał formalnej definicji ani nie użył tej własności w żadnym ze swoich dowodów. ${\ Displaystyle \ textstyle {\ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n} (x \ phi \ psi)}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi.}$

Później uczeń Gudermann za Karla Weierstrassa , którzy uczestniczyli w jego kurs na funkcje eliptyczne w latach 1839-1840, ukuł termin gleichmäßig konvergent ( German : zbieżny ), który użył w swoim 1841 papier Zur Theorie der Potenzreihen , opublikowanej w 1894 roku Niezależnie, podobne koncepcje były wyartykułowane przez Philippa Ludwiga von Seidela i George'a Gabriela Stokesa . GH Hardy porównuje trzy definicje w swoim artykule „Sir George Stokes i koncepcja jednolitej konwergencji” i zauważa: „Odkrycie Weierstrassa było najwcześniejsze i tylko on w pełni zdawał sobie sprawę z jego dalekosiężnego znaczenia jako jednej z fundamentalnych idei analizy”.

Pod wpływem Weierstrassa i Bernharda Riemanna ta koncepcja i związane z nią kwestie były intensywnie badane pod koniec XIX wieku przez Hermanna Hankela , Paula du Bois-Reymonda , Ulisse Diniego , Cesare Arzelà i innych.

Definicja

Najpierw definiujemy jednorodną zbieżność dla funkcji o wartościach rzeczywistych , chociaż pojęcie to można łatwo uogólnić na funkcje mapujące na przestrzenie metryczne i, bardziej ogólnie, jednolite przestrzenie (patrz poniżej ).

Załóżmy, że jest zbiorem i sekwencją funkcji o wartościach rzeczywistych. Mówimy, że ciąg jest jednostajnie zbieżny na granicy, jeśli dla każdego istnieje liczba naturalna taka, że ​​dla wszystkich i${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle f: E \ do \ mathbb {R} }$${\displaystyle \epsilon>0}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle n\geq n}$${\displaystyle x\w e}$

${\ Displaystyle | f_ {n} (x) - f (x) | <\ epsilon.}$

Notacja jednolitej zbieżności to nie jest do końca ustandaryzowana, a różni autorzy używali różnych symboli, w tym (w mniej więcej malejącej kolejności popularności): ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f \ quad {\ underset {n \ do \ infty} {\ operatorname {unif \ lim}}} f_ {n} = f, \ quad f_ {n} {\ overset { \mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f.}$

Często nie stosuje się żadnego specjalnego symbolu, a autorzy po prostu piszą

${\displaystyle f_{n}\do f\quad \mathrm {jednolicie}}$

aby wskazać, że zbieżność jest jednolita. (Z kolei wyrażenie on bez przysłówka oznacza punktowe zbieżność on : for all , as .) ${\ Displaystyle f_ {n} \ do f}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle x\w e}$${\ Displaystyle f_ {n} (x) \ do f (x)}$${\displaystyle n\do \infty}$

Ponieważ jest to pełna przestrzeń metryczna , kryterium Cauchy'ego może być użyte do podania równoważnego alternatywnego sformułowania dla jednostajnej zbieżności: zbiega jednostajnie na (w poprzednim sensie) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego istnieje liczba naturalna taka, że ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle \ epsilon > 0}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle x \ w E, m, n \ geq N \ implikuje | f_ {m} (x) -f_ {n} (x) | <\ epsilon}$.

W jeszcze innym równoważnym sformułowaniu, jeśli zdefiniujemy

${\ Displaystyle d_ {n} = \ sup _ {x \ w e} | f_ {n} (x) -f (x) |,}$

następnie zbiega się jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy jako . Możemy zatem scharakteryzować jednostajną zbieżność on jako (prostą) zbieżność w przestrzeni funkcji względem metryki jednorodnej (zwanej również metryką supremum), zdefiniowaną przez ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle d_ {n} \ do 0}$${\displaystyle n\do \infty}$${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {E}}$

${\ Displaystyle d (f, g) = \ sup _ {x \ w e} | f (x) -g (x) |.}$

Symbolicznie,

${\ Displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f \ if \ lim _ {n \ do \ infty} d (f_ {n}, f) = 0}$.

Mówi się, że ciąg jest lokalnie jednostajnie zbieżny z granicą, jeśli jest przestrzenią metryczną i dla każdego , istnieje taki, który jest zbieżny jednostajnie na. Jasne jest, że jednostajna zbieżność implikuje lokalną jednostajną zbieżność, co implikuje zbieżność punktową. ${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle x\w e}$${\displaystyle r>0}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle B (x, r) \ czapka E.}$

Uwagi

Intuicyjnie, sekwencja funkcji zbieżny równomiernie , jeśli podawany jest dowolnie mała , że można znaleźć taki sposób, że funkcje z wszystkie mieszczą się w „rurki” szerokości wokół (tj pomiędzy i ) dla całej domeny funkcji. ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ epsilon > 0}$${\ Displaystyle N \ w \ mathbb {N}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle 2\epsilon}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)-\epsilon}$${\displaystyle f(x)+\epsilon}$

Zauważmy, że zamiana kolejności kwantyfikatorów w definicji zbieżności jednostajnej poprzez przesunięcie „dla wszystkich ” przed „istnieje liczba naturalna ” skutkuje definicją zbieżności punktowej ciągu. Aby ta różnica była jednoznaczna, w przypadku jednostajnej zbieżności, może zależeć tylko od , a wybór musi działać dla wszystkich , dla określonej wartości tego. W przeciwieństwie do tego, w przypadku punktowej zbieżności, może zależeć od obu i , a wybór musi działać tylko dla określonych wartości i, które są podane. Tak więc zbieżność jednostajna implikuje zbieżność punktową, jednak odwrotność nie jest prawdziwa, jak ilustruje przykład w poniższym podrozdziale. ${\displaystyle x\w e}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N = N (\ epsilon )}$${\displaystyle \epsilon}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle x\w e}$${\displaystyle \epsilon}$${\ Displaystyle N = N (\ epsilon , x)}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle x}$

Uogólnienia

Można wprost rozszerzenie koncepcji do funkcji E → M , gdzie ( M , d ) jest przestrzenią metryczną , zastępując z . ${\ Displaystyle | f_ {n} (x) - f (x) |}$${\ Displaystyle d (f_ {n} (x), f (x))}$

Najbardziej ogólnym ustawieniem jest jednostajna zbieżność sieci funkcji E → X , gdzie X jest jednostajną przestrzenią . Mówimy, że sieć zbiega się jednostajnie z granicą f  : E → X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia V w X istnieje , takie , że dla każdego x w E i każdego , jest w V . W tej sytuacji granica jednostajna funkcji ciągłych pozostaje ciągła. ${\ Displaystyle (f_ {\ alfa})}$ ${\ Displaystyle \ alfa _ {0}}$${\ Displaystyle \ alfa \ geq \ alfa _ {0}}$${\ Displaystyle (f_ {\ alfa} (x), f (x))}$

Definicja w hiperrealistycznym otoczeniu

Jednolita zbieżność pozwala na uproszczoną definicję w hiperrzeczywistym otoczeniu. Zatem sekwencja zbieżny do f równomiernie, jeżeli dla wszystkich x w dziedzinie i wszystkie nieskończonej n , jest bardzo bliskie (patrz microcontinuity podobnej określenia jednolitej ciągłość). ${\displaystyle f_{n}}$${\ Displaystyle f ^ {*}}$${\ Displaystyle f_ {n} ^ {*} (x)}$${\ Displaystyle f ^ {*} (x)}$

Przykłady

Dla , podstawowy przykład jednostajnej zbieżności można zilustrować następująco: sekwencja zbiega się jednostajnie, podczas gdy nie. W szczególności załóżmy . Każda funkcja jest mniejsza lub równa when , niezależnie od wartości . Z drugiej strony jest tylko mniejsza lub równa przy coraz większych wartościach, gdy wartości są wybierane coraz bliżej 1 (wyjaśnione bardziej szczegółowo poniżej). ${\displaystyle x\w [0,1)}$${\ Displaystyle (1/2) ^ {x + n}}$${\ Displaystyle x ^ {n}}$${\ Displaystyle \ epsilon =1/4}$${\ Displaystyle (1/2) ^ {x + n}}$${\ Displaystyle 1/4}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle x ^ {n}}$${\ Displaystyle 1/4}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle x}$

Mając daną przestrzeń topologiczną X , możemy wyposażyć przestrzeń ograniczonych funkcji rzeczywistych lub zespolonych nad X w jednolitą topologię norm , z jednolitą metryką określoną przez

${\ Displaystyle d (f, g) = \ | fg \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ w X} | f (x) -g (x) |.}$

Wówczas zbieżność jednostajna oznacza po prostu zbieżność w topologii jednolitej normy :

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ | f_ {n} - f \ | _ {\ infty} = 0}$.

Sekwencja funkcji ${\ Displaystyle (f_ {n})}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} f_ {n}: [0,1] \ do [0,1] \ \ f_ {n} (x) = x ^ {n} \ koniec {przypadki}}}$

jest klasycznym przykładem sekwencji funkcji, która zbiega się do funkcji punktowo, ale nie jednostajnie. Aby to pokazać, najpierw zaobserwujemy, że granica punktowa as jest funkcją , daną przez ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\displaystyle n\do \infty}$${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle f (x) = \ lim _ {n \ do \ infty} f_ {n} (x) = {\ zacząć {przypadki} 0, & x \ w [0,1); \ \ 1, & x = 1 .\end{przypadki}}}$

Konwergencja punktowa: Konwergencja jest trywialna dla i , ponieważ i , dla wszystkich . Dla i danego , możemy zapewnić, że kiedykolwiek , wybierając (tu górne nawiasy kwadratowe wskazują zaokrąglenie w górę, patrz funkcja sufitu ). Stąd punktowo dla wszystkich . Zauważ, że wybór zależy od wartości i . Co więcej, dla ustalonego wyboru , (którego nie można zdefiniować jako mniejszego) rośnie bez ograniczeń jako podejścia 1. Obserwacje te wykluczają możliwość jednostajnej zbieżności. ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$${\ Displaystyle f_ {n} (0) = f (0) = 0}$${\ Displaystyle f_ {n} (1) = f (1) = 1}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle x\w (0,1)}$${\ Displaystyle \ epsilon > 0}$${\ Displaystyle | f_ {n} (x) - f (x) | <\ epsilon}$${\displaystyle n\geq n}$${\ Displaystyle N = \ lceil \ log \ epsilon / \ log x \ rceil}$${\ Displaystyle f_ {n} \ do f}$${\displaystyle x\w [0,1]}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \epsilon}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle x}$

Niejednorodność zbieżności: Zbieżność nie jest jednolita, ponieważ możemy znaleźć tak, że bez względu na to, jak duże wybierzemy , będą wartości i takie, że Aby to zobaczyć, najpierw zaobserwuj, że niezależnie od tego, jak duża się stanie, zawsze istnieje takie, że Tak więc, jeśli wybierzemy , nigdy nie znajdziemy takiego, że dla wszystkich i . Wprost, niezależnie od tego, na jakiego kandydata wybierzemy , rozważ wartość at . Odkąd ${\ Displaystyle \ epsilon > 0}$${\ Displaystyle N,}$${\displaystyle x\w [0,1]}$${\displaystyle n\geq n}$${\ Displaystyle | f_ {n} (x) - f (x) | \ geq \ epsilon.}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle x_{0}\w [0,1)}$${\ Displaystyle f_ {n} (x_ {0}) = 1/2.}$${\ Displaystyle \ epsilon =1/4,}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle | f_ {n} (x) - f (x) | <\ epsilon}$${\displaystyle x\w [0,1]}$${\displaystyle n\geq n}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle f_ {N}}$${\ Displaystyle x_ {0} = (1/2) ^ {1} {1}}$

${\ Displaystyle \ lewo | f_ {N} (x_ {0}) - f (x_ {0}) \ prawo | = \ lewo | \ lewo [\ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ po prawej) ^{\frac {1}{N}}\right]^{N}-0\right|={\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}=\epsilon ,}$

kandydat przegrywa, ponieważ znaleźliśmy przykład, który „uciekł” przed naszą próbą „ograniczenia” każdego do wewnątrz lub dla wszystkich . W rzeczywistości łatwo to zauważyć ${\displaystyle x\w [0,1]}$${\ Displaystyle f_ {n} \ (n \ geq N)}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\w [0,1]}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ | f_ {n} - f \ | _ {\ infty} = 1,}$

wbrew wymogowi, że jeżeli . ${\ Displaystyle \ | f_ {n} - f \ | _ {\ infty} \ do 0}$${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$

Na tym przykładzie widać, że punktowa zbieżność nie zachowuje zróżnicowalności ani ciągłości. Chociaż każda funkcja ciągu jest gładka, to znaczy, że dla wszystkich n , , granica nie jest nawet ciągła. ${\ Displaystyle f_ {n} \ w C ^ {\ infty} ([0,1])}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} f_ {n}}$

Funkcja wykładnicza

Za pomocą testu M Weierstrassa można wykazać, że rozwinięcie szeregowe funkcji wykładniczej jest jednostajnie zbieżne na dowolnym ograniczonym podzbiorze . ${\ Displaystyle S \ podzbiór \ mathbb {C}}$

Twierdzenie (M-test Weierstrassa). Niech będzie ciągiem funkcji i niech będzie ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych takim, że dla wszystkich i Jeśli zbiega się, to zbiega się jednostajnie na .${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle f_ {n}: E \ do \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle M_ {n}}$${\ Displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq M_ {n}}$${\displaystyle x\w e}$${\displaystyle n=1,2,3,\ldots}$${\textstyle \sum _{n}M_{n}}$${\textstyle \sum _{n}f_{n}}$${\ Displaystyle E}$

Złożoną funkcję wykładniczą można wyrazić jako szereg:

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

Każdy ograniczony podzbiór jest podzbiorem jakiegoś dysku o promieniu wyśrodkowanym na początku płaszczyzny zespolonej . Test M Weierstrassa wymaga od nas znalezienia górnego ograniczenia na warunkach serii, z niezależną od pozycji na dysku: ${\displaystyle D_{R}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M_ {n}}$${\ Displaystyle M_ {n}}$

${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {z ^ {n}} {n!}} \ prawo | \ leq M_ {n} \ forall z \ w D_ {R}.}$

Aby to zrobić, zauważamy

${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {z ^ {n}} {n!}} \ prawej | \ leq {\ Frac {| z | ^ {n}} {n!}} \ leq {\ Frac {R ^{n}}{n!}}}$

i weź ${\ Displaystyle M_ {n} = {\ tfrac {R ^ {n}} {n!}}.}$

Jeśli jest zbieżny, to test M zakłada, że ​​szereg pierwotny jest jednostajnie zbieżny. ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} M_ {n}}$

Tutaj można zastosować test stosunku :

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {M_ {n + 1}} {M_ {n}}} = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {R ^ {n +1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1} }=0}$

co oznacza, że ​​seria powyżej jest zbieżna. W ten sposób szereg oryginalny zbiega się jednostajnie dla wszystkich, a ponieważ szereg jest również jednostajnie zbieżny na${\ Displaystyle M_ {n}}$${\ Displaystyle Z \ w D_ {R},}$${\ Displaystyle S \ podzbiór D_ {R}}$${\ Displaystyle S.}$

Nieruchomości

• Każdy ciąg jednostajnie zbieżny jest lokalnie jednostajnie zbieżny.
• Każdy ciąg lokalnie jednostajnie zbieżny jest zbieżny kompaktowo .
• Dla przestrzeni lokalnie zwartych pokrywa się lokalna zbieżność jednostajna i zbieżność zwarta.
• Ciąg funkcji ciągłych na przestrzeniach metrycznych, przy czym przestrzeń metryczna obrazu jest kompletna, jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednostajnie Cauchy .
• Jeśli jest zwartym przedziałem (lub ogólnie zwartą przestrzenią topologiczną) i jest monotonicznym rosnącym ciągiem (czyli dla wszystkich n i x ) funkcji ciągłych z granicą punktową, która jest również ciągła, to zbieżność jest z konieczności jednostajna ( twierdzenie Diniego ). Jednostajna zbieżność jest również gwarantowana, jeśli jest to zwarty przedział i jest ciągiem równociągłym , który jest zbieżny punktowo.${\displaystyle S}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle f_ {n} (x) \ leq f_ {n + 1} (x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$

Aplikacje

Do ciągłości

Kontraprzykład dla wzmocnienia twierdzenia o zbieżności jednostajnej, w którym zakłada się raczej zbieżność punktową niż jednostajną. Ciągłe funkcje koloru zielonego zbiegają się z funkcją nieciągłego koloru czerwonego. Może się to zdarzyć tylko wtedy, gdy zbieżność nie jest jednolita.${\ Displaystyle \ sin ^ {n} (x)}$

Jeśli i są przestrzeniami topologicznymi , to sensowne jest mówienie o ciągłości funkcji . Jeśli dalej założymy, że jest to przestrzeń metryczna , to (jednostajna) zbieżność do jest również dobrze zdefiniowana. Poniższy wynik stwierdza, że ​​ciągłość jest zachowana przez jednorodną zbieżność: ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle f_ {n}, f: E \ do M}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

Twierdzenie o granicy jednostajnej . Załóżmy, że jest przestrzenią topologiczną, jest przestrzenią metryczną i jest ciągiem funkcji ciągłych . Jeśli włączone , to również jest ciągłe.${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle f_ {n}: E \ do M}$${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle f}$

Twierdzenie to dowodzi „ sztuczka ε/3 ” i jest archetypowym przykładem tej sztuczki: aby udowodnić daną nierówność ( ε ), używa się definicji ciągłości i jednostajnej zbieżności do wytworzenia 3 nierówności ( ε/3 ), a następnie łączy je za pomocą nierówności trójkąta, aby uzyskać pożądaną nierówność.

Twierdzenie to jest ważne w historii analizy rzeczywistej i analizy Fouriera, ponieważ wielu matematyków XVIII wieku intuicyjnie rozumiało, że ciąg funkcji ciągłych zawsze zbiega się w funkcję ciągłą. Powyższy obrazek pokazuje kontrprzykład, a wiele funkcji nieciągłych można w rzeczywistości zapisać jako szereg funkcji ciągłych Fouriera . Błędne twierdzenie, że granica punktowa ciągu funkcji ciągłych jest ciągła (pierwotnie określane jako szereg zbieżnych funkcji ciągłych) jest niesławnie znane jako „błędne twierdzenie Cauchy'ego”. Twierdzenie o jednostajnej granicy pokazuje, że silniejsza forma zbieżności, jednostajna zbieżność, jest potrzebna, aby zapewnić zachowanie ciągłości funkcji granicznej.

Dokładniej, twierdzenie to stwierdza, że ​​granica jednostajna funkcji jednostajnie ciągłych jest jednostajnie ciągła; dla przestrzeni lokalnie zwartej ciągłość jest równoznaczna z lokalną jednostajną ciągłością, a zatem jednolita granica funkcji ciągłych jest ciągła.

Do różniczkowalności

Jeśli jest przedziałem i wszystkie funkcje są różniczkowalne i zbiegają się do granicy , często pożądane jest wyznaczenie funkcji pochodnej przez przyjęcie granicy ciągu . Jednak generalnie nie jest to możliwe: nawet jeśli zbieżność jest jednostajna, funkcja graniczna nie musi być różniczkowalna (nawet jeśli ciąg składa się z funkcji analitycznych wszędzie , patrz funkcja Weierstrassa ), a nawet jeśli jest różniczkowalna, pochodna funkcja graniczna nie musi być równa granicy pochodnych. Rozważmy na przykład jednolity limit . Oczywiście jest też identycznie zero. Jednak pochodne sekwencji funkcji są podane przez i sekwencja ta nie jest zbieżna ani nawet w ogóle nie zbiega się z żadną funkcją. Aby zapewnić związek między granicą ciągu funkcji różniczkowalnych a granicą ciągu pochodnych, wymagana jest jednostajna zbieżność ciągu pochodnych plus zbieżność ciągu funkcji w co najmniej jednym punkcie: ${\displaystyle S}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'_{n}}$${\ Displaystyle f_ {n} (x) = n ^ {-1/2} \ sin (nx)}}$${\ Displaystyle f_ {n} \ rightright arrows f \ równoważne 0}$${\displaystyle f'}$${\ Displaystyle f '_ {n} (x) = n ^ {1/2} \ cos nx,}$${\displaystyle f'_{n}}$${\displaystyle f',}$

Jeśli jest ciągiem funkcji różniczkowalnych na takim, który istnieje (i jest skończony) dla niektórych i sekwencja zbiega się jednostajnie na , a następnie zbiega się jednostajnie do funkcji na i dla .${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\displaystyle [a,b]}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} f_ {n} (x_ {0})}$${\displaystyle x_{0}\w [a,b]}$${\ Displaystyle (f'_ {n})}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\ Displaystyle f '(x) = \ lim _ {n \ do \ infty} f '_ {n} (x)}$${\displaystyle x\in [a,b]}$

Do integrowalności

Podobnie często chce się wymieniać całek i ograniczać procesy. W przypadku całki Riemanna , można to zrobić, jeśli założymy jednostajną zbieżność:

Jeśli jest ciągiem funkcji całkowalnych Riemanna zdefiniowanym na zwartym przedziale, który jednostajnie zbiega się z granicą , to jest całkowalny Riemanna i jego całkę można obliczyć jako granicę całek z :${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}}$

${\ Displaystyle \ int _ {ja} f = \ lim _ {n \ do \ infty} \ int _ {ja} f_ {n}.}$

W rzeczywistości, dla jednostajnie zbieżnej rodziny funkcji ograniczonych na przedziale, górna i dolna całka Riemanna zbiegają się do górnych i dolnych całek Riemanna funkcji granicznej. Wynika to z tego, że dla n dostatecznie dużego wykres of znajduje się w ε od wykresu f , a więc górna i dolna suma znajdują się odpowiednio w wartości górnej i dolnej sumy . ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle \varepsilon |ja|}$${\displaystyle f}$

Znacznie silniejsze twierdzenia w tym zakresie, które wymagają niewiele więcej niż zbieżność punktowa, można uzyskać, jeśli odstąpi się od całki Riemanna i zamiast niej zastosuje całkę Lebesgue'a .

Do analityczności

Korzystając z Twierdzenia Morery , można pokazać, że jeśli sekwencja funkcji analitycznych zbiega się jednostajnie w obszarze S płaszczyzny zespolonej, to granica jest analityczna w S. Ten przykład pokazuje, że funkcje zespolone są lepiej zachowane niż funkcje rzeczywiste, ponieważ jednolita granica funkcji analitycznych na rzeczywistym przedziale nie musi być nawet różniczkowalna (patrz funkcja Weierstrassa ).

Do serii

Mówimy, że zbiega się: ${\ Displaystyle \ textstyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n}}$

Z tą definicją wynika następujący wynik:

Niech x ₀ będzie zawarty w zbiorze E i każdy f _n będzie ciągły w x ₀ . Jeśli zbiega się jednostajnie na E , to f jest ciągłe przy x ₀ w E . Załóżmy, że i każdy f _n jest całkowalny na E . Jeśli zbiega się jednostajnie na E , wtedy f jest całkowalna na E i szereg całek z f _n jest równy całce z szeregu f _n .${\ Displaystyle \ textstyle f = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n}}$${\displaystyle E=[a,b]}$${\ Displaystyle \ textstyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n}}$

Prawie jednolita zbieżność

Jeżeli dziedziną funkcji jest przestrzeń miary E, to można zdefiniować związane z nią pojęcie prawie jednostajnej zbieżności . Mówimy, że sekwencja funkcji zbiega się prawie jednostajnie na E, jeśli dla każdego istnieje mierzalny zbiór z miarą mniejszą niż taki, że sekwencja funkcji zbiega się jednostajnie na . Innymi słowy, prawie jednostajna zbieżność oznacza, że ​​istnieją zbiory arbitralnie małej miary, dla których sekwencja funkcji zbiega się jednostajnie w swoim dopełnieniu. ${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle \ delta > 0}$${\displaystyle E_{\delta}}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle E \ setminus E_ {\ delta}}$

Zauważ, że prawie jednolita zbieżność sekwencji nie oznacza, że ​​sekwencja jest zbieżna jednolicie prawie wszędzie, jak można by wywnioskować z nazwy. Jednak twierdzenie Egorova gwarantuje, że w przestrzeni miary skończonej sekwencja funkcji, która jest zbieżna prawie wszędzie, również zbiega się prawie jednostajnie w tym samym zbiorze.

Prawie jednolita zbieżność implikuje prawie wszędzie zbieżność i zbieżność miary .

Zobacz też

• Jednostajna zbieżność prawdopodobieństwa
• Tryby zbieżności (indeks z adnotacjami)
• Twierdzenie Diniego
• Twierdzenie Arzelà-Ascoliego

Uwagi

Bibliografia

• Konrad Knopp , Teoria i zastosowanie serii nieskończonych ; Blackie and Son, Londyn, 1954, przedrukowany przez Dover Publications, ISBN  0-486-66165-2 .
• GH Hardy , Sir George Stokes i koncepcja jednorodnej konwergencji ; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 19 , s. 148-156 (1918)
• Bourbaki ; Elementy matematyki: Topologia ogólna. rozdziały 5–10 (miękka oprawa) ; ISBN  0-387-19374-X
• Walter Rudin , Zasady analizy matematycznej , wyd. 3, McGraw-Hill, 1976.
• Gerald Folland , Analiza rzeczywista: nowoczesne techniki i ich zastosowania, wydanie drugie, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN  0-471-31716-0 .
• William Wade, Wprowadzenie do analizy , wyd. 3, Pearson, 2005

Zewnętrzne linki

• „Jednolita konwergencja” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Graficzne przykłady jednostajnej zbieżności szeregu Fouriera z University of Colorado