Odwrotna relacja - Converse relation

W matematyce The zależność odwrotna lub transpozycji , o stosunku binarnym jest związek, który występuje, gdy kolejność elementów jest włączony w zależności. Na przykład odwrotnością relacji „dziecko” jest relacja „rodzic”. Z formalnego punktu widzenia, jeśli i to zestawy i jest relacją z aby następnie jest relacja zdefiniowana tak, że tylko wtedy, gdy w notacji set-builder , ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle L \ podseteq X \ razy Y}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\ Displaystyle L ^ {\ nazwa operatora {T} }}$${\ Displaystyle yL ^ {\ nazwa operatora {T}} x}$${\displaystyle xLy.}$

$${\ Displaystyle L ^ {\ Operatorname {T} } = \ {(y, z) \ w Y \ razy X: (x, y) \ w L \}.}$$

Notacja jest analogiczna jak w przypadku funkcji odwrotnej . Chociaż wiele funkcji nie ma odwrotności, każda relacja ma unikalną odwrotność. Operacja jednoargumentowa odwzorowująca relację w relacji odwrotnej jest inwolucją , a więc indukuje strukturę półgrupy z inwolucją na relacjach binarnych na zbiorze lub, bardziej ogólnie, indukuje kategorię sztyletu na kategorii relacji, jak szczegółowo opisano poniżej . Jako operacja jednoargumentowa , biorąc odwrotność (czasami nazywaną konwersją lub transpozycją ) komutuje z operacjami związanymi z porządkiem rachunku relacji, czyli komutuje ze sumą, przecięciem i dopełnieniem.

Relację odwrotną nazywamy także relacją transponowaną — tę ostatnią ze względu na jej podobieństwo do transpozycji macierzy. Nazywano to również przeciwieństwem lub dwoistością pierwotnej relacji, odwrotnością pierwotnej relacji lub odwrotnością relacji${\displaystyle L^{\circ}}$${\ Displaystyle L.}$

Inne oznaczenia relacji odwrotnej obejmują lub${\ Displaystyle L ^ {\ Operatorname {C}} L ^ {-1} {\ Breve {L}} L ^ {\ Circ}}$${\ Displaystyle L ^ {\ Vee}.}$

Przykłady

W przypadku zwykłych (może ścisłych lub częściowych) relacji porządku odwrotnie jest naiwnie oczekiwany "przeciwny" porządek, na przykład,${\displaystyle {\leq ^{\operator {T}}}={\geq},\quad {<^{\operator {T}}}={>}.}$

Relacja może być reprezentowana przez macierz logiczną, taką jak

$${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1 i 1 i 1 i 1 \ \ 0 i 1 i 0 i 1 \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}.}$$

Wtedy odwrotną relację reprezentuje jej macierz transpozycji :

$${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\koniec {pmatrix}}.}$$

Odwrotność relacji pokrewieństwa jest nazwana: „ jest dzieckiem ” ma odwrotność „ jest rodzicem ”. „ Jest siostrzeniec lub siostrzenica od ” ma rozmawiać „ to wujek lub ciotka z ”. Relacja " jest rodzeństwo z jego własny rozmawiać, ponieważ jest to relacja symetryczna. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

W teorii mnogości, jeden zakłada uniwersum dyskursu, a fundamentalna relacja przynależności ustawionej gdy jest podzbiorem The zestawie zasilania wszystkich podzbiorów jest domena Converse${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle x \ w A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle U.}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle {\ ni} = {\ w ^ {\ nazwa operatora {T}}}.}$

Nieruchomości

W monoid dwuskładnikowych endorelations z zestawu (z binarną działania w relacji będących w składzie stosunków ) odwrotne związek nie odpowiada definicji wstecznego z teorii grup, to znaczy, jeżeli jest dowolna związek o czym nie nie równa relację tożsamości on w ogóle. Relacja odwrotna spełnia (słabsze) aksjomaty półgrupy z inwolucją : i${\ Displaystyle L}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle L \ circ L ^ {\ Operatorname {T} }}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ lewo (L ^ {\ Operator {T}} \ Prawo) ^ {\ Operator {T}} = L}$${\ Displaystyle (L \ circ R) ^ {\ operatorname {T} } = R ^ {\ operatorname {T}} \ circ L ^ {\ operatorname {T}}.}$

Ponieważ ogólnie można rozważać relacje między różnymi zbiorami (które tworzą raczej kategorię niż monoid, mianowicie kategorię relacji Rel ), w tym kontekście relacja odwrotna jest zgodna z aksjomatami kategorii sztyletu (czyli kategorii z inwolucją). Relacja równa jej odwrotności jest relacją symetryczną ; w języku kategorii sztyletów jest samoprzylegający .

Co więcej, półgrupa endorelacji na zbiorze jest także strukturą częściowo uporządkowaną (z włączeniem relacji jako zbiory), a właściwie kwantalem ewolwentowym . Podobnie kategoria relacji heterogenicznych , Rel jest również kategorią uporządkowaną.

W rachunku stosunków , konwersja (the jednoskładnikowa działanie biorąc relację odwrotną) dojazdy z innych operacji binarnych unii i skrzyżowania. Nawrócenie obcuje także z jednorazowym działaniem dopełniania oraz z przyjmowaniem supremy i infima. Nawrócenie jest również zgodne z porządkowaniem relacji przez włączenie.

Jeśli relacja jest zwrotna , niezwrotna , symetryczna , antysymetryczna , asymetryczna , przechodnia , połączona , trichotomiczna , porządek częściowy , całkowity , ścisły słaby porządek , całkowity preorder ( słaby porządek ) lub relacja równoważności , jej przeciwieństwo jest również.

Odwrotne

Jeśli reprezentuje relację tożsamości, to relacja może mieć odwrotność w następujący sposób: ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$

Relacja jest nazywana prawostronną odwracalną, jeśli istnieje relacja z i lewostronną odwracalną, jeśli istnieje z Then i są nazywane odpowiednio prawa i lewą odwrotnością . Relacje prawo- i lewo-odwracalne nazywane są odwracalnymi . Dla odwracalnych relacji jednorodnych wszystkie prawe i lewe odwrotności pokrywają się; używane jest pojęcie odwrotności . Następnie trzyma.${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle R\circ X=I}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y \ circ R = I.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R ^ {-1}}$${\ Displaystyle R ^ {-1} = R ^ {\ nazwa operatora {T}}}$

Odwrotna relacja funkcji

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jego relacja odwrotna jest funkcją, w którym to przypadku odwrotna relacja jest funkcja odwrotna.

Odwrotną relacją funkcji jest relacja określona przez${\displaystyle f:X\do Y}$${\ Displaystyle f ^ {-1} \ podseteq Y \ razy X}$${\ Displaystyle \ Operatorname {wykres} \, f ^ {-1} = \ {(y, x) \ w Y \ razy X: y = f (x) \}.}$

Niekoniecznie jest to funkcja: jednym warunkiem koniecznym jest to, że jest injective , ponieważ else jest wielowartościowe . Warunek ten jest wystarczający, aby być funkcją częściową i jest jasne, że wtedy jest funkcją (całkowitą) wtedy i tylko wtedy, gdy jest surjektywna . W tym przypadku, czyli jeśli jest bijective , można nazwać funkcja odwrotna od${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f ^ {-1}}$${\ Displaystyle f ^ {-1}}$${\ Displaystyle f ^ {-1}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f ^ {-1}}$${\displaystyle fa.}$

Na przykład funkcja ma funkcję odwrotną${\ Displaystyle f (x) = 2x+2}$${\ Displaystyle f ^ {-1} (x) = {\ Frac {x} {2}} -1.}$

Jednak funkcja ma zależność odwrotną, która nie jest funkcją, ponieważ jest wielowartościowa. ${\ Displaystyle g (x) = x ^ {2}}$${\ Displaystyle g ^ {-1} (x) = \ pm {\ sqrt {x}}}$

Zobacz też

• Dualność (teoria porządku)
• Wykres transpozycji

Bibliografia

• Halmos, Paul R. (1974), Teoria zbiorów naiwnych , s. 40 , ISBN 978-0-387-90092-6