Nieciągła mapa liniowa - Discontinuous linear map

W matematyce , mapy liniowe stanowią ważną klasę „prostych” funkcji , które zabezpieczają algebraiczną strukturę przestrzeni liniowych i często używa się jako przybliżenia dla bardziej ogólnych funkcji (patrz aproksymacji liniowej ). Jeśli zaangażowane przestrzenie są również przestrzeniami topologicznymi (to znaczy topologicznymi przestrzeniami wektorowymi ), wówczas sensowne jest pytanie, czy wszystkie odwzorowania liniowe są ciągłe . Okazuje się, że dla odwzorowań zdefiniowanych na nieskończenie wymiarowych przestrzeniach topologicznych (np. nieskończenie wymiarowych przestrzeniach unormowanych ) odpowiedź na ogół brzmi nie: istnieją nieciągłe odwzorowania liniowe . Jeśli dziedzina definicji jest kompletna , jest to trudniejsze; można udowodnić, że takie mapy istnieją, ale dowód opiera się na aksjomie wyboru i nie dostarcza wyraźnego przykładu.

Mapa liniowa z przestrzeni skończenie wymiarowej jest zawsze ciągła

Niech X i Y będą dwiema przestrzeniami unormowanymi i f odwzorowaniem liniowym od X do Y . Jeżeli X jest skończenie wymiarowe , wybierz bazę ( e ₁ , e ₂ , …, e _n ) w X, którą można przyjąć jako wektory jednostkowe. Następnie,

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} f (e_ {i})}$

i tak przez nierówność trójkąta ,

${\ Displaystyle \ | f (x) \ | = \ lewo \ | \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} f (e_ {i}) \ prawej \ | \ leq \ suma _ {i =1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|.}$

Wpuszczanie

${\ Displaystyle M = \ sup _ {i} \ {\ | f (e_ {i}) \ | \},}$

i wykorzystując fakt, że

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | \ leq C \ | x \ |}$

dla pewnego C >0, co wynika z faktu, że dowolne dwie normy na przestrzeni skończenie wymiarowej są równoważne , stwierdza się

${\ Displaystyle \ | f (x) \ | \ leq \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | \ prawej) M \ leq CM \ | x \ |.}$

Zatem jest ograniczonym operatorem liniowym, a więc jest ciągły. W rzeczywistości, aby to zobaczyć, po prostu zauważ, że f jest liniowe, a zatem dla pewnej uniwersalnej stałej K . Tak więc dla dowolnego , możemy wybrać tak, że ( i są znormalizowanymi kulami wokół i ), co daje ciągłość. ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ | f (x) - f (x ') \ | = \ | f (x-x ') \ | \ leq K \ | x-x' \ |}$${\ Displaystyle \ epsilon > 0}$${\ Displaystyle \ delta \ leq \ epsilon / K}$${\displaystyle f(b(x,\delta))\subseteq b(f(x),\epsilon)}$${\displaystyle B(x,\delta)}$${\displaystyle B(f(x),\epsilon)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

Jeśli X jest nieskończenie wymiarowe, ten dowód zawiedzie, ponieważ nie ma gwarancji, że istnieje najwyższe M. Jeśli Y jest przestrzenią zerową {0}, jedyną mapą pomiędzy X i Y jest mapa zerowa, która jest trywialnie ciągła. We wszystkich innych przypadkach, gdy X jest nieskończenie wymiarowe, a Y nie jest przestrzenią zerową, można znaleźć nieciągłe odwzorowanie od X do Y .

Konkretny przykład

Przykłady nieciągłych map liniowych są łatwe do skonstruowania w przestrzeniach, które nie są kompletne; na dowolnej sekwencji Cauchy'ego liniowo niezależnych wektorów, która nie ma granicy, istnieje operator liniowy taki, że ilości rosną bez ograniczeń. W pewnym sensie operatory liniowe nie są ciągłe, ponieważ przestrzeń ma „dziury”. ${\displaystyle e_{i}}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ | T (e_ {i}) \ | / \ | e_ {i} \ |}$

Rozważmy na przykład przestrzeń X funkcji gładkich o wartościach rzeczywistych na przedziale [0, 1] o jednolitej normie , czyli

${\ Displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ w [0,1]} | f (x) |.}$

Pochodną -co-a punktem na mapie, podanych

${\displaystyle T(f)=f'(0)\,}$

zdefiniowany na X iz wartościami rzeczywistymi, jest liniowy, ale nie ciągły. Rzeczywiście, rozważ sekwencję

${\ Displaystyle f_ {n} (x) = {\ Frac {\ grzech (n ^ {2} x)} {n}}}$

dla n ≥1. Ta sekwencja zbiega się jednostajnie do stałej funkcji zerowej, ale

${\ Displaystyle T (f_ {n}) = {\ Frac {n ^ {2} \ cos (n ^ {2} \ cdot 0)} {n}} = n \ do \ infty}$

jako n →∞ zamiast tego, które miałoby miejsce dla ciągłego odwzorowania. Zauważ, że T jest wartością rzeczywistą, a więc jest faktycznie funkcjonałem liniowym na X (elementem algebraicznej przestrzeni dualnej X ^* ). Odwzorowanie liniowe X → X, które przypisuje każdej funkcji jej pochodną, ​​jest podobnie nieciągłe. Zauważ, że chociaż operator pochodnej nie jest ciągły, jest zamknięty . ${\ Displaystyle T (f_ {n}) \ do T (0) = 0}$

Ważny jest fakt, że domena nie jest tutaj kompletna. Nieciągłe operatory na całych przestrzeniach wymagają nieco więcej pracy.

Niekonstruktywny przykład

Algebraiczna baza liczb rzeczywistych jako przestrzeń wektorowa nad wymiernymi jest znana jako baza Hamela (zauważ, że niektórzy autorzy używają tego terminu w szerszym znaczeniu, oznaczając bazę algebraiczną dowolnej przestrzeni wektorowej). Zauważ, że dowolne dwie liczby niewspółmierne , powiedzmy 1 i π, są liniowo niezależne. Można znaleźć bazę Hamela zawierającą je i zdefiniować odwzorowanie f od R do R tak, że f (π) = 0, f działa jako identyczność w reszcie bazy Hamela i rozciąga się na cały R przez liniowość. Niech { r _n } _n będzie dowolnym ciągiem wymiernych zbieżnym do π. Wtedy lim _n f ( r _n ) = π, ale f (π) = 0. Konstrukcyjnie f jest liniowe nad Q (nie nad R ), ale nie jest ciągłe. Zauważ, że f również nie jest mierzalne ; dodatek prawdziwa funkcja jest liniowa tylko wtedy, gdy jest to mierzalne, więc dla każdej takiej funkcji jest zbiór Vitali . Konstrukcja f opiera się na aksjomacie wyboru.

Ten przykład można rozszerzyć do ogólnego twierdzenia o istnieniu nieciągłych odwzorowań liniowych w dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej (o ile nie jest to trywialne).

Ogólne twierdzenie o istnieniu

Można udowodnić, że nieciągłe mapy liniowe istnieją bardziej ogólnie, nawet jeśli przestrzeń jest kompletna. Niech X i Y będą przestrzeniami unormowanymi nad ciałem K, gdzie K = R lub K = C . Załóżmy, że X jest nieskończenie wymiarowe, a Y nie jest przestrzenią zerową. Znajdziemy nieciągłe odwzorowanie liniowe f od X do K , co będzie implikować istnienie nieciągłego liniowego odwzorowania g od X do Y podanego wzorem g ( x ) = f ( x ) y ₀ gdzie y ₀ jest dowolną niezerową wektor w Y .

Jeśli X jest nieskończenie wymiarowe, wykazanie istnienia funkcjonału liniowego, który nie jest ciągły, sprowadza się do skonstruowania f, który nie jest ograniczony. W tym celu rozważ sekwencję ( e _n ) _n ( n ≥ 1) liniowo niezależnych wektorów w X . Definiować

${\ Displaystyle T (e_ {n}) = n \ | e_ {n} \ | \,}$

dla każdego n = 1, 2, ... Uzupełnij tę sekwencję liniowo niezależnych wektorów do bazy przestrzeni wektorowej z X , i zdefiniuj T na innych wektorach w bazie jako zero. Tak zdefiniowane T będzie rozciągać się jednoznacznie na odwzorowanie liniowe na X , a ponieważ wyraźnie nie jest ograniczone, nie jest ciągłe.

Zauważ, że korzystając z faktu, że każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów może być uzupełniony do bazy, domyślnie użyliśmy aksjomatu wyboru, który nie był potrzebny w konkretnym przykładzie w poprzedniej sekcji, ale w jednym.

Rola aksjomatu wyboru

Jak wspomniano powyżej, aksjomat wyboru (AC) jest używany w ogólnym twierdzeniu o istnieniu nieciągłych odwzorowań liniowych. W rzeczywistości nie ma konstruktywnych przykładów nieciągłych odwzorowań liniowych z pełną dziedziną (np. przestrzenie Banacha ). W analizie, jak to zwykle praktykują matematycy pracujący, zawsze stosuje się aksjomat wyboru (jest to aksjomat teorii mnogości ZFC ); tak więc, zdaniem analityka, wszystkie nieskończenie wymiarowe przestrzenie wektorów topologicznych dopuszczają nieciągłe odwzorowania liniowe.

Z drugiej strony, w 1970 roku Robert M. Solovay wykazywał modelu z teorii mnogości , w którym każdy zestaw liczb rzeczywistych jest mierzalna. Oznacza to, że nie ma nieciągłych liniowych funkcji rzeczywistych. Oczywiście AC nie trzyma się w modelu.

Wynik Solovay'a pokazuje, że nie trzeba zakładać, że wszystkie nieskończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe dopuszczają nieciągłe odwzorowania liniowe, a istnieją szkoły analizy, które przyjmują bardziej konstruktywistyczny punkt widzenia. Na przykład HG Garnir w poszukiwaniu tzw. „przestrzeni marzeń” (topologicznych przestrzeni wektorowych, na których każda liniowa mapa do przestrzeni unormowanej jest ciągła), prowadził do przyjęcia ZF + DC + BP (wybór zależny to forma osłabiona i własność Baire'a jest zaprzeczeniem silnego AC), a jego aksjomatów udowodnić Garnir-Wright zamknięty wykres twierdzenie , które stwierdza, między innymi, że każda mapa liniowy z F-przestrzeni do TVS jest ciągła. Idąc do ekstremum konstruktywizmu , znajdujemy twierdzenie Ceitina , które mówi, że każda funkcja jest ciągła (należy to rozumieć w terminologii konstruktywizmu, zgodnie z którą tylko funkcje reprezentowalne są uważane za funkcje). Takie stanowiska zajmuje tylko niewielka mniejszość pracujących matematyków.

W rezultacie istnienie nieciągłych map liniowych zależy od AC; jest zgodne z teorią mnogości bez AC, że nie ma nieciągłych odwzorowań liniowych na pełnych przestrzeniach. W szczególności żadna konstrukcja betonowa, taka jak pochodna, nie może z powodzeniem zdefiniować nieciągłej mapy liniowej wszędzie na całej przestrzeni.

Operatorzy zamknięci

Wiele naturalnie występujących liniowych operatorów nieciągłych jest domkniętymi , klasa operatorów, które mają wspólne cechy operatorów ciągłych. Sensowne jest pytanie, które operatory liniowe na danej przestrzeni są zamknięte. Twierdzenie o domkniętym grafie zakłada, że wszędzie zdefiniowany operator domknięty w pełnej dziedzinie jest ciągły, więc aby uzyskać nieciągły operator domknięty, należy dopuścić operatory, które nie są zdefiniowane wszędzie.

Aby być bardziej konkretnym, niech będzie mapa od do z domeną , napisana . Niewiele stracimy, jeśli zastąpimy X zamknięciem . Oznacza to, że badając operatory, które nie są wszędzie zdefiniowane, można ograniczyć uwagę do operatorów gęsto zdefiniowanych bez utraty ogólności. ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Dom} (T)}$${\ Displaystyle T: \ operatorname {Dom} (T) \ podseteq X \ do Y}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Dom} (T)}$

Jeżeli wykres od jest zamknięta X x Y nazywamy T zamknięte . W przeciwnym razie rozważ jego zamknięcie w X × Y . Jeśli jest sam wykres wybranych operatora , nazywany jest zamykany i nazywany jest zamknięcie z . ${\ Displaystyle \ Gamma (T)}$${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ Gamma (T)}}}$${\ Displaystyle {\ overline {\ Gamma (T)}}}$${\displaystyle {\overline {T}}}$${\ Displaystyle T}$${\displaystyle {\overline {T}}}$${\ Displaystyle T}$

Zatem naturalnym pytaniem, jakie należy zadać w przypadku operatorów liniowych, które nie są wszędzie zdefiniowane, jest to, czy są one zamykalne. Odpowiedź brzmi: „niekoniecznie”; w rzeczywistości każda nieskończenie wymiarowa przestrzeń unormowana dopuszcza operatory liniowe, które nie są zamykalne. Podobnie jak w przypadku operatorów nieciągłych rozważanych powyżej, dowód wymaga aksjomatu wyboru i dlatego jest generalnie niekonstruktywny, chociaż znowu, jeśli X nie jest zupełny, istnieją przykłady konstruktywne.

W rzeczywistości jest nawet Przykładem operatora liniowego, którego wykres ma zamknięcie wszystkich z X x Y . Taki operator nie jest zamykany. Niech X będzie przestrzenią funkcji wielomianowych od [0,1] do R, a Y przestrzenią funkcji wielomianowych od [2,3] do R . Są to podprzestrzenie odpowiednio C ([0,1]) i C ([2,3]), a więc przestrzenie unormowane. Zdefiniuj operator T, który przyjmuje funkcję wielomianu x ↦ p ( x ) na [0,1] do tej samej funkcji na [2,3]. W konsekwencji twierdzenia Stone'a-Weierstrassa , wykres tego operatora jest gęsty w X × Y , więc zapewnia to rodzaj maksymalnie nieciągłej mapy liniowej ( nigdzie nie należy podawać funkcji ciągłej ). Zauważ, że X nie jest tutaj kompletny, co musi mieć miejsce, gdy istnieje taka konstruktywna mapa.

Wpływ na podwójne przestrzenie

Przestrzeń dualna topologicznej przestrzeni wektorowej to zbiór ciągłych odwzorowań liniowych z przestrzeni do pola bazowego. Zatem brak ciągłości niektórych odwzorowań liniowych dla nieskończenie wymiarowych przestrzeni unormowanych implikuje, że dla tych przestrzeni należy odróżnić algebraiczną przestrzeń dualną od ciągłej przestrzeni dualnej, która jest wtedy właściwym podzbiorem. Ilustruje to, że do analizy przestrzeni nieskończenie wymiarowych potrzebna jest dodatkowa doza ostrożności w porównaniu z przestrzeniami skończenie wymiarowymi.

Poza znormalizowanymi przestrzeniami

Argument za istnieniem nieciągłych odwzorowań liniowych na przestrzeniach unormowanych można uogólnić na wszystkie metryzowalne topologiczne przestrzenie wektorowe, zwłaszcza na wszystkie przestrzenie Frécheta, ale istnieją nieskończenie wymiarowe lokalnie wypukłe topologiczne przestrzenie wektorowe, tak że każdy funkcjonał jest ciągły. Z drugiej strony twierdzenie Hahna-Banacha , które dotyczy wszystkich przestrzeni lokalnie wypukłych, gwarantuje istnienie wielu ciągłych funkcjonałów liniowych, a więc dużej przestrzeni dualnej. W rzeczywistości z każdym zbiorem wypukłym miernik Minkowskiego wiąże ciągły funkcjonał liniowy . Skutek jest taki, że przestrzenie z mniejszą liczbą wypukłych zbiorów mają mniej funkcjonałów, aw najgorszym przypadku przestrzeń może nie mieć żadnych funkcjonałów poza funkcjonałem zerowym. Tak jest w przypadku przestrzeni L ^p ( R , dx ) z 0 <  p  < 1, z czego wynika, że ​​przestrzenie te są niewypukłe. Zauważ, że tutaj jest wskazana miara Lebesgue'a na linii rzeczywistej. Istnieją inne przestrzenie L ^p z 0 <  p  < 1, które mają nietrywialne przestrzenie podwójne.

Innym takim przykładem jest przestrzeń funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych na przedziale jednostkowym z quasinormą daną przez

${\ Displaystyle | | f | | = \ int _ {ja} {\ Frac {| f (x) |} {1 + | f (x) |}} dx.}$

Ta nielokalnie wypukła przestrzeń ma trywialną podwójną przestrzeń.

Można rozważać jeszcze bardziej ogólne przestrzenie. Na przykład istnienie homomorfizmu między kompletnymi, dającymi się oddzielić grupami metrykowymi można również wykazać w sposób niekonstruktywny.

Uwagi

Bibliografia

• Constantin Costara, Dumitru Popa, Ćwiczenia z analizy funkcjonalnej , Springer, 2003. ISBN  1-4020-1560-7 .
• Schechter, Eric, Handbook of Analysis i jej podstawy , Academic Press, 1997. ISBN  0-12-622760-8 .