Domena (analiza matematyczna) - Domain (mathematical analysis)

W analizy matematycznej , A domeny lub regionu jest niepusty połączony zbiór otwarty w przestrzeni topologicznej , zwłaszcza w zakresie niepusty połączony otwarty podzbiór rzeczywistym układzie współrzędnych R n lub kompleks układzie współrzędnych C n . Jest to pojęcie inne niż dziedzina funkcji , chociaż jest często używane w tym celu, na przykład w równaniach różniczkowych cząstkowych i przestrzeniach Sobolewa .

Podstawowa idea połączonego podzbioru przestrzeni pochodzi z XIX wieku, ale precyzyjne definicje różnią się nieznacznie w zależności od pokolenia, od autora do autora i od wydania do wydania, ponieważ koncepcje i terminy były tłumaczone między dziełami niemieckimi, francuskimi i angielskimi . W języku angielskim niektórzy autorzy używają terminu domain , niektórzy używają terminu region , niektórzy używają obu terminów zamiennie, a niektórzy definiują oba terminy nieco inaczej; niektórzy unikają niejednoznaczności, trzymając się frazy, takiej jak niepusty połączony otwarty podzbiór . Jedną z powszechnych konwencji jest definiowanie domeny jako połączonego zbioru otwartego, ale regionu jako unii domeny bez żadnych, niektórych lub wszystkich jej punktów granicznych . Obszar zamknięty lub domeny zamknięta jest unia domeny i wszystkich jego punktów granicznych.

Różne stopnie gładkości granicy domeny są wymagane dla różnych właściwości funkcji określonych w domenie posiadać, jak integralne twierdzeń ( tw Greena , twierdzenie Stokesa ), właściwości przestrzeni Sobolewa oraz określenia działania na granicy oraz w pomieszczeniach od śladów (uogólnione funkcje zdefiniowane w ramce). Powszechnie uważa typów domen są domeny o ciągłej obwiedni, granica Lipschitz , C 1 granicznej, i tak dalej.

Obszarem ograniczonym to domena, która jest zbiór ograniczony , natomiast zewnętrzny lub domena zewnętrzna jest wnętrze z uzupełnieniem o ograniczonej domenie.

W złożonej analizy , A zespolonej (lub tylko domeny ) jest połączony otwarty każdy podzbiór płaszczyzny zespolonej C . Na przykład cała płaszczyzna złożona jest domeną, podobnie jak otwarta jednostka dyskowa , otwarta górna półpłaszczyzna i tak dalej. Często zespolonej służy jako domeny definicji dla holomorficznej funkcji . W badaniu z udziałem kilku zmiennych zespolonych definicja domena jest rozszerzony że podłączone otwarte podzestawu C n .

Notatki historyczne

Definicja . Nie musisz korzystać z menu punktowego, jeśli nie chcesz, aby zsumować wszystkie punkty punktowe. Eine offfene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet.

—  Constantin Carathéodory , ( Carathéodory 1918 , s. 222)

Według Hansa Hahna pojęcie domeny jako otwartego połączonego zbioru zostało wprowadzone przez Constantina Carathéodory'ego w jego słynnej książce ( Carathéodory 1918 ). Hahn zauważa również, że słowo " Gebiet " (" Domena ") było wcześniej używane jako synonim zbioru otwartego . Wstępna koncepcja jest starsza. W XIX i na początku XX wieku terminy domena i region były często używane nieformalnie (czasem zamiennie) bez wyraźnej definicji.

Jednak termin „domena” był czasami używany do identyfikacji blisko spokrewnionych, ale nieco odmiennych pojęć. Na przykład, w swoich wpływowych monografii o eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych , Carlo Miranda używa terminu „region”, aby zidentyfikować otwartą podłączonego zestawu oraz zastrzega sobie termin „domena” do identyfikacji podłączony wewnętrznie, doskonały zestaw , każdy punkt, który jest punkt skupienia punktów wewnętrznych, wzorem swego dawnego mistrza Mauro Picone : zgodnie z tą konwencją, jeśli zbiór A jest regionem, to jego zamknięcie A jest domeną.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia