Wnętrze (topologia) - Interior (topology)

Punkt x jest punktem wewnętrznym S . Punkt y znajduje się na granicy S .

W matematyce , zwłaszcza w topologii The wnętrze z podzbioru S o topologii przestrzeni X jest związek wszystkich podzbiorów S , które są otwarte w X . Punkt, który jest we wnętrzu S jest wewnętrzny punkt z S .

Wnętrze S jest uzupełnienie z zamknięciem dopełnienia S . W tym sensie wnętrze i zamknięcie to pojęcia podwójne .

Zewnętrzne z ustalonym S jest uzupełnieniem zamknięcia S ; składa się z punktów, które nie znajdują się ani w zbiorze, ani w jego granicach . Wnętrze, granica i zewnętrzna część podzbioru wspólnie dzielą całą przestrzeń na trzy bloki (lub mniej, gdy jeden lub więcej z nich jest pusty). Wnętrze i zewnętrze są zawsze otwarte, podczas gdy granica jest zawsze zamknięta . Zestawy z pustym wnętrzem nazwano zestawami brzegowymi .

Definicje

Punkt wewnętrzny

Jeśli S jest podzbiorem przestrzeni euklidesowej , to x jest wewnętrznym punktem S , jeśli istnieje otwarta kula o środku x , która jest całkowicie zawarta w S . (Jest to zilustrowane w sekcji wprowadzającej do tego artykułu).

Definicja ta uogólnia do dowolnego podzbioru S o metryki przestrzeni X metrycznych d : x jest wewnętrzny punkt S , gdy istnieje r > 0 , tak aby Y znajduje się w S , gdy odległość d ( x , y ) < R .

Ta definicja uogólnia na przestrzenie topologiczne , zastępując „kulę otwartą” słowem „ zbiór otwarty ”. Niech S będzie podzbiorem przestrzeni topologicznej X . Wtedy x jest wewnętrznym punktem S, jeśli x jest zawarty w otwartym podzbiorze X, który jest całkowicie zawarty w S . (Równoważnie x jest wewnętrzny punkt S jeżeli S jest sąsiedztwo z X ).

Wnętrze zestawu

Wnętrze podzbioru S topologicznej przestrzeni X , oznaczoną Int S lub S ° , może być zdefiniowane w dowolnym z następujących sposobów równoważnych:

1. Int S jest największym otwartym podzbiorem X zawartym (jako podzbiór) w S
2. Int S jest sumą wszystkich otwartych zbiorów X zawartych w S
3. Int S jest zbiorem wszystkich punktów wewnętrznych S

Przykłady

a jest punktem wewnętrznym M , ponieważ istnieje ε-sąsiedztwo a będące podzbiorem M .

• W każdej przestrzeni wnętrze zestawu pustego jest zestawem pustym.
• W każdej przestrzeni X , jeśli S ⊆ X , a następnie Int S ⊆ S .
• Jeżeli X jest euklidesowa przestrzeń od liczb rzeczywistych , a int ([0, 1]) = (0, 1) .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Jeśli X jest przestrzeni euklidesowej , a następnie wnętrze zestaw z liczb wymiernych jest pusty.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Jeśli X jest płaszczyzną zespoloną , to${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {int} (\ {z \ w \ mathbb {C}: | z | \ leq 1 \}) = \ {z \ w \ mathbb {C}: | z | <1 \}.}$
• W każdej przestrzeni euklidesowej wnętrze dowolnego zbioru skończonego jest zbiorem pustym.

Na zbiorze liczb rzeczywistych można umieścić inne topologie zamiast standardowej.

• Jeśli X =${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ , gdzie ma topologię dolnego limitu , to int([0, 1]) = [0, 1).${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Jeśli weźmiemy pod uwagę topologię, w której każdy zbiór jest otwarty, to int([0, 1]) = [0, 1] .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Jeśli rozważymy topologię, w której jedynymi otwartymi zbiorami są zbiór pusty i on sam, to int([0, 1]) jest zbiorem pustym.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Te przykłady pokazują, że wnętrze zestawu zależy od topologii przestrzeni bazowej. Ostatnie dwa przykłady to szczególne przypadki poniższych.

• W każdej dyskretnej przestrzeni , ponieważ każdy zbiór jest otwarty, każdy zbiór jest równy swojemu wnętrzu.
• W każdej niedyskretnej przestrzeni X , ponieważ jedynymi otwartymi zbiorami są zbiór pusty i sam X , mamy X = int X i dla każdego właściwego podzbioru S od X , int S jest zbiorem pustym.

Nieruchomości

Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech S i T będą podzbiorem X .

• Int S jest otwarty w X .
• Jeżeli T jest otwarty X czym T ⊆ S , wtedy i tylko wtedy, gdy T ⊆ Int S .
• Int S jest otwartym podzbiorem S , gdy S jest dana topologia podprzestrzeni .
• S jest otwartym podzbiorem X wtedy i tylko wtedy, gdy S = int S .
• Intensywny : Int S ⊆ S .
• Idempotencja : Int(Int S ) = Int S .
• Zachowuje / rozprowadza na przecięciu binarnym : Int ( S ∩ T ) = (Int S ) ∩ (Int T ) .
• Monotoniczne / niemalejącym względem ⊆ : Jeżeli S ⊆ T następnie Int S ⊆ Int T .

Powyższe stwierdzenia pozostaną prawdziwe, jeśli wszystkie wystąpienia symboli/słów

„wnętrze”, „Int”, „otwarty”, „podzbiór” i „największy”

są odpowiednio zastępowane przez

„zamknięty”, „Cl”, „zamknięty”, „superset” i „najmniejszy”

i następujące symbole są zamienione:

1. „⊆” zamieniono na „⊇”
2. „∪” zamieniono na „∩”

Więcej szczegółów na ten temat można znaleźć poniżej w operatorze wnętrz lub w artykule Aksjomaty domknięcia Kuratowskiego .

Inne właściwości obejmują:

• Jeśli S jest zamknięte w X i Int T = ∅ wtedy Int ( S ∪ T ) = Int S .

Operator wnętrz

Operatora wnętrze jest podwójny do zamknięcia operatora, który jest oznaczony lub przez overline ^- w tym sensie, że ${\ Displaystyle \ Operatorname {int} _ {X}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {int} _ {X} S = X \ setminus {\ overline {(X \ setminus S)}}}$

i również

${\ Displaystyle {\ overline {S}} = X \ setminus \ operatorname {int} _ {X} (X \ setminus S)}$

gdzie jest przestrzenią topologiczną zawierającą a odwrotny ukośnik oznacza różnicę mnogościową . Dlatego abstrakcyjną teorię operatorów domknięcia i aksjomaty domknięcia Kuratowskiego można łatwo przetłumaczyć na język operatorów wewnętrznych, zastępując zbiory ich dopełnieniami w${\ Displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \\setminus\,}$${\ Displaystyle X.}$

Generalnie operator wewnętrzny nie dojeżdża ze związkami. Jednak w kompletnej przestrzeni metrycznej obowiązuje następujący wynik:

Powyższy wynik sugeruje, że każda pełna przestrzeń metryczna jest przestrzenią Baire'a .

Na zewnątrz zestawu

( Topologiczna ) zewnętrzne z podzbioru przestrzeni topologicznej oznaczony lub po prostu jest dopełnieniem zamknięcia : ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ Operatorname {ext} _ {X} S}$${\displaystyle \operatorname {ext} S}$${\displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S: = X \ setminus \ operatorname {cl} _ {X} S}$

chociaż można ją równoważnie zdefiniować w kategoriach wnętrza przez:

${\ Displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S = \ operatorname {int} _ {X} (X \ setminus S)}$

Alternatywnie, wnętrze można zamiast tego zdefiniować w kategoriach zewnętrza przy użyciu ustawionej równości ${\ Displaystyle \ Operatorname {int} _ {X} S}$

${\ Displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S = \ operatorname {ext} _ {X} (X \ setminus S).}$

W konsekwencji tego związku między wnętrzem a zewnętrzem, wiele właściwości zewnętrza można łatwo wydedukować bezpośrednio z właściwości wnętrza i tożsamości zbioru elementarnego . Takie właściwości obejmują: ${\ Displaystyle \ Operatorname {ext} _ {X} S}$${\ Displaystyle \ Operatorname {int} _ {X} S}$

• ${\ Displaystyle \ Operatorname {ext} _ {X} S}$jest otwartym podzbiorem tego, który jest rozłączny od${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S.}$
• Jeśli wtedy${\displaystyle S\subseteq T}$${\ Displaystyle \ operatorname {wew} _ {X} T \ podseteq \ operatorname {wew} _ {X} S.}$
• ${\ Displaystyle \ Operatorname {ext} _ {X} S}$jest równa sumie wszystkich otwartych podzbiorów, które są rozłączne od${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S.}$
• ${\ Displaystyle \ Operatorname {ext} _ {X} S}$jest równy największemu otwartemu podzbiorowi, który jest rozłączny od${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S.}$

W przeciwieństwie do operatora wewnętrznego, nie jest idempotentny , chociaż ma właściwość, że${\ Displaystyle \ Operatorname {ext} _ {X}}$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {int} _ {X} S \ podseteq \ nazwa operatora {wew} _ {X} \ lewo (\ nazwa operatora {wew} _ {X} S \ po prawej).}$

Wnętrze-rozłączne kształty

Czerwone kształty nie są wewnętrznie rozłączne z niebieskim trójkątem. Kształty zielony i żółty są wewnętrznie rozłączne z niebieskim trójkątem, ale tylko żółty kształt jest całkowicie rozłączny z niebieskim trójkątem.

Dwa kształty a i b są nazywane Wnętrze rozłączne jeśli przecięcie ich wnętrza jest pusta. Kształty rozłączne wewnątrz mogą, ale nie muszą przecinać się w swoich granicach.

Zobacz też

• Wnętrze algebraiczne  – Uogólnienie wnętrza topologicznego
• Granica (topologia)
• Zamknięcie (topologia)
• Zewnętrzne (topologia)  — największy otwarty podzbiór znajdujący się „poza” danym podzbiorem.
• Algebra wnętrza
• Twierdzenie o krzywej Jordana  – Podział przez zamkniętą krzywą płaszczyzny na dwa obszary
• Wnętrze quasi-względne  – Uogólnienie wnętrza algebraicznego
• Względne wnętrze  – uogólnienie topologicznego wnętrza

Bibliografia

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topologia ogólna: Rozdziały 1–4 [ Topologie Générale ]. Elementy matematyczne . Berlin Nowy Jork: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Dixmier, Jacques (1984). Ogólna topologia . Teksty licencjackie z matematyki. Tłumaczone przez Berberian, SK Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Császár, Ákos (1978). Ogólna topologia . Tłumaczone przez Császára, Klara. Bristol Anglia: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011 .
• Dugundji, James (1966). Topologia . Boston: Allyn i Bacon. Numer ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Joshi, KD (1983). Wprowadzenie do topologii ogólnej . Nowy Jork: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. 9218750 OCLC  .
• Kelley, John L. (1975). Ogólna topologia . Teksty magisterskie z matematyki . 27 . Nowy Jork: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047 .
• Munkres, James R. (2000). Topologia (wyd. drugie). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . Numer ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schuberta, Horsta (1968). Topologia . Londyn: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753 .
• Wilansky, Albert (17 października 2008) [1970]. Topologia do analizy . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. 227923899 OCLC  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Ogólna topologia (pierwsze wyd.). Mineola, NY : Dover Publikacje . Numer ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .

Zewnętrzne linki

• Wnętrze w PlanetMath .