Podwójna negacja - Double negation

W rachunku zdań , podwójna negacja jest twierdzenie , że państwa, które „Jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, to nie jest przypadek, że oświadczenie nie jest prawdą.” Wyraża się to, mówiąc, że propozycja jest logicznie równoważne do not (nie-A ) lub wzorze A ≡ ~ (~ A) gdzie znak ≡ wyraża logicznej równoważności i znak ~ wyraża negację .

Podobnie jak prawo wyłączonego środka , zasada ta jest uważana za prawo myślenia w logice klasycznej , ale jest zabroniona przez logikę intuicjonistyczną . Zasada została sformułowana jako twierdzenie logiki zdań przez Russella i Whiteheada w Principia Mathematica jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {* 4 \ cdot 13} . \ \ \ vdash . \ p \ \ równoważne \ \ grub. (\ grub. p)}$

„Jest to zasada podwójnej negacji, tzn. zdanie jest równoznaczne z fałszem jego negacji”.

Eliminacja i wprowadzenie

Podwójna eliminacja negacja i podwójne wprowadzenie negacja są dwie ważne zasady wymiany . Są to wnioski, że jeśli A jest prawdziwe, to nie-A jest prawdziwe i na odwrót , że jeśli nie-A jest prawdziwe, to A jest prawdziwe. Reguła pozwala na wprowadzenie lub wyeliminowanie negacji z dowodu formalnego . Zasada opiera się na równoważności np. Fałszem jest, że nie pada. i pada deszcz.

Zasada wprowadzenia podwójnej negacji to:

P P${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$ ${\displaystyle \neg}$${\displaystyle \neg}$

a zasada eliminacji podwójnej negacji to:

${\displaystyle \neg}$${\displaystyle \neg}$P P${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$

Gdzie „ ” jest symbolem metalicznym reprezentującym „może być zastąpiony w dowodzie”. ${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$

W logikach, które mają obie reguły, negacja jest inwolucją .

Notacja formalna

Podwójna negacja wprowadzenie reguły mogą być napisane w Sequent notacji:

${\ Displaystyle P \ vdash \ neg \ neg P}$

Podwójna eliminacja negacja reguła może być zapisany jako:

${\ Displaystyle \ neg \ neg P \ vdash P}$

W formie reguły :

${\ Displaystyle {\ Frac {P} {\ Neg \ Neg P}}}$

oraz

${\ Displaystyle {\ Frac {\ neg \ neg P} {P}}}$

lub jako tautologię (proste zdanie rachunku zdań):

${\ Displaystyle P \ do \ neg \ neg P}$

oraz

${\ Displaystyle \ neg \ neg P \ do P}$

Można je połączyć w jedną dwuwarunkową formułę:

${\ Displaystyle \ neg \ neg P \ leftrightarrow P}$.

Od biconditionality jest stosunek równoważności , każde wystąpienie ¬¬ A w pełni utworzonego wzoru może być zastąpiona przez A , pozostawiając bez zmian wartość logiczną z dobrze utworzonego wzoru.

Podwójna eliminacja ujemna to twierdzenie logiki klasycznej , ale nie logik słabszych, takich jak logika intuicjonistyczna i logika minimalna . Wprowadzenie podwójnej negacji jest twierdzeniem zarówno logiki intuicjonistycznej, jak i logiki minimalnej, podobnie jak . ${\ Displaystyle \ neg \ neg \ neg A \ vdash \ neg A}$

Ze względu na ich konstruktywny charakter, stwierdzenie typu „ Nie jest tak, że nie pada” jest słabsze niż pada. To drugie wymaga dowodu na deszcz, podczas gdy pierwsze wymaga jedynie dowodu, że deszcz nie będzie sprzeczny. To rozróżnienie pojawia się również w języku naturalnym w postaci litotes .

Dowody

W klasycznym systemie rachunku zdań

W systemach dedukcyjnych w stylu Hilberta dla logiki zdań podwójna negacja nie zawsze jest traktowana jako aksjomat (patrz lista systemów Hilberta ) i jest raczej twierdzeniem. Dowód tego twierdzenia opisujemy w systemie trzech aksjomatów zaproponowanym przez Jana Łukasiewicza :

A1. ${\ Displaystyle \ phi \ w lewo (\ psi \ w \ phi \ w prawo)}$

A2. ${\ Displaystyle \ lewo (\ phi \ do \ lewy (\ psi \ prawy strzałka \ xi \ prawy) \ prawy) \ do \ lewy (\ phi \ do \ psi \ prawy) \ do \ lewy (\ phi \ do \xi \w prawo)\w prawo)}$

A3. ${\ Displaystyle \ lewo (\ nie \ phi \ do \ nie \ psi \ w prawo) \ w \ lewo (\ psi \ do \ phi \ w prawo)}$

Posługujemy się tutaj udowodnionym lematem , który nazywamy (L1), oraz dodatkowym, udowodnionym tutaj lematem : ${\displaystyle p\do p}$

(L2) ${\displaystyle p\do ((p\do q)\do q)}$

Najpierw udowodnimy . Krótkość oznaczamy przez φ ₀ . Używamy również wielokrotnie metody hipotetycznego metateorematu sylogizmu jako skrótu dla kilku kroków dowodowych. ${\ Displaystyle \ neg \ neg p \ do p}$${\displaystyle q\do (r\do q)}$

(1)       (przykład (A1))${\displaystyle \varphi _{0}}$

(2)       (przykład (A3))${\ Displaystyle (\ neg \ neg \ varphi _ {0} \ do \ neg \ neg p) \ do (\ neg p \ do \ neg \ varphi _ {0})}$

(3)       (przykład (A3))${\ Displaystyle (\ neg p \ do \ neg \ varphi _ {0}) \ do (\ varphi _ {0} \ do p)}$

(4)       (z (2) i (3) przez hipotetyczne metateoremat sylogizmu)${\ Displaystyle (\ neg \ neg \ varphi _ {0} \ do \ neg \ neg p) \ do (\ varphi _ {0} \ do p)}$

(5)       (przykład (A1))${\ Displaystyle \ neg \ neg p \ do (\ neg \ neg \ varphi _ {0} \ neg \ neg p)}$

(6)       (z (4) i (5) przez hipotetyczne metateoremat sylogizmu)${\ Displaystyle \ neg \ neg p \ do (\ varphi _ {0} \ do p)}$

(7)       (przykład (L2))${\ Displaystyle \ varphi _ {0} \ do ((\ varphi _ {0} \ do p) \ do p)}$

(8)       (z (1) i (7) według modus ponens)${\displaystyle (\varphi _{0}\do p)\do p}$

(9)       (z (6) i (8) przez hipotetyczne metatwierdzenie sylogizmu)${\ Displaystyle \ neg \ neg p \ do p}$

Teraz udowadniamy . ${\ Displaystyle p \ do \ neg \ neg p}$

(1)       (przykład pierwszej części twierdzenia, które właśnie udowodniliśmy)${\ Displaystyle \ neg \ neg \ neg p \ do \ neg p}$

(2)       (przykład (A3))${\ Displaystyle (\ neg \ neg \ neg p \ do \ neg p) \ do (p \ do \ neg \ neg p)}$

(3)       (z (1) i (2) według modus ponens)${\ Displaystyle p \ do \ neg \ neg p}$

I dowód jest kompletny.

Zobacz też

• Tłumaczenie negatywne Gödel-Gentzen

Bibliografia

Bibliografia

• William Hamilton , 1860, Wykłady z metafizyki i logiki, tom. II. Logika; Pod redakcją Henry'ego Mansela i Johna Veitcha , Bostonu, Goulda i Lincolna.
• Christoph Sigwart , 1895, Logika: osąd, koncepcja i wnioskowanie; Wydanie drugie, przetłumaczone przez Helen Dendy , Macmillan & Co. New York.
• Stephen C. Kleene , 1952, Wprowadzenie do metamatematyki , 6. przedruk z poprawkami 1971, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN  0-7204-2103-9 .
• Stephen C. Kleene , 1967, Logika matematyczna , wydanie Dover 2002, Dover Publications, Inc, Mineola NY ISBN  0-486-42533-9
• Alfred North Whitehead i Bertrand Russell , Principia Mathematica do *56 , wydanie drugie 1927, przedruk 1962, Cambridge w University Press.