Sześciokąt - Hexadecagon

Regularny sześciokąt
	Regularny sześciokąt
Rodzaj	Regularny wielokąt
Krawędzie i wierzchołki	16
Symbol Schläfli	{16}, t {8}, tt {4}
Diagram Coxetera	;
Grupa symetrii	Dwuścienny (D 16 ), rząd 2 × 16
Kąt wewnętrzny ( stopnie )	157,5 °
Podwójny wielokąt	Samego siebie
Nieruchomości	Wypukły , cykliczny , równoboczny , izogonalny , izotoksyczny

W matematyce sześciokąt to szesnastoboczny wielokąt .

Regularny sześciokąt

Regularne szesnastokąt foremny jest szesnastokąt foremny, w którym wszystkie kąty są równe i wszystkie boki są przystające. Jego symbolem Schläfli jest {16} i można go skonstruować jako obcięty ośmiokąt , t {8} i dwukrotnie ścięty kwadrat tt {4}. Ścięty sześciokąt , t {16}, to triacontadigon , {32}.

Budowa

Ponieważ 16 = 2 ⁴ ( potęga dwóch ), sześciokąt foremny można skonstruować za pomocą kompasu i linii prostej : było to już znane starożytnym greckim matematykom.

Konstrukcja sześciokąta foremnego
w danym okręgu opisanym

Budowa sześciokąta foremnego
na zadanej długości boku, animacja. (Konstrukcja jest bardzo podobna do konstrukcji ośmiokąta przy danej długości boku ).

Pomiary

Każdy kąt regularnego sześciokąta wynosi 157,5 stopnia , a całkowita miara kąta dowolnego sześciokąta wynosi 2520 stopni.

Obszar regularnego szesnastokąt foremny o długości krawędzi T jest

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A = 4t ^ {2} \ cot {\ Frac {\ pi} {16}} = & 4t ^ {2} \ lewo (1 + {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {4 + 2 {\ sqrt {2}}}} \ right) \\ = & 4t ^ {2} ({\ sqrt {2}} + 1) ({\ sqrt {4-2 {\ sqrt {2} }}} + 1). \ End {aligned}}}

Ponieważ sześciokąt ma liczbę boków, która jest potęgą dwóch , jego pole można obliczyć na podstawie promienia obwodu R przez obcięcie wzoru Viète'a :

{\ Displaystyle A = R ^ {2} \ cdot {\ Frac {2} {1}} \ cdot {\ Frac {2} {\ sqrt {2}}} \ cdot {\ Frac {2} {\ sqrt { 2 + {\ sqrt {2}}}}} = 4R ^ {2} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}.}

Ponieważ obszar okręgu opisanego jest regularnym sześciokątem, zajmuje około 97,45% jego okręgu opisanego. ${\ Displaystyle \ pi R ^ {2},}$

Symetria

Symetria
	14 symetrii regularnego sześciokąta. Linie odbić są niebieskie przez wierzchołki, fioletowe przez krawędzie, a porządki bezwładności podane są w środku. Wierzchołki są kolorowane według ich położenia symetrii.

Regularne szesnastokąt foremny ma dih ₁₆ symetrii, rząd 32 są 4 podgrupy: dwuścienne dih ₈ , dih ₄ , dih ₂ i dih ₁ i 5 cykliczne podgrupy : Z ₁₆ , Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ , a Z ₁ , ostatnie oznacza brak symetrii.

Na regularnym sześciokącie jest 14 różnych symetrii. John Conway określa pełną symetrię jako r32 i żadna symetria nie jest oznaczona jako a1 . Symetrie dwuścienne są podzielone w zależności od tego, czy przechodzą przez wierzchołki ( d dla przekątnej), czy krawędzie ( p dla prostopadłych). Cykliczne symetrie w środkowej kolumnie są oznaczone jako g dla ich centralnych rzędów bezwładności.

Najpopularniejszymi sześciokątami o wysokiej symetrii są d16 , izogonalny sześciokąt zbudowany z ośmiu zwierciadeł może naprzemiennie długie i krótkie krawędzie, oraz p16 , izotoksyczny sześciokąt o równej długości krawędzi, ale wierzchołki naprzemiennie o dwóch różnych kątach wewnętrznych. Te dwie formy są do siebie podwójne i mają połowę porządku symetrii regularnego sześciokąta.

Symetria każdej podgrupy dopuszcza jeden lub więcej stopni swobody dla nieregularnych form. Tylko podgrupa g16 nie ma stopni swobody, ale może być postrzegana jako skierowane krawędzie .

Sekcja

Projekcja 16-kostkowa	112 rozwarstwienie rombów
	Regularny	Izotoksal

Coxeter stwierdza, że każdy zonogon (2 m- kąt, którego przeciwległe boki są równoległe i mają taką samą długość) można podzielić na m ( m -1) / 2 równoległoboki. W szczególności dotyczy to regularnych wielokątów z równomiernie wieloma bokami, w którym to przypadku wszystkie równoległoboki są rombami. Dla zwykłego szesnastokąt foremny , m = 8, i mogą być podzielone na 28: 4 pola i 3 zestawy 8 rombów. Ten rozkład opiera się na odwzorowaniu wielokąta Petriego 8-sześcianu , z 28 z 1792 ścian. Lista OEIS : A006245 wylicza liczbę rozwiązań jako 1232944, w tym do 16-krotnych obrotów i form chiralnych w odbiciu.

Rozcięcie na 28 rombów
8-kostka

Pochyl sześciokąt

3 regularne skośne zygzakowate sześciokątne
{8} # {}	{ ⁸ / ₃ } # {}	{ ⁸ / ₅ } # {}

Sześciokąt regularny skośny jest postrzegany jako zygzakowate krawędzie ośmiokątnego antypryzmatu , ośmiokątnego antypryzmatu i oktagramu skrzyżowanego antypryzmatu .

Pochylać szesnastokąt foremny to wielokąt skośny z 24 wierzchołków i krawędzi, ale nie istniejących na tej samej płaszczyźnie. Ogólnie rzecz biorąc, wnętrze takiego sześciokąta nie jest zdefiniowane. Skosu zygzakowaty szesnastokąt foremny ma przemienne wierzchołki dwóch równoległych płaszczyznach.

Regularne pochylać szesnastokąt foremny jest wierzchołek-przechodnia o równych długościach krawędzi. W 3 wymiarach będzie to sześciokąt zygzakowaty skośny i można go zobaczyć w wierzchołkach i bocznych krawędziach ośmiokątnego antypryzmatu o tej samej symetrii D _8d , [2 ⁺ , 16], rząd 32. Oktagramowy antypryzmat , s { 2,16 / 3} i oktagramowy przekreślony antypryzmat , s {2,16 / 5} również mają regularne ośmiokąty skośne.

Wielokąty Petriego

Sześciokąt regularny jest wielokątem Petriego dla wielu wielowymiarowych polytopów, pokazanych w tych skośnych rzutach ortogonalnych , w tym:

₁₅	B ₈		D ₉		2B ₂ (4D)
15-simplex	8-ortoplex	8-kostka	6 ₁₁	1 ₆₁	8-8 duopiramidu	8-8 duopryzm

Powiązane dane

Hexadecagram jest 16 jednostronne wielokąt gwiaździsty, reprezentowany przez symbol {16 / N}. Istnieją trzy regularne wielokąty gwiazd , {16/3}, {16/5}, {16/7}, które używają tych samych wierzchołków, ale łączą co trzeci, piąty lub siódmy punkt. Istnieją również trzy związki: {16/2} jest redukowane do 2 {8} jako dwa ośmiokąty , {16/4} jest redukowane do 4 {4} jako cztery kwadraty i {16/6} jako 2 {8/3 } jako dwa oktagramy , a na koniec {16/8} zostaje zredukowane do 8 {2} jako osiem digonów .

Sześciokąty złożone i gwiazdy
Formularz	Wypukły wielokąt	Złożony	Wielokąt gwiazdy	Złożony
Wizerunek	{16/1} lub {16}	{16/2} lub 2 {8}	{16/3}	{16/4} lub 4 {4}
Kąt wewnętrzny	157,5 °	135 °	112,5 °	90 °
Formularz	Wielokąt gwiazdy	Złożony	Wielokąt gwiazdy	Złożony
Wizerunek	{16/5}	{16/6} lub 2 {8/3}	{16/7}	{16/8} lub 8 {2}
Kąt wewnętrzny	67,5 °	45 °	22,5 °	0 °

Głębsze obcięcia regularnego ośmiokąta i oktagramu mogą tworzyć izogonalne ( przechodnie przez wierzchołki ) pośrednie formy heksadecagramu z równo rozmieszczonymi wierzchołkami i dwiema długościami krawędzi.

Ścięty ośmiokąt to sześciokąt, t {8} = {16}. Prawie ścięty ośmiokąt, odwrócony jak {8/7}, to heksadecagram: t {8/7} = {16/7}. Obcięty oktagram {8/3} to heksadecagram: t {8/3} = {16/3}, a quasi-ścięty oktagram, odwrócony jak {8/5}, to heksadecagram: t {8/5} = {16 / 5}.

Izogonalne obcięcia ośmiokąta i oktagramu
Quasiregular	Izogonalne	Quasiregular
t {8} = {16}		t {8/7} = {16/7}
t {8/3} = {16/3}		t {8/5} = {16/5}

W sztuce

Sześciokątna wieża z Wesela Marii Rafaela

Na początku XVI wieku Rafael jako pierwszy skonstruował perspektywiczny obraz sześciokąta foremnego: wieża na jego obrazie Zaślubiny Marii ma 16 boków, stanowiąc rozwinięcie ośmiobocznej wieży z poprzedniego obrazu Pietro Perugino .

Sześciokątny wzór z Alhambry

Heksadecagramy (16-stronne wielokąty gwiazd ) są zawarte we wzorach Girih w Alhambrze .

Inni

Na Filipinach na lokalnych karnawałach (peryahan) powszechne są diabelskie młyny z maksymalnie 16 miejscami siedzącymi lub gondolami

W Mexico City „Parque del ejecutivo” to mały sześciokątny park, otoczony sześciokątną obwodnicą oraz 16 drogami biegnącymi promieniście na zewnątrz, tworząc w ten sposób większe sześciokąty. Widok Map Google

Nieregularne sześciokąty

Ośmiokątna gwiazda może być postrzegane jako wklęsłą szesnastokąt foremny:

Languages

In other projects