Metryka Lemaître-Tolmana - Lemaître–Tolman metric

Ogólna teoria względności
${\ Displaystyle G_ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ nad c ^ {4}} T_ {\ mu \ nu}}$
Wstęp Historia Sformułowanie matematyczne Testy
Idee fundamentalne Zasada równoważności Szczególna teoria względności Linia światowa Rozmaitość pseudo-Riemanna
Zjawiska Problem Keplera Soczewkowanie grawitacyjne Fale grawitacyjne Przeciąganie ramek Efekt geodezyjny Horyzont zdarzeń Osobliwość Czarna dziura Czas, przestrzeń Diagramy czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego Most Einsteina-Rosena
Równania Formalizmy Równania Zlinearyzowana grawitacja Równania pola Einsteina Friedmann Geodezja Mathisson–Papapetrou–Dixon Hamilton-Jacobi-Einstein Formalizmy ADM BSSN Post-Newtonowski Zaawansowana teoria Teoria Kaluzy-Kleina Grawitacja kwantowa
Rozwiązania Schwarzschild ( wnętrze ) Reissner-Nordström Godel Kerra Kerr–Newman Kasner Lemaître–Tolman Taub-NUT Milne Robertson-Walker pp-fala kurz van Stockum Weyl-Lewis-Papapetrou
Naukowcy Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschilda de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Godel Kołodziej Robertson Bardeen Piechur Kerra Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Rachaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nowy człowiek Yau Thorne inni
Portal fizyczny  Kategoria
v T mi

W fizyce matematycznej metryka Lemaître-Tolmana jest sferycznie symetrycznym rozwiązaniem pyłowym równań pola Einsteina . Po raz pierwszy została odkryta przez Georgesa Lemaître w 1933 i Richarda Tolmana w 1934, a później zbadana przez Hermanna Bondiego w 1947. To rozwiązanie opisuje kulisty obłok pyłu (skończonego lub nieskończonego), który rozszerza się lub zapada pod wpływem grawitacji. Jest również znany jako metryka Lemaître-Tolman-Bondi lub metryka Tolmana .

Detale

Miarą jest:

${\ Displaystyle \ operatorname {d} s ^ {2} = \ operatorname {d} t ^ {2} - {\ Frac {(R ') ^ {2}} {1 + 2 E}} \ operatorname {d} r ^{2}-R^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}$

gdzie:

${\ Displaystyle \ operatorname {d} \ Omega ^ {2} = \ operatorname {d} \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \ \ operatorname {d} \ phi ^ {2}}$

${\ Displaystyle R = R (t, r) ~ ~~~~~~~~ R' = \ częściowy R / \ częściowy R ~ ~~~~~~~~ E = E (r)> - { \frac {1}{2}}}$

Sprawa się porusza, co oznacza, że ​​jej 4-prędkość wynosi:

${\ Displaystyle u ^ {a} = \ delta _ {0} ^ {a} = (1,0,0,0)}$

więc współrzędne przestrzenne są związane z cząsteczkami kurzu. ${\displaystyle (r,\theta,\phi)}$

Ciśnienie wynosi zero (stąd pył ), gęstość wynosi

${\ Displaystyle 8 \ pi \ rho = {\ Frac {2 M '}{R ^ {2} \ R '}}}$

a równanie ewolucji to

${\ Displaystyle {\ kropka {R}} ^ {2} = {\ Frac {2 M} {R}} + 2E}$

gdzie

${\ Displaystyle {\ kropka {R}} = \ częściowy R / \ częściowy t}$

Równanie ewolucji ma trzy rozwiązania, w zależności od znaku , ${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle E> 0: ~~~~~~~~~ R = {\ Frac {M} {2E}} (\ cosh \ eta -1) ~, ~~~~~~~ (\ sinh \ eta -\eta )={\frac {(2E)^{3/2}(t-t_{B})}{M}}~;}$

${\ Displaystyle E = 0: ~~~~~~~~ R = \ lewo ({\ Frac {9M (t-t_ {B}) ^ {2}} {2}} \ prawej) ^ {1/3 }~;}$

${\ Displaystyle E <0: ~~~~~~~~~ R = {\ Frac {M} {2 | E |}} (1-\ cos \ eta) ~ ~~~~~~~~ (\ eta -\sin \eta )={\frac {(2|E|)^{3/2}(t-t_{B})}{M}}~;}$

które są znane odpowiednio jako ewolucje hiperboliczne , paraboliczne i eliptyczne .

Znaczenia trzech arbitralnych funkcji, które zależą tylko od, to: ${\ Displaystyle r}$

• ${\ Displaystyle E (r)}$– zarówno lokalny parametr geometrii, jak i energia na jednostkę masy cząstek pyłu przy współbieżnym promieniu współrzędnej ,${\ Displaystyle r}$
• ${\ Displaystyle M(r)}$– masa grawitacyjna w poruszającej się sferze w promieniu ,${\ Displaystyle r}$
• ${\displaystyle t_{B}(r)}$– czas wielkiego wybuchu dla linii świata w promieniu .${\ Displaystyle r}$

Szczególnymi przypadkami są stała metryka Schwarzschilda we współrzędnych geodezyjnych (ustawienie prowadzi do metryki Schwarzschilda we współrzędnych Novikova, natomiast ustawienie prowadzi do metryki Schwarzschilda we współrzędnych Lemaître'a ) oraz metryka Friedmanna-Lemaître-Robertsona-Walkera , np. stała dla przypadku płaskiego. ${\displaystyle M=}$${\ Displaystyle 2E = -1/(1 + r ^ {2})}$${\ Displaystyle 2E = 0}$${\ Displaystyle E = 0 ~ ~ ~ t_ {B} =}$

Zobacz też

• Współrzędne Lemaître .a
• Wprowadzenie do matematyki ogólnej teorii względności
• Tensor naprężenia i energii
• Tensor metryczny (ogólna teoria względności)
• Relatywistyczny moment pędu

Bibliografia

• Bondiego, Hermanna (1947). „Modele sferycznie symetryczne w ogólnej teorii względności” . Miesięczne zawiadomienia Królewskiego Towarzystwa Astronomicznego . 107 (5-6): 410-425. Kod Bib : 1947MNRAS.107..410B . doi : 10,1093/mnras/107,5-6,410 .
• Krasiński, A., Niejednorodne modele kosmologiczne , (1997) Cambridge UP, ISBN  0-521-48180-5
• Lemaître, G., Ann. Soc. Nauka. Bruksela, A53, 51 (1933).
• Tolman, Richard C. (1934). „Wpływ niejednorodności na modele kosmologiczne” . Proc. Natl. Acad. Nauka . Narodowa Akademia Nauk USA. 20 (3): 169-76. Kod Bibcode : 1934PNAS...20..169T . doi : 10.1073/pnas.20.3.169 . PMC  1076370 . PMID  16587869 .