Dokładne rozwiązania w ogólnej teorii względności - Exact solutions in general relativity

W ogólnej teorii względności , dokładne rozwiązanie jest rozwiązaniem z Równanie Einsteina , którego pochodzenie nie invoke założeń upraszczających, choć punktem wyjścia dla tego wyprowadzenia mogą być wyidealizowany przypadek jak idealnie kulistego kształtu materii. Matematycznie znalezienie dokładnego rozwiązania oznacza znalezienie rozmaitości Lorentzowskiej wyposażonej w pola tensorowe modelujące stany zwykłej materii, takiej jak płyn , lub klasyczne pola niegrawitacyjne, takie jak pole elektromagnetyczne .

Tło i definicja

Te pola tensorowe powinny podlegać odpowiednim prawom fizyki (na przykład każde pole elektromagnetyczne musi spełniać równania Maxwella ). Zgodnie ze standardową recepturą, która jest szeroko stosowana w fizyce matematycznej , te pola tensorowe powinny również powodować określony wkład do tensora naprężenia-energii . (Pole jest opisane przez Lagrange'a , zmieniające się w odniesieniu do pola powinno dać równania pola, a zmieniające się w odniesieniu do metryki powinno dać wkład naprężenia-energia należny do pola.) ${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta}}$

Wreszcie, gdy wszystkie wkłady do tensora naprężenie-energia zostaną zsumowane, wynik musi być rozwiązaniem równań pola Einsteina (zapisanych tutaj w jednostkach zgeometryzowanych , gdzie prędkość światła c = stała grawitacyjna G = 1)

{\ Displaystyle G ^ {\ alfa \ beta} = 8 \ pi \ T ^ {\ alfa \ beta}.}

W powyższych równaniach pola jest tensor Einsteina , obliczony jednoznacznie z tensora metrycznego, który jest częścią definicji rozmaitości Lorentzowskiej. Ponieważ podanie tensora Einsteina nie określa w pełni tensora Riemanna , ale pozostawia tensor Weyla nieokreślony (patrz rozkład Ricciego ), równanie Einsteina można uznać za rodzaj warunku zgodności: geometria czasoprzestrzeni musi być zgodna z ilością i ruchem dowolna materia lub pola niegrawitacyjne, w tym sensie, że bezpośrednia obecność „tu i teraz” niegrawitacyjnej energii-pędu powoduje proporcjonalną ilość krzywizny Ricciego „tu i teraz”. Co więcej, biorąc kowariantne pochodne równań pola i stosując tożsamości Bianchi'ego , okazuje się, że odpowiednio zmienna ilość/ruch niegrawitacyjnej energii-pędu może powodować propagację zmarszczek krzywizny jako promieniowanie grawitacyjne , nawet w obszarach próżni , które zawierają bez względu na pola nie grawitacyjne. ${\ Displaystyle G ^ {\ alfa \ beta}}$

Trudności z definicją

Każda rozmaitość Lorentza jest rozwiązaniem równania pola Einsteina dla pewnej prawej strony. Ilustruje to następująca procedura:

weź dowolną rozmaitość Lorentza , oblicz jej tensor Einsteina , który jest operacją czysto matematyczną ${\ Displaystyle G ^ {\ alfa \ beta}}$
dzielić przez $8\pi$
zadeklaruj powstałe symetryczne pole tensorowe drugiego rzędu jako tensor naprężenia-energii . ${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta}}$

To pokazuje, że istnieją dwa uzupełniające się sposoby wykorzystania ogólnej teorii względności:

Można ustalić formę tensora naprężenie-energia (np. z pewnych przyczyn fizycznych) i badać rozwiązania równań Einsteina z taką prawą stroną (na przykład, jeśli tensor naprężenia-energii zostanie wybrany jako ten z idealnego płyn, sferycznie symetryczne rozwiązanie może służyć jako model gwiazdy )
Alternatywnie można ustalić pewne właściwości geometryczne czasoprzestrzeni i poszukać źródła materii, które mogłoby je dostarczyć. To właśnie robili kosmolodzy od 2000 roku: zakładają, że Wszechświat jest jednorodny, izotropowy i przyspieszający i próbują zrozumieć, jaka materia (zwana ciemną energią ) może podtrzymywać taką strukturę.

W pierwszym podejściu domniemany tensor naprężenia i energii musi powstać w standardowy sposób z „rozsądnego” rozkładu materii lub pola niegrawitacyjnego. W praktyce pojęcie to jest dość jasne, zwłaszcza jeśli ograniczymy dopuszczalne pola niegrawitacyjne do jedynego znanego w 1916 roku pola elektromagnetycznego . Idealnie jednak chcielibyśmy mieć pewną charakterystykę matematyczną, która określa jakiś czysto matematyczny test, który możemy zastosować do dowolnego domniemanego „tensora napięcia i energii”, który przepuszcza wszystko, co może wyniknąć z „rozsądnego” scenariusza fizycznego, i odrzuca wszystko inne. Niestety nie jest znana taka charakterystyka. Zamiast tego, mamy ropy testy znane jako warunki energetyczne , które są podobne do wprowadzania ograniczenia w zakresie wartości własnych oraz wektorów własnych o operatora liniowego . Z jednej strony warunki te są zbyt liberalne: dopuszczają „rozwiązania”, w które prawie nikt nie wierzy, że są fizycznie rozsądne. Z drugiej strony mogą być zbyt restrykcyjne: najpopularniejsze warunki energetyczne są najwyraźniej naruszane przez efekt Casimira .

Einstein dostrzegł także inny element definicji rozwiązania dokładnego: powinna to być rozmaitość lorentzowska (spełniająca dodatkowe kryteria), czyli rozmaitość gładka . Ale w pracy z ogólną teorią względności bardzo przydatne okazuje się dopuszczenie rozwiązań, które nie wszędzie są gładkie; przykłady obejmują wiele rozwiązań stworzonych przez dopasowanie idealnego płynnego rozwiązania wewnętrznego do próżniowego rozwiązania zewnętrznego i impulsowych fal płaskich. Po raz kolejny twórcze napięcie między odpowiednio elegancją i wygodą okazało się trudne do zadowalającego rozwiązania.

Oprócz takich lokalnych obiekcji, mamy znacznie trudniejszy problem, że istnieje bardzo wiele dokładnych rozwiązań, które lokalnie nie mogą budzić zastrzeżeń, ale globalnie wykazują podejrzane cechy, takie jak zamknięte krzywe czasopodobne lub struktury z punktami oddzielenia („światy spodni”). Niektóre z najbardziej znanych dokładnych rozwiązań mają w rzeczywistości dziwny charakter na całym świecie.

Rodzaje dokładnego rozwiązania

Wiele dobrze znanych dokładnych rozwiązań należy do jednego z kilku typów, w zależności od zamierzonej fizycznej interpretacji tensora naprężenie-energia:

Rozwiązania próżniowe : ; opisują regiony, w których nie występują pola materii lub pola niegrawitacyjne, ${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta} = 0}$
Roztwory elektropróżniowe : muszą powstawać całkowicie z pola elektromagnetycznego, które rozwiązuje równania Maxwella bez źródła na danej zakrzywionej rozmaitości Lorentza; oznacza to, że jedynym źródłem pola grawitacyjnego jest energia pola (i pęd) pola elektromagnetycznego, ${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta}}$
Roztwory pyłu zerowego : muszą odpowiadać tensorowi naprężenia-energii, który można interpretować jako wynikający z niespójnego promieniowania elektromagnetycznego, bez konieczności rozwiązywania równań pola Maxwella na danej rozmaitości Lorentza, ${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta}}$
Roztwory płynów : muszą powstawać w całości z naprężeń-energii płynu (często uważanego za płyn doskonały ); jedynym źródłem pola grawitacyjnego jest energia, pęd i naprężenie (ciśnienie i naprężenie ścinające) materii zawierającej płyn. ${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta}}$

Oprócz tak dobrze znanych zjawisk, jak płyny czy fale elektromagnetyczne, można rozważać modele, w których pole grawitacyjne jest w całości wytwarzane przez energię pola różnych egzotycznych pól hipotetycznych:

Rozwiązania pól skalarnych : muszą powstawać całkowicie z pola skalarnego (często bezmasowego pola skalarnego); mogą one powstać w klasycznej teorii pola leczenia wiązek mezonów lub jako kwintesencja , ${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta}}$
Rozwiązania lambdavacuum (nie jest to standardowy termin, ale standardowe pojęcie, dla którego nie ma jeszcze nazwy): wywodzi się całkowicie z niezerowej stałej kosmologicznej . ${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta}}$

Jedną z możliwości, której poświęcono niewiele uwagi (być może dlatego, że matematyka jest tak trudna), jest problem modelowania sprężystej bryły . Obecnie wydaje się, że nie są znane dokładne rozwiązania dla tego konkretnego typu.

Poniżej naszkicowaliśmy klasyfikację według interpretacji fizycznej. Rozwiązania mogą być również zorganizowane przy użyciu klasyfikacji Segre'a możliwych symetrii algebraicznych tensora Ricciego :

niezerowe elektropróżni mają typ Segre i grupę izotropową SO(1,1) x SO(2), ${\ Displaystyle \ {\, (1, 1) (11) \}}$
zerowe elektropodciśnienie i zerowe pyły mają typ Segre i grupę izotropową E(2), ${\ Displaystyle \ {\, (2,11) \}}$
płyny doskonałe mają typ Segre i grupę izotropową SO(3), ${\ Displaystyle \ {\, 1, (111) \}}$
Odkurzacze lambda mają typ Segre i grupę izotropową SO(1,3). ${\ Displaystyle \ {\, (1,111) \}}$

Pozostałe typy Segre nie mają szczególnej interpretacji fizycznej i większość z nich nie może odpowiadać żadnemu znanemu typowi wkładu do tensora naprężenie-energia.

Przykłady

Godne uwagi przykłady roztworów próżniowych, roztworów elektropróżniowych itp. są wymienione w specjalistycznych artykułach (patrz poniżej). Rozwiązania te zawierają co najwyżej jeden wkład do tensora energii i pędu , ze względu na określony rodzaj materii lub pola. Istnieje jednak kilka godnych uwagi dokładnych rozwiązań, które zawierają dwa lub trzy wkłady, w tym:

Rozwiązanie NUT-Kerr-Newman-de Sitter zawiera wkłady pola elektromagnetycznego i dodatniej energii próżni, a także rodzaj zaburzania próżni Kerra, który jest określony przez tzw. parametr NUT,
Pył Gödla zawiera wkład bezciśnieniowego płynu doskonałego (pyłu) oraz dodatniej energii próżni.

Konstruowanie rozwiązań

Równania pola Einsteina są układem sprzężonych, nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych. Ogólnie rzecz biorąc, utrudnia to ich rozwiązanie. Niemniej jednak opracowano kilka skutecznych technik uzyskiwania dokładnych rozwiązań.

Najprostszy polega na narzuceniu na tensor metryczny warunków symetrii , takich jak stacjonarność (symetria w czasie przesunięcia ) lub asymetria (symetria w obrocie wokół jakiejś osi symetrii ). Przy wystarczająco sprytnych założeniach tego rodzaju często można zredukować równanie pola Einsteina do znacznie prostszego układu równań, nawet do pojedynczego równania różniczkowego cząstkowego (jak to ma miejsce w przypadku stacjonarnych osiowosymetrycznych rozwiązań próżni, które charakteryzują Ernsta równanie ) lub układ równań różniczkowych zwyczajnych (jak to ma miejsce w przypadku próżni Schwarzschilda ).

To naiwne podejście zwykle działa najlepiej, jeśli używa się pola ramki, a nie podstawy współrzędnych.

Podobnym idea polega imponujące algebraicznych warunki symetrii na tensor Weyla , Ricci tensor lub Riemanna tensor . Są one często określane w terminach klasyfikacji Petrova możliwych symetrii tensora Weyla lub klasyfikacji Segre możliwych symetrii tensora Ricciego. Jak wynika z powyższej dyskusji, takie Ansätze często mają pewną treść fizyczną, chociaż może to nie wynikać z ich matematycznej formy.

Ten drugi rodzaj podejścia symetrii był często używany w formalizmie Newmana-Penrose'a , który wykorzystuje ilości spinoralne do bardziej wydajnego prowadzenia ksiąg rachunkowych.

Nawet po takiej redukcji symetrii zredukowany układ równań jest często trudny do rozwiązania. Na przykład równanie Ernsta jest nieliniowym równaniem różniczkowym cząstkowym nieco przypominającym nieliniowe równanie Schrödingera (NLS).

Przypomnijmy jednak, że grupa konforemna w czasoprzestrzeni Minkowskiego jest grupą symetrii równań Maxwella . Przypomnijmy też, że rozwiązania równania ciepła można znaleźć zakładając skalowanie Ansatz . Pojęcia te są jedynie szczególnymi przypadkami koncepcji symetrii punktowej równania różniczkowego (lub układu równań) przedstawionego przez Sophusa Lie i, jak pokazał Lie, może to stanowić drogę ataku na każde równanie różniczkowe, które ma nietrywialną grupę symetrii. Rzeczywiście, zarówno równanie Ernsta, jak i NLS mają nietrywialne grupy symetrii, a niektóre rozwiązania można znaleźć, wykorzystując ich symetrie. Te grupy symetrii są często nieskończenie wymiarowe, ale nie zawsze jest to użyteczna cecha.

Emmy Noether pokazała, że niewielkie, ale głębokie uogólnienie pojęcia symetrii Liego może zaowocować jeszcze potężniejszą metodą ataku. Okazuje się, że jest to ściśle związane z odkryciem, że niektóre równania, o których mówi się, że są całkowicie całkowalne , podlegają nieskończonej sekwencji praw zachowania . Co ciekawe, zarówno równanie Ernsta (które pojawia się na kilka sposobów w badaniach dokładnych rozwiązań), jak i NLS okazują się całkowicie całkowalne. Są one zatem podatne na rozwiązanie za pomocą technik przypominających odwrotną transformatę rozpraszania, która została pierwotnie opracowana w celu rozwiązania równania Kortewega-de Vriesa (KdV) , nieliniowego równania różniczkowego cząstkowego, które pojawia się w teorii solitonów i które jest również całkowicie całkowalne. Niestety rozwiązania uzyskane tymi metodami często nie są tak ładne, jak by się chciało. Na przykład, w sposób analogiczny do sposobu, w jaki uzyskuje się wielokrotne rozwiązanie solitonowe KdV z rozwiązania pojedynczego solitonowego (które można znaleźć w pojęciu symetrii punktowej Liego), można uzyskać rozwiązanie wielokrotnego obiektu Kerra, ale niestety, ma to pewne cechy, które sprawiają, że jest to fizycznie nieprawdopodobne.

Istnieją również różne przekształcenia (patrz transformacja Belinskiego-Zakharova ), które mogą przekształcić (na przykład) roztwór próżniowy znaleziony innymi sposobami w nowy roztwór próżniowy, lub w roztwór elektropróżniowy lub roztwór płynny. Są one analogiczne do przekształceń Bäcklunda znanych z teorii niektórych równań różniczkowych cząstkowych , w tym kilku znanych przykładów równań solitonowych . Nie jest to przypadek, gdyż zjawisko to jest również związane z pojęciami Noether i Lie dotyczącymi symetrii. Niestety, nawet w przypadku zastosowania do „dobrze rozumianego”, globalnie dopuszczalnego rozwiązania, przekształcenia te często dają rozwiązanie, które jest słabo rozumiane, a ich ogólna interpretacja jest wciąż nieznana.

Istnienie rozwiązań

Biorąc pod uwagę trudność w konstruowaniu wyraźnych małych rodzin rozwiązań, a tym bardziej przedstawianie czegoś w rodzaju „ogólnego” rozwiązania równania pola Einsteina lub nawet „ogólnego” rozwiązania równania pola próżniowego , bardzo rozsądnym podejściem jest próba znalezienia jakościowego właściwości, które obowiązują dla wszystkich roztworów lub przynajmniej dla wszystkich roztworów próżniowych . Jedno z najbardziej podstawowych pytań, jakie można sobie zadać, brzmi: czy istnieją rozwiązania, a jeśli tak, to ile ?

Aby rozpocząć, należy przyjąć odpowiednią początkową preparatu wartość równania pola, co daje dwa nowe układy równań, jeden dając ograniczenie na wstępnych danych , a drugi dając procedurę ewoluuje to wstępne dane do roztworu. Wtedy można udowodnić, że rozwiązania istnieją przynajmniej lokalnie , wykorzystując idee niezbyt odmienne od tych, które spotyka się przy badaniu innych równań różniczkowych.

Aby zorientować się, „ile” rozwiązań możemy optymistycznie oczekiwać, możemy odwołać się do metody liczenia ograniczeń Einsteina . Typowym wnioskiem z tego stylu argumentacji jest to, że ogólne próżniowe rozwiązanie równania pola Einsteina można określić, podając cztery dowolne funkcje trzech zmiennych i sześć dowolnych funkcji dwóch zmiennych. Funkcje te określają dane początkowe, z których można wyewoluować unikalne rozwiązanie próżniowe . (W przeciwieństwie do tego, próżni Ernsta, rodzina wszystkich stacjonarnych osiowosymetrycznych rozwiązań próżni, są określone przez podanie tylko dwóch funkcji dwóch zmiennych, które nie są nawet arbitralne, ale muszą spełniać układ dwóch sprzężonych nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych. Może to dać jakieś wyobrażenie o tym, jak bardzo mała jest typowa „duża” rodzina dokładnych rozwiązań, w wielkim schemacie rzeczy.)

Jednak ta prymitywna analiza daleko odbiega od znacznie trudniejszej kwestii globalnego istnienia rozwiązań. Znane dotychczas globalne rezultaty egzystencji okazują się wiązać z inną ideą.

Twierdzenia o stabilności globalnej

Możemy sobie wyobrazić „zakłócanie” pola grawitacyjnego na zewnątrz jakiegoś izolowanego, masywnego obiektu poprzez „wysyłanie promieniowania z nieskończoności”. Możemy zapytać: co się dzieje, gdy nadchodzące promieniowanie wchodzi w interakcję z polem otoczenia? W podejściu klasycznej teorii perturbacji możemy zacząć od próżni Minkowskiego (lub innego bardzo prostego rozwiązania, takiego jak lambdavacuum de Sittera), wprowadzić bardzo małe perturbacje metryczne i zachować tylko człony do pewnego porządku w odpowiednim rozwinięciu perturbacji – trochę jak ocenianie pewnego rodzaju szeregu Taylora dla geometrii naszej czasoprzestrzeni. To podejście jest zasadniczo ideą stojącą za przybliżeniami postnewtonowskimi używanymi do konstruowania modeli układu grawitacyjnego, takiego jak podwójny pulsar . Jednak rozwinięcia perturbacji generalnie nie są wiarygodne w przypadku kwestii długoterminowego istnienia i stabilności w przypadku równań nieliniowych.

Równanie pełnego pola jest wysoce nieliniowe, więc naprawdę chcemy udowodnić, że próżnia Minkowskiego jest stabilna przy małych perturbacjach, które są traktowane przy użyciu całkowicie nieliniowego równania pola. Wymaga to wprowadzenia wielu nowych pomysłów. Pożądany wynik czasami wyrażana przez hasło, że próżnia jest Minkowskiego nieliniowo stabilne ostatecznie świadczy Demetrios Christodoulou i Sergiu Klainerman tylko w 1993. Analogiczne wyniki są znane zaburzeń lambdavac z de Sittera lambdavacuum ( Helmut Friedrich ) oraz zakłócenia elektryczne próżni Minkowskiego ( Nina Zipser ). W przeciwieństwie do tego, wiadomo, że czasoprzestrzeń anty- de Sitter jest niestabilna w pewnych warunkach.

Twierdzenie o pozytywnej energii

Inną kwestią, którą możemy się martwić, jest to, czy masa-energia netto izolowanego stężenia o dodatniej gęstości masy i energii (i pędu) zawsze daje dobrze zdefiniowaną (i nieujemną) masę netto. Ten wynik, znany jako twierdzenie o dodatniej energii, został ostatecznie udowodniony przez Richarda Schoena i Shing-Tung Yau w 1979 r., którzy poczynili dodatkowe założenie techniczne dotyczące natury tensora naprężenie-energia. Oryginalny dowód jest bardzo trudny; Edward Witten niebawem przedstawił znacznie krótszy „dowód fizyka”, który został przez matematyków uzasadniony – posługując się kolejnymi bardzo trudnymi argumentami. Roger Penrose i inni przedstawili również alternatywne argumenty za wariantami oryginalnego twierdzenia o dodatniej energii.

Zobacz też

Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metryka
Klasyfikacja Pietrowa , dla symetrii algebraicznych tensora Weyla

Bibliografia

Dalsza lektura

Krasiński A. (1997). Niejednorodne modele kosmologiczne . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-48180-5.
MacCallum, MAH (2006). „Znalezienie i zastosowanie dokładnych rozwiązań równań Einsteina”. Materiały z konferencji AIP . 841 . s. 129–143. arXiv : gr-qc/0601102 . Kod Bib : 2006AIPC..841..129M . doi : 10.1063/1.2218172 .Aktualny artykuł przeglądowy, ale zbyt krótki w porównaniu z artykułami przeglądowymi Bičáka czy Bonnor et al. (patrz poniżej).
Dokładne rozwiązania równań Einsteina Malcolm AH MacCallum Scholarpedia , 8(12):8584. doi:10.4249/scholarpedia.8584
Rendall, Alan M. „Lokalne i globalne twierdzenia o istnieniu dla równań Einsteina” . Żywe recenzje w teorii względności . Źródło 11 sierpnia 2005 . Dokładny i aktualny artykuł przeglądowy.
Friedrich, Helmut (2005). „Czy ogólna teoria względności jest 'zasadniczo rozumiana'?”. Annalen der Physik . 15 : 84–108. arXiv : gr-qc/0508016 . Kod Bib : 2006AnP...518...84F . doi : 10.1002/andp.200510173 . Doskonała i bardziej zwięzła recenzja.
Bičák, Jiří (2000). „Wybrane dokładne rozwiązania równań pola Einsteina: ich rola w ogólnej teorii względności i astrofizyce”. Wykł. Uwagi Fiz . Notatki do wykładów z fizyki. 540 : 1–126. arXiv : gr-qc/0004031 . doi : 10.1007/3-540-46580-4_1 . Numer ISBN 978-3-540-67073-5. Doskonała nowoczesna ankieta.
Bonnor, WB; Griffith, JB; MacCallum, MAH (1994). „Fizyczna interpretacja próżniowych rozwiązań równań Einsteina. Część II. Rozwiązania zależne od czasu”. gen. rel. Grav . 26 (7): 637–729. Kod Bibcode : 1994GReGr..26..687B . doi : 10.1007/BF02116958 .
Bonnor, WB (1992). „Fizyczna interpretacja próżniowych rozwiązań równań Einsteina. Część I. Rozwiązania niezależne od czasu”. gen. rel. Grav . 24 (5): 551–573. Kod Bibcode : 1992GReGr..24..551B . doi : 10.1007/BF00760137 . Mądra recenzja, pierwsza z dwóch części.
Griffiths, JB (1991). Zderzające się fale płaskie w ogólnej teorii względności . Oksford: Clarendon Press . Numer ISBN 0-19-853209-1. Ostateczne źródło informacji o zderzających się falach płaskich, ale także przydatne dla każdego, kto jest zainteresowany innymi dokładnymi rozwiązaniami. dostępne online przez autora
Hoenselaers, C.; Dietz, W. (1985). Rozwiązania równań Einsteina: techniki i wyniki . Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 3-540-13366-6.
Ehlers, Jürgen; Kundta, Wolfganga (1962). „Dokładne rozwiązania równań pola grawitacyjnego”. W Witten, L. (red.). Grawitacja: wprowadzenie do aktualnych badań . Nowy Jork: Wiley. s. 49-101. Klasyczny przegląd, zawierający ważne oryginalne prace, takie jak klasyfikacja symetrii próżniowych czasoprzestrzeni fal pp.
Stefani, Hans; Dietricha Kramera; Malcolma MacCalluma; Cornelius Hoenselaers; Eduarda Herlta (2009). Dokładne rozwiązania równań pola Einsteina (wyd. 2). Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0-521-46702-5.

Languages

In other projects