Metryka Gödla - Gödel metric

Ogólna teoria względności
${\ Displaystyle G_ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ nad c ^ {4}} T_ {\ mu \ nu}}$
Wstęp Historia Sformułowanie matematyczne Testy
Idee fundamentalne Zasada równoważności Szczególna teoria względności Linia światowa Rozmaitość pseudo-Riemanna
Zjawiska Problem Keplera Soczewkowanie grawitacyjne Fale grawitacyjne Przeciąganie ramek Efekt geodezyjny Horyzont zdarzeń Osobliwość Czarna dziura Czas, przestrzeń Diagramy czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego Most Einsteina-Rosena
Równania Formalizmy Równania Zlinearyzowana grawitacja Równania pola Einsteina Friedmann Geodezja Mathisson–Papapetrou–Dixon Hamilton-Jacobi-Einstein Formalizmy ADM BSSN Post-Newtonowski Zaawansowana teoria Teoria Kaluzy-Kleina Grawitacja kwantowa
Rozwiązania Schwarzschild ( wnętrze ) Reissner-Nordström Godel Kerra Kerr–Newman Kasner Lemaître–Tolman Taub-NUT Milne Robertson-Walker pp-fala kurz van Stockum Weyl-Lewis-Papapetrou
Naukowcy Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschilda de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Godel Kołodziej Robertson Bardeen Piechur Kerra Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Rachaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nowy człowiek Yau Thorne inni
Portal fizyczny  Kategoria
v T mi

Gödel metryka jest dokładne rozwiązanie z Einsteina równania pola , w którym tensor naprężeń energii zawiera dwa terminy pierwszy reprezentujące gęstość materii jednorodnej dystrybucji zawirowania cząstek pyłu ( roztwór pyłu ) i drugich powiązanych z niezerowym Kosmologiczny stała (patrz rozwiązanie lambdavacuum ). Jest również znany jako rozwiązanie Gödla lub wszechświat Gödla .

To rozwiązanie ma wiele niezwykłych właściwości — w szczególności istnienie zamkniętych krzywych czasopodobnych , które umożliwiłyby podróżowanie w czasie we wszechświecie opisanym przez rozwiązanie. Jego definicja jest nieco sztuczna, ponieważ wartość stałej kosmologicznej musi być starannie dobrana, aby dopasować gęstość ziaren pyłu, ale ta czasoprzestrzeń jest ważnym przykładem pedagogicznym.

Rozwiązanie znalazł w 1949 roku Kurt Gödel .

Definicja

Jak każda inna czasoprzestrzeń Lorentza , rozwiązanie Gödla przedstawia tensor metryczny w postaci jakiegoś lokalnego wykresu współrzędnych . Być może najłatwiej jest zrozumieć wszechświat Gödla za pomocą cylindrycznego układu współrzędnych (przedstawionego poniżej), ale ten artykuł wykorzystuje wykres, którego Gödel pierwotnie używał. Na tym wykresie metryka (lub równoważnie element linii ) to

${\ Displaystyle g = {\ Frac {1} {2 \ omega ^ {2}}} \ lewo [- (dt + e ^ {x} \ dy) ^ {2} + dx ^ {2} + {\ tfrac {1}{2}}e^{2x}\,dy^{2}+dz^{2}\right],\qquad -\infty <t,x,y,z<\infty ,}$

gdzie jest niezerową rzeczywistą stałą, która okazuje się być prędkością kątową otaczających ziaren pyłu wokół osi y , mierzoną przez „niewirującego” obserwatora jadącego jednym z ziaren pyłu. „Brak wirowania” oznacza, że ​​obserwator nie odczuwa sił odśrodkowych, ale w tym układzie współrzędnych faktycznie obracałby się wokół osi równoległej do osi y . Jak widać, ziarna pyłu pozostają na stałych wartościach x , y i z . Ich gęstość na tym wykresie współrzędnych wzrasta wraz z x , ale ich gęstość we własnych układach odniesienia jest wszędzie taka sama. ${\ Displaystyle \ omega}$

Nieruchomości

Do badania właściwości rozwiązania Gödla można przyjąć pole ramki (podwójne do coframe odczytanej metryki jak podano powyżej),

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = {\ sqrt {2}} \ omega \ \ częściowy _ {t}}$

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {1} = {\ sqrt {2}} \ omega \ \ częściowy _ {x}}$

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {2} = {\ sqrt {2}} \ omega \ \ częściowy _ {y}}$

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {3} = 2 \ omega \, \ lewo (\ exp (-x) \, \ częściowy _ {z} - \ częściowy _ {t} \ po prawej).}$

Rama ta określa rodzinę obserwatorów inercyjnych, którzy „poruszają się z ziarnami pyłu”. Jednak obliczanie pochodnych Fermiego Walker względem pokazuje, że ramy przestrzenne obracających się z prędkością kątową . Wynika z tego, że „niewirująca rama inercyjna” poruszająca się z cząsteczkami kurzu jest ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$${\displaystyle -\omega}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0} = {\vec {e}}_{0}}$

${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {1} = \ cos (\ omega t) \ {\ vec {e}} _ {1} - \ grzech (\ omega t) \ {\ vec {e }}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\vec {e}}_{2}}$

${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {3} = \ grzech (\ omega t) \ {\ vec {e}} _ {1} + \ cos (\ omega t) \ {\ vec {e }}_{3}.}$

Tensor Einsteina

Składowe tensora Einsteina (w odniesieniu do jednej z powyższych ramek) to

${\ Displaystyle G ^ {{\ kapelusz {a}} {\ kapelusz {b}}} = \ omega ^ {2} \ operatorname {diag} (-1,1,1,1) + 2 \ omega ^ {2 }\nazwa operatora {diag} (1,0,0,0).}$

Tutaj pierwszy składnik jest charakterystyczny dla roztworu lambdavacuum, a drugi składnik jest charakterystyczny dla bezciśnieniowego doskonałego roztworu płynu lub pyłu. Stała kosmologiczna jest starannie dobierana, aby częściowo zniwelować gęstość materii pyłu.

Topologia

Czasoprzestrzeń Gödla jest rzadkim przykładem „regularnego” (bez osobliwości) rozwiązania równania pola Einsteina. Oryginalny wykres Gödla (podany tutaj) jest geodezyjnie kompletny i wolny od osobliwości; dlatego jest to wykres globalny, a czasoprzestrzeń jest homeomorficzna z R ⁴ , a zatem jest po prostu połączona.

Niezmienniki krzywizny

W każdej lorentzowskiej czasoprzestrzeni tensor Riemanna czwartego rzędu jest operatorem wieloliniowym na czterowymiarowej przestrzeni wektorów stycznych (w pewnym przypadku), ale w tym przypadku jest to operator liniowy na sześciowymiarowej przestrzeni dwuwektorów . W związku z tym ma charakterystyczny wielomian , którego korzeniami są wartości własne . W czasoprzestrzeni Gödla te wartości własne są bardzo proste:

• potrójna wartość własna zero,
• podwójna wartość własna ,${\ Displaystyle - \ omega ^ {2}}$
• pojedyncza wartość własna .${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$

Zabijające wektory

Ta czasoprzestrzeń przyznaje się pięć-wymiarowej algebry Liego z Killing wektorami , które mogą być generowane przez „ tłumaczenia czasu ” , dwie „przekładów przestrzennych” , a także dwóch kolejnych pól Zabijanie wektorowej: ${\ Displaystyle \ częściowe _ {t}}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {y}, \; \ częściowe _ {z}}$

${\ Displaystyle \ częściowe _ {x}-z \, \ częściowe _ {z}}$

oraz

${\ Displaystyle -2 \ exp (-x) \ \ częściowy _ {t} + z \ \ częściowy _ {x} + \ lewo (\ exp (-2x) -z ^ {2}/2 \ po prawej) \,\częściowe _{z}.}$

Grupa izometryczna działa „przechodnie” (ponieważ możemy dokonywać translacji w , a korzystając z czwartego wektora możemy również poruszać się wzdłuż ), więc czasoprzestrzeń jest „jednorodna”. Nie jest jednak „izotropowy”, jak widać. ${\displaystyle t,y,z}$${\displaystyle x}$

Z generatorów jasno wynika, że ​​plasterki dopuszczają przechodnią abelową trójwymiarową grupę transformacji , więc iloraz rozwiązania można zinterpretować jako stacjonarne rozwiązanie cylindrycznie symetryczne. Plasterki dopuszczają akcję SL(2, R ) , a plastry dopuszczają Bianchi III (por. czwarte pole wektora zabijania). Można to powtórzyć, mówiąc, że grupa symetrii obejmuje trójwymiarowe podgrupy, przykłady typu Bianchi I, III i VIII. Cztery z pięciu wektorów zabijania, jak również tensor krzywizny, nie zależą od współrzędnej y. Rozwiązanie Gödla jest iloczynem kartezjańskim czynnika R z trójwymiarową rozmaitością Lorentza ( sygnatura −++). ${\displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle y=y_{0}}$${\displaystyle t=t_{0}}$

Można wykazać, że rozwiązanie Gödla jest, aż do lokalnej izometrii , jedynym doskonałym płynnym rozwiązaniem równania pola Einsteina dopuszczającym pięciowymiarową algebrę Liego wektorów Killinga.

Typ Pietrowa i rozkład Bela

Weyl napinacz roztworu Gödla ma typu Petrov D . Oznacza to, że dla odpowiednio dobranego obserwatora siły pływowe mają postać kulombowska .

Aby bardziej szczegółowo zbadać siły pływowe, rozkład Bela tensora Riemanna można obliczyć na trzy części: tensor pływowy lub elektrograwitacyjny (który reprezentuje siły pływowe), tensor magnetograwitacyjny (który reprezentuje siły spinowo-spinowe działające na wirujące cząstki testowe oraz inne efekty grawitacyjne analogiczne do magnetyzmu) oraz tensor topograwitacyjny (który reprezentuje przestrzenne krzywizny przekrojowe).

Obserwatorzy wędrujący z drobinkami kurzu stwierdzają, że tensor pływów (w odniesieniu do tego , które składowe oceniane w naszym kadrze) ma postać ${\ Displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {e}} _ {0}}$

${\ Displaystyle {E \ lewo [{\ vec {u}} \ prawo]} _ {{\ kapelusz {m}} {\ kapelusz {n}}} = \ omega ^ {2} \ operatorname {diag} (1 ,0,1).}$

Oznacza to, że mierzą izotropowe napięcie pływowe prostopadłe do wyróżnionego kierunku . ${\ Displaystyle \ częściowe _ {y}}$

Tensor grawitomagnetyczny znika identycznie

${\ Displaystyle {B \ lewo [{\ vec {u}} \ prawo]} _ {{\ kapelusz {m}} {\ kapelusz {n}}} = 0.}$

Jest to artefakt niezwykłych symetrii tej czasoprzestrzeni i sugeruje, że domniemany "obrót" pyłu nie ma efektów grawitomagnetycznych zwykle związanych z polem grawitacyjnym wytwarzanym przez obracającą się materię.

Głównymi niezmiennikami Lorentza tensora Riemanna są:

${\ Displaystyle R_ {abcd} \ R ^ {abcd} = 12 \ omega ^ {4} \; R_ {abcd} {{} ^ {\ gwiazda} R} ^ {abcd} = 0.}$

Zniknięcie drugiego niezmiennika oznacza, że ​​niektórzy obserwatorzy nie mierzą grawitomagnetyzmu, co jest zgodne z tym, co właśnie zostało powiedziane. Fakt, że pierwszy niezmiennik (niezmiennik Kretschmanna ) jest stały, odzwierciedla jednorodność czasoprzestrzeni Gödla.

Sztywna rotacja

Podane powyżej pola ramek są zarówno bezwładnościowe, jak i wektor wirowości kongruencji geodezyjnej w czasie zdefiniowany przez czasowe wektory jednostkowe ${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {0}} {\ vec {e}} _ {0}=0}$

${\displaystyle -\omega {\vec {e}}_{2}}$

Oznacza to, że linie świata pobliskich cząsteczek kurzu skręcają się wokół siebie. Co więcej, tensor ścinania kongruencji znika, więc cząstki pyłu wykazują sztywną rotację. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Efekty optyczne

Jeśli badany jest stożek światła przeszłego danego obserwatora, można stwierdzić, że geodezyjne zerowe poruszają się prostopadle do spirali do wewnątrz w kierunku obserwatora, tak że patrząc promieniście widzi inne ziarna pyłu w pozycjach progresywnie opóźnionych. Jednak rozwiązanie jest stacjonarne, więc mogłoby się wydawać, że obserwator jadący na ziarnku pyłu nie zobaczy innych wirujących wokół siebie. Przypomnijmy jednak, że podczas gdy pierwsza podana powyżej klatka (the ) wydaje się statyczna na wykresie, pochodne Fermi-Walkera pokazują, że w rzeczywistości kręci się w stosunku do żyroskopów. Druga klatka ( ) wydaje się wirować na wykresie, ale jest stabilizowana żyroskopowo, a niewirujący obserwator inercyjny jadący na ziarnku pyłu rzeczywiście zobaczy inne ziarna pyłu obracające się zgodnie z ruchem wskazówek zegara z prędkością kątową wokół jego osi symetrii. Okazuje się, że dodatkowo obrazy optyczne są rozszerzane i ścinane w kierunku obrotu. ${\ Displaystyle \ częściowe _ {y}}$${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {j}}$${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {j}}$${\ Displaystyle \ omega}$

Jeśli niewirujący obserwator inercyjny patrzy wzdłuż swojej osi symetrii, widzi swoich współosiowych, niewirujących, inercyjnych rówieśników najwyraźniej nie obracających się względem niego, jak można by się spodziewać.

Kształt absolutnej przyszłości

Według Hawkinga i Ellisa, kolejną niezwykłą cechą tej czasoprzestrzeni jest fakt, że jeśli nieistotna współrzędna y jest stłumiona, światło emitowane ze zdarzenia na linii świata danej cząstki pyłu porusza się spiralnie na zewnątrz, tworzy kolisty wierzchołek, a następnie spiralnie do wewnątrz. i ponownie zbiega się w kolejnym wydarzeniu na linii świata pierwotnej cząstki pyłu. Oznacza to, że obserwatorzy patrzący prostopadle do kierunku mogą widzieć tylko w skończonej odległości, a także widzieć siebie we wcześniejszym czasie. ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$

Wierzchołek jest niegeodezyjną zamkniętą krzywą zerową. (Zobacz bardziej szczegółowe omówienie poniżej, używając alternatywnego wykresu współrzędnych.)

Zamknięte krzywe czasowe

Ze względu na jednorodność czasoprzestrzeni i wzajemne skręcanie się naszej rodziny geodezji czasopodobnych, jest mniej lub bardziej nieuniknione, że czasoprzestrzeń Gödla powinna mieć zamknięte krzywe czasopodobne (CTC). Rzeczywiście, istnieją CTC w każdym wydarzeniu w czasoprzestrzeni Gödla. Wydaje się, że ta przyczynowa anomalia była uważana za cały punkt modelu przez samego Gödla, który najwyraźniej starał się udowodnić i prawdopodobnie udało mu się dowieść, że równania czasoprzestrzeni Einsteina nie są zgodne z tym, czym intuicyjnie rozumiemy czas (tj. że przemija, a przeszłość już nie istnieje, stanowisko, które filozofowie nazywają prezentyzmem , podczas gdy Gödel wydaje się argumentować za czymś bardziej podobnym do filozofii wieczności ), podobnie jak odwrotnie, dzięki swoim twierdzeniom o niezupełności udało mu się wykazać, że intuicyjne koncepcje matematyczne nie może być w pełni opisany przez formalne matematyczne systemy dowodowe. Zobacz książkę Świat bez czasu .

Einstein był świadomy rozwiązania Gödla i skomentował w Albert Einstein: Philosopher-Scientist, że jeśli istnieje seria powiązanych przyczynowo zdarzeń, w których „seria jest zamknięta sama w sobie” (innymi słowy, krzywa zamknięta w czasie), to sugeruje że nie ma dobrego fizycznego sposobu na określenie, czy dane wydarzenie w serii miało miejsce „wcześniej” czy „później” niż inne wydarzenie w serii:

W takim przypadku rozróżnienie „wcześniej-później” zostaje porzucone na rzecz punktów świata, które w kosmologicznym sensie są od siebie odległe i powstają te paradoksy dotyczące kierunku związku przyczynowego, o których mówił pan Gödel.

Takie kosmologiczne rozwiązania równań grawitacyjnych (bez zanikającej stałej A) znalazł pan Gödel. Interesujące będzie rozważenie, czy nie można ich wykluczyć ze względów fizycznych.

Globalnie niehiperboliczny

Gdyby czasoprzestrzeń Gödla dopuszczała jakiekolwiek bezgraniczne hiperplastyki czasowe (np. powierzchnia Cauchy'ego ), każdy taki CTC musiałby przecinać ją nieparzystą liczbę razy, co przeczy faktowi, że czasoprzestrzeń jest po prostu połączona. Dlatego ta czasoprzestrzeń nie jest globalnie hiperboliczna .

Wykres cylindryczny

W tej sekcji przedstawiamy kolejny wykres współrzędnych dla rozwiązania Gödla, w którym niektóre z wyżej wymienionych cech są łatwiejsze do zauważenia.

Pochodzenie

Gödel nie wyjaśnił, jak znalazł swoje rozwiązanie, ale w rzeczywistości istnieje wiele możliwych wyprowadzeń. Tutaj naszkicujemy jeden, a jednocześnie zweryfikujemy niektóre z powyższych twierdzeń.

Zacznij od prostej ramki na wykresie cylindrycznym , zawierającej dwie nieokreślone funkcje współrzędnej promieniowej:

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = \ częściowy _ {t} \; {\ vec {e}} _ {1} = \ częściowy _ {z} \; {\ vec {e }}_{2}=\częściowa _{r},\,{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{b(r)}}\,\left(-a(r )\,\częściowy _{t}+\częściowy _{\varphi }\right)}$

Tutaj myślimy o polu wektora jednostkowego podobnym do czasu jako stycznym do linii świata cząstek pyłu, a ich linie świata będą na ogół wykazywać niezerową wirowość, ale zanikającą ekspansję i ścinanie. Zażądajmy, aby tensor Einsteina odpowiadał członowi pyłu i członowi energii próżni. Jest to równoznaczne z wymaganiem, aby pasował do idealnego płynu; tzn. wymagamy, aby składowe tensora Einsteina, obliczone względem naszego układu, miały postać ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\ Displaystyle G ^ {{\ kapelusz {i}} {\ kapelusz {j}}} = \ mu \ operatorname {diagram} (1,0,0,0) + p \ operatorname {diag} (0,1, 1,1)}$

Daje to warunki

${\ Displaystyle b ^ {\ prime \ prime \ prime}={\frac {b^{\prim \prim}\,b^{\prim}}{b}},\;\po lewej (a^{\prime }\right)^{2}=2\,b^{\prime \prime }\,b}$

Podłączając je do tensora Einsteina, widzimy, że w rzeczywistości mamy teraz . Najprostsza nietrywialna czasoprzestrzeń, jaką możemy w ten sposób skonstruować, ewidentnie miałaby ten współczynnik jako jakąś niezerową, ale stałą funkcję współrzędnej promieniowej. Konkretnie, przy odrobinie przewidywania wybierzmy . To daje ${\ Displaystyle \ mu = p}$${\ Displaystyle \ mu = \ omega ^ {2}}$

${\ Displaystyle b (r) = {\ Frac {\ sinh ({\ sqrt {2}} \ omega \ r) {{\ sqrt {2}} \ omega}}, \; a (r) = { \frac {\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}{\omega }}+c}$

Na koniec zażądajmy, aby ta rama spełniała wymagania

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {3} = {\ Frac {1} {R}} \, \ częściowy _ {\ varphi} + O \ lewo ({\ Frac {1} {R ^ {2 }}}\Prawidłowy)}$

Daje , a nasza rama staje się ${\displaystyle c=-1/\omega}$

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = \ częściowy _ {t} \; {\ vec {e}} _ {1} = \ częściowy _ {z} \; {\ vec {e }}_{2}=\częściowa _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {{\sqrt {2}}\omega }{\sinh({\sqrt { 2}}\omega r)}}\,\partial _{\varphi }-{\frac {{\sqrt {2}}\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}{1+\cosh ({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\częściowy _{t}}$

Wygląd stożków świetlnych

Z tensora metrycznego dowiadujemy się, że pole wektorowe , które jest podobne do przestrzeni dla małych promieni, staje się zerowe w miejscu, w którym ${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ varphi}}$${\displaystyle r=r_{c}}$

${\ Displaystyle r_ {c} = {\ Frac {\ nazwa operatora {arcosh} (3)} {{\ sqrt {2}} \ omega}}}$

Dzieje się tak, ponieważ przy tym promieniu stwierdzamy, że tak i dlatego jest zerowe. Okrąg przy danym t jest zamkniętą krzywą zerową, ale nie geodezyjną. ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\tfrac {\omega}{2}}\\częściowy _{\varphi}-\częściowy _{t}}$${\displaystyle {\tfrac {\omega}{2}}\\częściowy _{\varphi}={\vec {e}}_{3}+{\vec {e}}_{0}}$${\displaystyle r=r_{c}}$

Badając ramkę powyżej, widzimy, że współrzędna jest nieistotna; nasza czasoprzestrzeń jest bezpośrednim iloczynem czynnika R o sygnaturze −++ trzykrotności. Tłumienie , aby skupić naszą uwagę na tej trójdzielności, przyjrzyjmy się, jak wygląd stożków świetlnych zmienia się w miarę oddalania się od osi symetrii :${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle r=0}$

Dwa stożki świetlne (wraz z towarzyszącymi im wektorami ramowymi) na wykresie cylindrycznym dla roztworu pyłu lambda Gödla. Gdy poruszamy się na zewnątrz od nominalnej osi symetrii, stożki przechylają się do przodu i rozszerzają . Pionowe linie współrzędnych (reprezentujące światowe linie cząstek kurzu) przypominają czas .

Kiedy dojdziemy do promienia krytycznego, stożki stają się styczne do zamkniętej krzywej zerowej.

Zbieżność zamkniętych krzywych czasopodobnych

W promieniu krytycznym pole wektorowe staje się puste. Dla większych promieniach, to timelike . Tak więc, odpowiadająca naszej osi symetrii, mamy kongruencję podobną do czasu złożoną z okręgów i odpowiadającą pewnym obserwatorom. Ta zgodność jest jednak zdefiniowana tylko poza cylindrem . ${\displaystyle r=r_{c}}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ varphi}}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

To nie jest geodezyjna kongruencja; raczej każdy obserwator w tej rodzinie musi utrzymywać stałe przyspieszenie , aby utrzymać swój kurs. Obserwatorzy o mniejszych promieniach muszą mocniej przyspieszać; w miarę rozbieżności wielkości przyspieszenia, co jest dokładnie tym, czego się oczekuje, biorąc pod uwagę, że jest to krzywa zerowa. ${\displaystyle r\rightarrow r_{c}}$${\displaystyle r=r_{c}}$

Geodezja zerowa

Jeśli zbadamy przeszły stożek świetlny zdarzenia na osi symetrii, znajdziemy następujący obraz:

Geodezja zerowa kręci się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara w kierunku obserwatora na osi symetrii. To pokazuje je „z góry”.

Przypomnijmy, że pionowe linie współrzędnych na naszym wykresie reprezentują linie świata cząstek pyłu, ale pomimo ich prostego wyglądu na naszym wykresie , kongruencja utworzona przez te krzywe ma niezerową wirowość, więc linie świata w rzeczywistości skręcają się wokół siebie . Fakt, że zerowa geodezyjna spirala do wewnątrz w sposób pokazany powyżej oznacza, że ​​kiedy nasz obserwator patrzy promieniście na zewnątrz , widzi pobliskie cząstki pyłu nie w ich obecnych lokalizacjach, ale we wcześniejszych lokalizacjach. Właśnie tego oczekiwalibyśmy, gdyby cząstki pyłu faktycznie krążyły wokół siebie.

Geodezyjne zerowe są geometrycznie proste ; na rysunku wydają się być spiralami tylko dlatego, że współrzędne „obracają się”, aby cząstki pyłu wydawały się nieruchome.

Absolutna przyszłość

Według Hawkinga i Ellisa (zob. monografię cytowaną poniżej), wszystkie promienie świetlne emitowane ze zdarzenia na osi symetrii zbiegają się ponownie w późniejszym zdarzeniu na osi, przy czym geodezja zerowa tworzy okrągły wierzchołek (który jest krzywą zerową, ale nie geodezyjna zerowa):

Obraz Hawkinga i Ellisa rozszerzania i rekonwergencji światła emitowanego przez obserwatora na osi symetrii.

Oznacza to, że w rozwiązaniu Gödla lambdadust absolutna przyszłość każdego zdarzenia ma charakter bardzo różny od tego, czego moglibyśmy naiwnie oczekiwać.

Interpretacja kosmologiczna

Idąc za Gödlem, możemy zinterpretować cząstki pyłu jako galaktyki, tak że rozwiązanie Gödla staje się kosmologicznym modelem wirującego wszechświata . Poza rotacją, model ten nie wykazuje ekspansji Hubble'a , więc nie jest realistycznym modelem wszechświata, w którym żyjemy, ale może być traktowany jako ilustrujący alternatywny wszechświat, na co w zasadzie zezwala ogólna teoria względności (jeśli przyjmie się słuszność niezerowej stałej kosmologicznej). Mniej znane rozwiązania Gödla wykazują zarówno rotację, jak i ekspansję Hubble'a i mają inne cechy jego pierwszego modelu, ale podróż w przeszłość nie jest możliwa. Według SW Hawking , te modele mogą być również uzasadnione opis wszechświata, które obserwujemy , jednak dane obserwacyjne są kompatybilne tylko z bardzo niskiej prędkości obrotowej. Jakość tych obserwacji stale się poprawiała aż do śmierci Gödla, a on zawsze pytał „czy wszechświat już się obraca?” i powiedziano mu „nie, nie jest”.

Widzieliśmy, że obserwatorzy leżący na osi y (na oryginalnym wykresie) widzą resztę wszechświata obracającą się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wokół tej osi. Jednak jednorodność czasoprzestrzeni pokazuje, że rozróżnia się kierunek, ale nie położenie tej „osi”.

Niektórzy interpretowali wszechświat Gödla jako kontrprzykład dla nadziei Einsteina, że ​​ogólna teoria względności powinna wykazywać jakiś rodzaj zasady Macha , powołując się na fakt, że materia wiruje (linie świata skręcają się wokół siebie) w sposób wystarczający do wybrania preferowanego kierunku, chociaż bez wyróżnionej osi obrotu.

Inni uważają, że zasada Macha oznacza pewne prawo fizyczne wiążące definicję niewirujących układów inercjalnych w każdym przypadku z globalnym rozmieszczeniem i ruchem materii we wszechświecie, i twierdzą, że ponieważ niewirujące układy inercyjne są ściśle powiązane z obrotem pyłu we wszechświecie. dokładnie tak, jak sugerowałaby taka zasada Macha, model ten jest zgodny z ideami Macha.

Znanych jest wiele innych dokładnych rozwiązań, które można interpretować jako kosmologiczne modele wirujących wszechświatów. Niektóre z tych uogólnień można znaleźć w książce Homogenous Relativistic Cosmologys (1975) autorstwa Ryana i Shepleya.

Zobacz też

• pył van Stockuma , dla innego wirującego roztworu pyłu z (prawdziwą) symetrią cylindryczną,
• Roztwór pyłu , artykuł o rozwiązaniach pyłu w ogólnej teorii względności.

Uwagi

Bibliografia

• G. Dautcourt i M. Abdel-Megied (2006). „Ponowne odwiedzanie Light Cone Wszechświata Goedla”. Grawitacja klasyczna i kwantowa . 23 (4): 1269-1288. arXiv : gr-qc/0511015 . Kod Bibcode : 2006CQGra..23.1269D . doi : 10.1088/0264-9381/23/4/013 . S2CID  14666907 .
• Stefani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Korneliusz; Herlt, Eduard (2003). Dokładne rozwiązania równań pola Einsteina (wyd. 2). Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-46136-7.Zobacz rozdział 12.4 dla twierdzenia o jednoznaczności.
• Ryana, posła; Shepley, LC (1975). Jednorodne kosmologie relatywistyczne . Princeton: Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. Numer ISBN 0-691-08153-0.
• Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). Wielkoskalowa struktura czasoprzestrzeni . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-09906-4.Zobacz sekcję 5.7, aby zapoznać się z klasyczną dyskusją CTC w czasoprzestrzeni Gödla. Uwaga: na ryc. 31 stożki światła rzeczywiście przewracają się, ale również rozszerzają się, tak że pionowe linie współrzędnych są zawsze podobne do czasu; w rzeczywistości reprezentują one światowe linie cząstek pyłu, więc są to geodezyjki czasowe.
• Gödel, K. (1949). „Przykład nowego typu kosmologicznego rozwiązania równań grawitacji pola Einsteina” . Mod. Fiz . 21 (3): 447–450. Kod bib : 1949RvMP...21..447G . doi : 10.1103/RevModPhys.21.447 .
• Wszechświat Gödla na arxiv.org .
• Vukovic R. (2014): Tensorowy model wirującego Wszechświata , Ćwiczenie w Szczególnej Teorii Względności .