Zestaw niemierzalny - Non-measurable set

W matematyce , A non-mierzalna zestaw to zestaw , który nie może być przypisany sensowne „objętość”. Matematyczne istnienie takich zestawów jest interpretowane, aby zapewnić informacje na temat pojęć długości , powierzchni i objętości w formalnej teorii mnogości. W aksjomaty zermelo-fraenkela The aksjomat wyboru powoduje, że brak mierzalnych podzbiorów istnieje.

Pojęcie zbioru niemierzalnego od czasu jego wprowadzenia budzi wiele kontrowersji. Z historycznego punktu widzenia doprowadziło to Borela i Kołmogorowa do sformułowania teorii prawdopodobieństwa na zbiorach, które mają być mierzalne. Zbiory mierzalne na linii to iterowane sumy policzalne i przecięcia przedziałów (nazywane zbiorami borelowskimi ) plus-minus null . Zbiory te są wystarczająco bogate, aby zawierać każdą wyobrażalną definicję zbioru, która pojawia się w standardowej matematyce, ale wymagają dużo formalizmu, aby udowodnić, że zbiory są mierzalne.

W 1970 r. Robert M. Solovay skonstruował model Solovay'a , który pokazuje, że jest on zgodny z teorią mnogości standardowych bez niepoliczalnego wyboru, że wszystkie podzbiory liczb rzeczywistych są mierzalne. Jednak wynik Solovay'a zależy od istnienia niedostępnego kardynała , którego istnienia i spójności nie można udowodnić w ramach standardowej teorii mnogości.

Konstrukcje historyczne

Pierwsza wskazówka, że ​​może wystąpić problem z określeniem długości dla dowolnego zbioru, pochodzi z twierdzenia Vitaliego .

Można by oczekiwać, że miara sumy dwóch rozłącznych zbiorów będzie sumą miary tych dwóch zbiorów. Środek o tej naturalnej właściwości nazywany jest skończenie addytywnym . Chociaż skończenie addytywna miara jest wystarczająca dla większości intuicji obszaru i jest analogiczna do całkowania Riemanna , jest uważana za niewystarczającą dla prawdopodobieństwa , ponieważ konwencjonalne współczesne traktowanie sekwencji zdarzeń lub zmiennych losowych wymaga policzalnej addytywności .

Pod tym względem samolot jest podobny do linii; istnieje miara skończenie addytywna, rozszerzająca miarę Lebesgue'a, która jest niezmienna we wszystkich izometriach . Przy większych wymiarach obraz się pogarsza. Paradoksem Hausdorff i Banacha-Tarskiego paradoksem pokazują, że trójwymiarowy kuli o promieniu 1, mogą być rozdzielane na 5 części, które mogą zostać ponownie tworząc dwie kule o promieniu 1.

Przykład

Rozważmy S , zbiór wszystkich punktów w okręgu jednostkowym oraz działanie na S grupy G składającej się ze wszystkich obrotów wymiernych (obrotów o kąty będące wymiernymi wielokrotnościami π). Tutaj G jest policzalne (dokładniej, G jest izomorficzne z ), podczas gdy S jest niepoliczalne. Stąd S rozpada się na niezliczoną ilość orbit pod G . Używając aksjomatu wyboru , moglibyśmy wybrać pojedynczy punkt z każdej orbity, uzyskując niepoliczalny podzbiór o własności, że wszystkie translacje (przetłumaczone kopie) X przez G są rozłączne od X i od siebie nawzajem. Zbiór tych tłumaczy podziały okręgu na policzalny zbiór rozłącznych zbiorów, z których wszystkie są przystające parami (przez wymierne obroty). Zbiór X będzie niemierzalny dla dowolnej rotacyjnej, przeliczalnie addytywnej miary prawdopodobieństwa na S : jeśli X ma miarę zerową, przeliczalna addytywność oznaczałaby, że całe koło ma miarę zerową. Jeśli X ma miarę dodatnią, przeliczalna addytywność pokaże, że okrąg ma miarę nieskończoną.

Spójne definicje miary i prawdopodobieństwa

W Banacha-Tarskim paradox pokazuje, że nie ma sposobu, aby określić objętość w trzech wymiarach, o ile nie jest jedną z następujących czterech ulg:

  1. Obrót zestawu może ulec zmianie.
  2. Objętość sumy dwóch rozłącznych zbiorów może różnić się od sumy ich objętości.
  3. Niektóre zestawy mogą być oznaczone jako „niemierzalne” i trzeba by sprawdzić, czy zestaw jest „mierzalny”, zanim zaczniemy mówić o jego objętości.
  4. Aksjomaty ZFC ( teoria mnogości Zermelo-Fraenkela z aksjomatem wyboru) mogą wymagać zmiany.

Teoria miary standardowej przyjmuje trzecią opcję. Jedna definiuje rodzinę zbiorów mierzalnych, która jest bardzo bogata i prawie każdy zbiór wyraźnie zdefiniowany w większości gałęzi matematyki będzie należał do tej rodziny. Zazwyczaj bardzo łatwo jest udowodnić, że dany podzbiór płaszczyzny geometrycznej jest mierzalny. Podstawowym założeniem jest to, że przeliczalnie nieskończony ciąg zbiorów rozłącznych spełnia formułę sumy, właściwość zwaną σ-addytywnością .

W 1970 roku Solovay wykazał, że istnienie zbioru niemierzalnego dla miary Lebesgue'a nie jest dowodem w ramach teorii mnogości Zermelo-Fraenkla przy braku dodatkowego aksjomatu (takiego jak aksjomat wyboru), pokazując, że ( zakładając spójność niedostępnego kardynała ) istnieje model ZF, zwany modelem Solovay'a , w którym obowiązuje policzalny wybór , każdy zbiór jest mierzalny według Lebesgue'a iw którym zawodzi pełny aksjomat wyboru.

Aksjomat wyboru jest równoważny fundamentalnemu wynikowi topologii zbioru punktów , twierdzeniu Tychonoffa , a także połączeniu dwóch podstawowych wyników analizy funkcjonalnej, twierdzenia Banacha-Alaoglu i twierdzenia Kreina-Milmana . Wpływa również w dużym stopniu na badanie nieskończonych grup, a także na teorię pierścieni i porządku (patrz Boole'owskie twierdzenie o ideałach pierwotnych ). Jednak aksjomaty gry nieskończone i wyboru zależnego razem są wystarczające dla większości geometrycznej teorii miary , teorii potencjału , szeregów Fouriera i transformaty Fouriera , podczas podejmowania wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej Lebesgue'a-mierzalna.

Zobacz też

Bibliografia

Uwagi

Bibliografia