Właściwość topologiczna - Topological property

W topologii i powiązanych dziedzinach matematyki , wykorzystując właściwość topologiczna lub topologiczna niezmienna jest właściwością przestrzeni topologicznej , która jest niezmienna pod homeomorfizmów . Oznacza to, że własność przestrzeni jest własnością topologiczną, jeśli kiedykolwiek przestrzeń X posiada tę własność, każda przestrzeń homeomorficzna względem X posiada tę własność. Nieformalnie właściwość topologiczna to właściwość przestrzeni, którą można wyrazić za pomocą zbiorów otwartych .

Częstym problemem w topologii jest ustalenie, czy dwie przestrzenie topologiczne są homeomorficzne, czy nie. Aby udowodnić, że dwie przestrzenie nie są homeomorficzne, wystarczy znaleźć własność topologiczną, która nie jest dla nich wspólna.

Wspólne właściwości topologiczne

Funkcje kardynalne

• Liczność | X | przestrzeni X .
• Liczność τ ( X ) o topologii przestrzeni X .${\displaystyle \vert}$${\displaystyle \vert}$
• Waga w ( X ), najmniejsza moc bazy topologii przestrzeni X .
• Gęstość d ( X ), najmniejsza liczność podzbioru X, którego domknięciem jest X .

Separacja

Zauważ, że niektóre z tych terminów są różnie definiowane w starszej literaturze matematycznej; zobacz historię aksjomatów separacji .

• T ₀ lub Kołmogorowa . Przestrzeń jest Kołmogorowem, jeśli na każdą parę odrębnych punktów x i y w przestrzeni istnieje przynajmniej albo zbiór otwarty zawierający x, ale nie y , albo zbiór otwarty zawierający y, ale nie x .
• T ₁ lub Fréchet . Przestrzeń to Fréchet, jeśli dla każdej pary odrębnych punktów x i y w przestrzeni istnieje zbiór otwarty zawierający x, ale nie y . (Porównaj z T ₀ ; tutaj możemy określić, który punkt będzie zawarty w zbiorze otwartym.) Odpowiednio, spacja to T _1, jeśli wszystkie jej singletony są zamknięte. Pola T ₁ to zawsze T ₀ .
• Trzeźwy . Przestrzeń jest trzeźwa, jeśli każdy nieredukowalny zbiór domknięty C ma unikalny punkt gatunkowy p . Innymi słowy, jeśli C nie jest (prawdopodobnie nierozłączną) sumą dwóch mniejszych zamkniętych podzbiorów, to istnieje p takie, że domknięcie { p } równa się C , a p jest jedynym punktem z tą właściwością.
• T ₂ lub Hausdorff . Przestrzeń to Hausdorff, jeśli każde dwa odrębne punkty mają rozłączne sąsiedztwo. Pola T ₂ to zawsze T ₁ .
• T _2½ lub Urysohn . Przestrzeń jest Urysohnem, jeśli każde dwa odrębne punkty mają rozłączne, zamknięte sąsiedztwo. _Pola T _2½ to zawsze T ₂ .
• Całkowicie T ₂ lub całkowicie Hausdorff . Przestrzeń jest całkowicie T _{2 ,} jeśli każde dwa różne punkty są oddzielone funkcją . Każda przestrzeń całkowicie Hausdorffa to Urysohn.
• Regularne . Przestrzeń jest regularna, jeśli kiedykolwiek C jest zbiorem domkniętym i p jest punktem spoza C , to C i p mają rozłączne sąsiedztwo.
• T ₃ lub regularny Hausdorff . Pole jest zwykłym polem Hausdorffa, jeśli jest zwykłym polem T ₀ . (Regularna przestrzeń to Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy jest T ₀ , więc terminologia jest spójna .)
• Całkowicie regularne . Przestrzeń jest całkowicie regularna, jeśli kiedykolwiek C jest zbiorem domkniętym, a p jest punktem spoza C , wtedy C i { p } są oddzielone funkcją .
• T _3½ , Tychonoff , Całkowicie regularny Hausdorff lub Całkowicie T ₃ . Przestrzeń Tichonowa jest całkowicie regularny T ₀ przestrzeń. (Całkowicie regularna przestrzeń to Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy jest T ₀ , więc terminologia jest spójna). Przestrzenie Tychonowa są zawsze regularnymi Hausdorffami.
• Normalny . Pole jest normalne, jeśli dowolne dwa rozłączne zamknięte zestawy mają rozłączne sąsiedztwo. Przestrzenie normalne dopuszczają przegrody jedności .
• T ₄ lub Normalny Hausdorff . Normalna przestrzeń to Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy jest T ₁ . Normalne przestrzenie Hausdorffa to zawsze Tychonow.
• Całkowicie normalne . Pole jest całkowicie normalne, jeśli dowolne dwa oddzielne zestawy mają rozłączne sąsiedztwo.
• T ₅ lub Całkowicie normalny Hausdorff . Całkowicie normalna przestrzeń to Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy jest T ₁ . Całkowicie normalne przestrzenie Hausdorffa są zawsze normalnymi Hausdorffami.
• Całkowicie normalne . Odstęp jest całkowicie normalny, jeśli dowolne dwa rozłączne zbiory domknięte są dokładnie oddzielone funkcją . Całkowicie normalna przestrzeń musi być również całkowicie normalna.
• T ₆ lub doskonale normalny Hausdorff lub doskonale T ₄ . Przestrzeń jest całkowicie normalna Hausdorffa , jeśli jest zarówno całkowicie normalna, jak i T ₁ . Całkowicie normalna przestrzeń Hausdorffa musi być również całkowicie normalną przestrzenią Hausdorffa.
• Dyskretna przestrzeń . Przestrzeń jest dyskretna, jeśli wszystkie jej punkty są całkowicie odizolowane, tj. jeśli dowolny podzbiór jest otwarty.
• Liczba izolowanych punktów . Liczba izolowanych punktów przestrzeni topologicznej.

Warunki zliczalności

• Rozdzielny . Przestrzeń można oddzielić, jeśli ma policzalny gęsty podzbiór.
• Pierwsza policzalna . Spacja jest policzalna jako pierwsza, jeśli każdy punkt ma policzalną podstawę lokalną.
• Drugie policzalne . Przestrzeń jest policzalna jako druga, jeśli ma policzalną podstawę dla swojej topologii. Przestrzenie policzalne jako drugie są zawsze rozdzielne, policzalne jako pierwsze i Lindelöf.

Powiązanie

• Połączony . Przestrzeń jest połączona, jeśli nie jest sumą pary rozłącznych niepustych zbiorów otwartych. Równoważnie, przestrzeń jest połączona, jeśli jedynymi zbiorami clopen są zbiór pusty i ona sama.
• Połączony lokalnie . Przestrzeń jest lokalnie połączona, jeśli każdy punkt ma bazę lokalną składającą się z połączonych zbiorów.
• Całkowicie odłączony . Przestrzeń jest całkowicie odłączona, jeśli nie ma połączonego podzbioru z więcej niż jednym punktem.
• Połączony ze ścieżką . Przestrzeń X jest połączona ze ścieżką, jeśli na każde dwa punkty x , y w X , istnieje ścieżka p od x do y , tj. ciągłe odwzorowanie p : [0,1] →  X z p (0) = x i p (1) = y . Przestrzenie połączone ścieżką są zawsze połączone.
• Lokalnie połączony ścieżką . Przestrzeń jest lokalnie połączona ścieżką, jeśli każdy punkt ma lokalną bazę składającą się z zestawów połączonych ścieżką. Przestrzeń lokalnie połączona ścieżką jest połączona wtedy i tylko wtedy, gdy jest połączona ścieżką.
• Połączony łukiem . Przestrzeń X jest połączona łukiem, jeśli na każde dwa punkty x , y w X , istnieje łuk f od x do y , tj. iniekcyjnie ciągłe odwzorowanie f : [0,1] →  X z p (0) = x i p (1) = y . Pomieszczenia połączone łukiem są połączone ścieżką.
• Po prostu podłączony . Przestrzeń X jest po prostu spójna, jeśli jest połączona ścieżką i każde ciągłe odwzorowanie f : S ¹  →  X jest homotopiczne do stałego odwzorowania.
• Po prostu lokalnie podłączony . Przestrzeń X jest lokalnie po prostu spójna, jeśli każdy punkt x w X ma lokalną bazę sąsiedztw U, które są po prostu połączone.
• Połączone częściowo lokalnie . Przestrzeń X jest częściowo połączona lokalnie, jeśli każdy punkt ma lokalną bazę otoczeń U, tak że każda pętla w U jest kurczliwa w X . Półlokalna łączność prosta, warunek ściśle słabszy niż lokalna łączność prosta, jest warunkiem koniecznym istnienia osłony uniwersalnej .
• Wykonalny . Przestrzeń X jest kurczliwa, jeśli odwzorowanie tożsamości na X jest homotopiczne do odwzorowania stałych. Przestrzenie kurczliwe są zawsze po prostu połączone.
• Hiperpołączenia . Przestrzeń jest hiperpołączona, jeśli żadne dwa niepuste zbiory otwarte nie są rozłączne. Każda hiperpołączona przestrzeń jest połączona.
• Ultrapołączony . Przestrzeń jest ultrapołączona, jeśli nie ma dwóch niepustych zamkniętych zbiorów rozłącznych. Każda ultrapołączona przestrzeń jest połączona ścieżką.
• Niedyskretny lub trywialny . Spacja jest niedyskretna, jeśli jedynymi otwartymi zbiorami są zbiór pusty i ona sama. Mówi się, że taka przestrzeń ma trywialną topologię .

Ścisłość

• Kompaktowy . Przestrzeń jest zwarta, jeśli każda otwarta pokrywa ma skończoną pokrywę dolną . Niektórzy autorzy nazywają te przestrzenie quasi - zwartymi i zarezerwowanymi zwartymi dla przestrzeni Hausdorffa, gdzie każda otwarta pokrywa ma skończoną podpokrywkę. Kompaktowe przestrzenie są zawsze Lindelöf i parakompaktowe. Zwarte przestrzenie Hausdorffa są zatem normalne.
• Kolejno kompaktowy . Przestrzeń jest sekwencyjnie zwarta, jeśli każda sekwencja ma zbieżny podciąg.
• Przeliczalnie kompaktowy . Przestrzeń jest policzalnie zwarta, jeśli każda policzalna otwarta okładka ma skończoną okładkę.
• Pseudokompaktowość . Przestrzeń jest pseudozwarta, jeśli każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych w przestrzeni jest ograniczona.
• σ-kompaktowy . Przestrzeń jest σ-zwarta, jeśli jest sumą przeliczalnie wielu zwartych podzbiorów.
• Lindelöfa . Przestrzeń to Lindelöf, jeśli każda otwarta okładka ma policzalną podokładkę.
• Parakompaktowy . Przestrzeń jest parakompaktowa, jeśli każda otwarta pokrywa ma otwarte lokalnie skończone wyrafinowanie. Przestrzenie parakompaktowe Hausdorffa są normalne.
• Lokalnie kompaktowy . Przestrzeń jest lokalnie zwarta, jeśli każdy punkt ma bazę lokalną składającą się z zwartych sąsiedztw. Stosowane są również nieco inne definicje. Lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa to zawsze Tychonow.
• Kompaktowy z ultrapołączeniem . W ultra połączonej kompaktowej przestrzeni X każda otwarta pokrywa musi zawierać sam X. Niepuste, ultrapołączone, kompaktowe przestrzenie mają największy właściwy otwarty podzbiór zwany monolitem .

Metryzowalność

• mierzalny . Przestrzeń jest metryzowalna, jeśli jest homeomorficzna z przestrzenią metryczną . Przestrzenie metryzowalne to zawsze Hausdorff i parakompaktowe (a więc normalne i Tychonoffa), a także policzalne jako pierwsze. Co więcej, mówi się, że przestrzeń topologiczna (X,T) jest metryzowalna, jeśli istnieje metryka dla X taka, że ​​topologia metryki T(d) jest identyczna z topologią T.
• polski . Przestrzeń nazywa się polską, jeśli jest metryzowalna metryką rozdzielną i kompletną.
• metryzowalne lokalnie . Przestrzeń jest lokalnie metryzowalna, jeśli każdy punkt ma metryzowalne sąsiedztwo.

Różnorodny

• Przestrzeń Baire'a . Pole X jest polem Baire'a, jeśli samo w sobie nie jest skromne . Równoważnie X jest przestrzenią Baire'a, jeśli przecięcie przeliczalnie wielu gęstych zbiorów otwartych jest gęste.
• Przestrzeń drzwi . Przestrzeń topologiczna to przestrzeń drzwiowa, jeśli każdy podzbiór jest otwarty lub zamknięty (lub oba).
• Jednorodność topologiczna . Przestrzeń X jest (topologicznie) jednorodna, jeśli dla każdego x i y w X istnieje homeomorfizm taki, że Intuicyjnie oznacza to, że przestrzeń wygląda tak samo w każdym punkcie. Wszystkie grupy topologiczne są jednorodne.${\displaystyle f:X\do X}$${\displaystyle f(x)=y.}$
• Skończenie generowane lub Aleksandrow . Przestrzeń X jest Aleksandrowa, jeśli dowolne przecięcia zbiorów otwartych w X są otwarte, lub równoważnie, jeśli dowolne sumy zbiorów zamkniętych są zamknięte. Są to właśnie skończenie wygenerowane elementy kategorii przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych.
• Zerowymiarowy . Przestrzeń jest zerowymiarowa, jeśli ma bazę zbiorów zamkniętych. Są to dokładnie te przestrzenie o małym wymiarze indukcyjnym z 0 .
• Prawie dyskretny . Spacja jest prawie dyskretna, jeśli każdy otwarty zestaw jest zamknięty (stąd clopen). Niemal dyskretne przestrzenie to dokładnie skończenie wygenerowane przestrzenie zerowymiarowe.
• logiczne . Przestrzeń jest Boole'a, jeśli jest zerowymiarowa, zwarta i Hausdorffa (równoważnie, całkowicie rozłączona, zwarta i Hausdorffa). Są to dokładnie te przestrzenie, które są homeomorficzny do przestrzeni kamienia z algebry Boole'a .
• Skręcanie Reidemeistera
• ${\ Displaystyle \ kappa}$-rozstrzygalny . Mówi się, że przestrzeń jest -rozwiązalna (odpowiednio: prawie κ-rozwiązalna), jeśli zawiera κ gęstych zbiorów, które są parami rozłączne (odpowiednio: prawie rozłączne nad ideałem nigdzie gęstych podzbiorów). Jeśli przestrzeń nie jest -rozwiązalna, nazywa się ją -nierozwiązalną.${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ kappa}$
• Maksymalnie rozdzielczy . Przestrzeń jest maksymalnie rozdzielcza, jeśli jest -rozdzielalna, gdzie Liczba nazywana jest dyspersją${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Delta (X)}$${\ Displaystyle \ Delta (X) = \ min \ {| G |: G \ neq \ varnothing, G {\ mbox {jest otwarty}} \}.}$${\ Displaystyle \ Delta (X)}$${\ Displaystyle X.}$
• Silnie dyskretny . Zbiór jest silnie dyskretnym podzbiorem przestrzeni, jeśli punkty w mogą być rozdzielone parami rozłącznych sąsiedztw. Mówi się, że przestrzeń jest silnie dyskretna, jeśli każdy nieizolowany punkt jest punktem skupienia jakiegoś silnie dyskretnego zbioru.${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Właściwości nietopologiczne

Istnieje wiele przykładów własności przestrzeni metrycznych itp., które nie są własnościami topologicznymi. Aby pokazać, że własność nie jest topologiczna, wystarczy znaleźć dwie homeomorficzne przestrzenie topologiczne takie, że ma , ale nie ma . ${\displaystyle P}$${\ Displaystyle X \ cong Y}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle P}$

Na przykład właściwości przestrzeni metrycznej ograniczoności i zupełności nie są właściwościami topologicznymi. Niech i będą przestrzeniami metrycznymi ze standardową metryką. Następnie poprzez homeomorfizm . Jednak jest zupełny, ale nie ograniczony, natomiast jest ograniczony, ale nie zupełny. ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} }$${\ Displaystyle Y = (- {\ tfrac {\ pi } {2}}, {\ tfrac {\ pi } {2}})}$${\ Displaystyle X \ cong Y}$${\ Displaystyle \ operatorname {arctan} \ dwukropek X \ do Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

Zobacz też

• Charakterystyka Eulera
• Numer uzwojenia
• Klasa charakterystyczna
• Liczby charakterystyczne
• Klasa Cherna
• Niezmienny węzeł
• Łączenie numeru
• Właściwość punktu stałego
• Topologiczna liczba kwantowa
• Grupa homotopii i grupa Cohomotopy
• Homologia i kohomologia
• Niezmiennik kwantowy

Cytaty

Bibliografia

[2] Simon Moulieras, Maciej Lewenstein i Graciana Puentes, Inżynieria splątania i ochrona topologiczna przez spacery kwantowe w czasie dyskretnym, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf