Aksjomat nieskończoności - Axiom of infinity

W aksjomatycznej teorii i gałęzi matematyki i filozofii , które go użytkowania, aksjomat nieskończoności jest jednym z aksjomatów o aksjomaty zermelo-fraenkela . Gwarantuje istnienie przynajmniej jednego zbioru nieskończonego , czyli zbioru zawierającego liczby naturalne . Po raz pierwszy został opublikowany przez Ernsta Zermelo jako część jego teorii mnogości w 1908 roku.

Oświadczenie formalne

W formalnym języku aksjomatów Zermelo – Fraenkla, aksjomat brzmi:

{\ Displaystyle \ istnieje \ mathbf {ja} \, (\ emptyset \ in \ mathbf {ja} \, \ ziemia \, \ forall x \ in \ mathbf {ja} \, (\, (x \ cup \ {x \}) \ in \ mathbf {I})).}

Słowami, jest zestaw I (zestaw, na który Postuluje się nieskończony), takie, że pusty zespół jest I , i tak, że gdy każdy x jest członkiem I , zestaw utworzony przez biorąc związek o X z jego pojedyncza { x } jest członkiem I . Taki zestaw jest czasami nazywany zestawem indukcyjnym .

Interpretacja i konsekwencje

Aksjomat jest ściśle związane z budową Neumanna z liczb naturalnych w teorii zbiorów, w którym następca z X jest zdefiniowany jako X ∪ { x }. Jeśli x jest zbiorem, to z innych aksjomatów teorii mnogości wynika, że następca ten jest również zbiorem jednoznacznie zdefiniowanym. Następcy służą do zdefiniowania zwykłego kodowania liczb naturalnych w teorii mnogości . W tym kodowaniu zero to pusty zbiór:

0 = {}.

Liczba 1 jest następcą 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

Podobnie 2 jest następcą 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1} = {{}, {{}}},

i tak dalej:

3 = {0,1,2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}};

4 = {0,1,2,3} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}} }.

Konsekwencją tej definicji jest to, że każda liczba naturalna jest równa zbiorowi wszystkich poprzedzających ją liczb naturalnych. Liczba elementów w każdym zestawie, na najwyższym poziomie, jest taka sama jak reprezentowana liczba naturalna, a głębokość zagnieżdżenia najbardziej zagnieżdżonego pustego zestawu {}, w tym jego zagnieżdżenia w zbiorze, który reprezentuje liczbę, której jest część, jest również równa liczbie naturalnej, którą reprezentuje zbiór.

Ta konstrukcja tworzy liczby naturalne. Jednak pozostałe aksjomaty są niewystarczające, aby udowodnić istnienie zbioru wszystkich liczb naturalnych $ℕ 0$ . Dlatego jego istnienie jest traktowane jako aksjomat - aksjomat nieskończoności. Ten aksjomat stwierdza, że istnieje zbiór I, który zawiera 0 i jest zamykany przez operację wzięcia następcy; to znaczy, dla każdego elementu ja , następca tego elementu jest również w ja .

Zatem istotą tego aksjomatu jest:

Jest zbiór, ja , który zawiera wszystkie liczby naturalne.

Aksjomat nieskończoności jest także jednym z aksjomatów von Neumanna – Bernays – Gödela .

Wyodrębnianie liczb naturalnych z nieskończonego zbioru

Nieskończony zbiór I jest nadzbiorem liczb naturalnych. Aby pokazać, że same liczby naturalne stanowią zbiór, można zastosować schemat aksjomatów specyfikacji, aby usunąć niepożądane elementy, pozostawiając zbiór N wszystkich liczb naturalnych. Ten zbiór jest wyjątkowy przez aksjomat ekstensjonalności .

Aby wyodrębnić liczby naturalne, potrzebujemy zdefiniowania, które zbiory są liczbami naturalnymi. Liczby naturalne można zdefiniować w sposób, który nie zakłada żadnych aksjomatów, z wyjątkiem aksjomatu rozszerzalności i aksjomatu indukcji - liczba naturalna to zero lub następca, a każdy z jej elementów jest albo zerem, albo następcą innego z jej elementy. W języku formalnym definicja mówi:

{\ Displaystyle \ forall n (n \ in \ mathbf {N} \ iff ([n = \ pusty zestaw \, \, \ lor \, \, \ istnieje k (n = k \ kubek \ {k \})] \ , \, \ land \, \, \ forall m \ in n [m = \ emptyset \, \, \ lor \, \, \ istnieje k \ in n (m = k \ cup \ {k \})]) ).}

Lub jeszcze bardziej formalnie:

{\ Displaystyle \ forall n (n \ in \ mathbf {N} \ iff ([\ forall k (\ lnot k \ in n) \ lor \ istnieje k \ forall j (j \ in n \ iff (j \ w k \ lor j = k))] \ land}

{\ Displaystyle \ forall m (m \ w n \ Rightarrow [\ forall k (\ lnot k \ w m) \ lor \ istnieje k (k \ in n \ ziemia \ forall j (j \ w m \ iff (j \) in k \ lor j = k)))]))).}

Alternatywna metoda

Alternatywna metoda jest następująca. Niech będzie formułą, która mówi, że „x jest indukcyjne”; tj . Nieformalnie zajmiemy się przecięciem wszystkich zbiorów indukcyjnych. Bardziej formalnie, chcemy udowodnić istnienie unikalnego zestawu taki, że ${\ Displaystyle \ Phi (x)}$ ${\ Displaystyle \ Phi (x) = (\ pusty zestaw \ w x \ klin \ forall y (y \ w x \ do (y \ kubek \ {y \} \ w x)))}$ ${\ displaystyle W}$

{\ Displaystyle \ forall x (x \ w W \ leftrightarrow \ forall ja (\ Phi (I) \ do x \ w I)).}

(*)

Do istnienia użyjemy Axiom of Infinity w połączeniu ze schematem specyfikacji Axiom . Niech będzie zbiorem indukcyjnym gwarantowanym przez Aksjomat Nieskończoności. Następnie używamy Axiom Schema of Specification do zdefiniowania naszego zbioru - tj. Jest to zbiór wszystkich elementów, które zdarzają się być również elementami każdego innego zbioru indukcyjnego. To wyraźnie spełnia hipotezę (*), ponieważ jeśli , to jest w każdym zbiorze indukcyjnym, a jeśli jest w każdym zbiorze indukcyjnym, to jest w szczególności w , więc musi też być w . ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle W = \ {x \ w ja: \ forall J (\ Phi (J) \ do x \ w J) \}}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle x \ in W}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle W}$

Dla unikalności, najpierw zauważ, że każdy zbiór, który spełnia (*) jest sam w sobie indukcyjny, ponieważ 0 jest we wszystkich zbiorach indukcyjnych, a jeśli element jest we wszystkich zbiorach indukcyjnych, to zgodnie z właściwością indukcyjną jest jego następcą. Tak więc, gdyby istniał inny zbiór, który spełniałby (*), mielibyśmy to, ponieważ jest indukcyjny, a ponieważ jest indukcyjny. Tak więc . Niech oznaczają to unikalny element. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle W '}$ ${\ displaystyle W '\ subseteq W}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ Displaystyle W \ subseteq W '}$ ${\ displaystyle W '}$ ${\ displaystyle W = W '}$ ${\ displaystyle \ omega}$

Ta definicja jest wygodna, ponieważ natychmiast następuje zasada indukcji : jeśli jest indukcyjne, to również , tak . ${\ Displaystyle I \ subseteq \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega \ subseteq I}$ ${\ displaystyle I = \ omega}$

Obie te metody produkować systemy, które spełniają aksjomaty drugiego rzędu arytmetyki , ponieważ aksjomat zbioru potęgowego pozwala nam określić ilościowo nad zestaw zasilający z , jak w logice drugiego rzędu . W ten sposób obaj całkowicie określają układy izomorficzne , a ponieważ są izomorficzne pod mapą tożsamości , w rzeczywistości muszą być równe . ${\ displaystyle \ omega}$

Pozornie słabsza wersja

Niektóre stare teksty posługują się pozornie słabszą wersją aksjomatu nieskończoności, to znaczy

{\ Displaystyle \ istnieje x \, (\ istnieje r \, (y \ w x) \, \ ziemia \, \ forall y (y \ w x \, \ rightarrow \, \ istnieje z (z \ w x \, \ land \, y \ subseteq z \, \ land \, y \ neq z))) \ ,.}

To mówi, że w x jest element, a dla każdego elementu y z x istnieje inny element x, który jest ścisłym nadzbiorem y . Oznacza to, że x jest zbiorem nieskończonym, nie mówiąc wiele o jego strukturze. Jednak za pomocą innych aksjomatów ZF możemy wykazać, że implikuje to istnienie ω. Po pierwsze, jeśli weźmiemy potęgę dowolnego nieskończonego zbioru x , wtedy ten zestaw potęg będzie zawierał elementy, które są podzbiorami x każdej skończonej liczności (wśród innych podzbiorów x ). Udowodnienie istnienia tych skończonych podzbiorów może wymagać albo aksjomatu separacji, albo aksjomatów parowania i zjednoczenia. Wtedy możemy zastosować aksjomat zastępowania zastąpić każdy element tej PowerSet z X przez początkową liczbą porządkową o tej samej liczności (lub zero, jeśli nie ma takiego porządkowej). Rezultatem będzie nieskończony zestaw liczb porządkowych. Następnie możemy zastosować aksjomat unii do tego, aby otrzymać liczbę porządkową większą lub równą ω.

Niezależność

Aksjomatu nieskończoności nie można dowieść z innych aksjomatów ZFC, jeśli są one spójne. (Aby zobaczyć dlaczego, zauważ, że ZFC Con (ZFC - Infinity) i użyj drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności .) ${\ displaystyle \ vdash}$

Negacja aksjomatu nieskończoności nie może być wyprowadzona z pozostałych aksjomatów ZFC, jeśli są one spójne. (Jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że ZFC jest spójne, jeśli pozostałe aksjomaty są spójne). Wierzymy w to, ale nie możemy tego udowodnić (jeśli to prawda).

Rzeczywiście, używając uniwersum von Neumanna , możemy zbudować model ZFC - Infinity + (¬Infinity). Jest to klasa zbiorów dziedzicznie skończonych , z odziedziczoną relacją członkostwa. Zauważ, że jeśli aksjomat pustego zbioru nie jest traktowany jako część tego systemu (ponieważ można go wyprowadzić z ZF + Infinity), to pusta domena również spełnia ZFC - Nieskończoność + ¬ Nieskończoność, ponieważ wszystkie jej aksjomaty są uniwersalne skwantyfikowany, a zatem trywialnie spełniony, jeśli żaden zbiór nie istnieje. ${\ displaystyle V _ {\ omega} \!}$

Liczebność zbioru liczb naturalnych, aleph null ( ), ma wiele właściwości dużego kardynała . Tak więc aksjomat nieskończoności jest czasami uważany za pierwszy duży aksjomat kardynalny , a odwrotnie, duże aksjomaty kardynalne są czasami nazywane silniejszymi aksjomatami nieskończoności. ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Zobacz też

Bibliografia

Paul Halmos (1960) Naiwna teoria mnogości . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Przedruk 1974 przez Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6 .
Thomas Jech (2003) Teoria mnogości: trzecie wydanie milenijne, poprawione i rozszerzone . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2 .
Kenneth Kunen (1980) Teoria zbiorów: wprowadzenie do dowodów niezależności . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .
Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999). Wprowadzenie do teorii mnogości (wyd. 3). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7915-0 .

Languages

In other projects