Del - Del

Del operatora
reprezentuje
w symbolu Nabla

Del lub nabla to operator używany w matematyce (szczególnie w rachunku wektorowym ) jako wektorowy operator różniczkowy , zwykle reprezentowany przez symbol nabla ∇ . W przypadku zastosowania do funkcji zdefiniowanej w domenie jednowymiarowej , oznacza standardową pochodną funkcji zdefiniowanej w rachunku różniczkowym . Po zastosowaniu do pola (funkcja zdefiniowana w dziedzinie wielowymiarowej), może oznaczać jeden z trzech operatorów w zależności od sposobu jej zastosowania: gradient lub (lokalnie) największe nachylenie pola skalarnego (lub czasami pole wektorowe , jak w równaniach Naviera-Stokesa ); odchylenia pola wektorowego; lub zwinięcie (obrót) pola wektorowego.

Ściśle mówiąc, del nie jest konkretnym operatorem, ale raczej wygodną notacją matematyczną dla tych trzech operatorów, która ułatwia zapisanie i zapamiętanie wielu równań . Symbol del (lub nabla) można interpretować jako wektor operatorów pochodnych cząstkowych ; i jego trzech możliwych znaczenia gradiencie, odchylenie i zwijanie, mogą być formalnie postrzegane jako produkt z skalarną iloczynu skalarnego , i poprzecznym produktu , odpowiednio, „del operatora” z pola. Te formalne produkty niekoniecznie łączą się z innymi operatorami lub produktami. Te trzy zastosowania, wyszczególnione poniżej, są podsumowane jako:

• Gradient: ${\ Displaystyle \ operatorname {grad} f = \ nabla f}$
• Rozbieżność: ${\ Displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {v}} = \ nabla \ cdot {\ vec {v}}}$
• Kędzior: ${\ Displaystyle \ operatorname {curl} {\ vec {v}} = \ nabla \ razy {\ vec {v}}}$

Definicja

W kartezjańskim układzie współrzędnych R ⁿ o współrzędnych i podstawie standardowej del definiuje się w kategoriach operatorów pochodnych cząstkowych jako ${\ Displaystyle (x_ {1}, \ kropki, x_ {n})}$ ${\ Displaystyle \ {{\ vec {e}} _ {1}, \ kropki, {\ vec {e}} _ {n} \}}$

${\ Displaystyle \ nabla = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {e}} _ {i} {\ częściowy \ ponad \ częściowy x_ {i}} = \ lewo ({\ częściowy \ ponad \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

W trójwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych R ³ ze współrzędnymi i standardową bazą lub wektorami jednostkowymi osi del jest zapisywane jako ${\displaystyle (x,y,z)}$${\ Displaystyle \ {{\ vec {e}} _ {x}, {\ vec {e}} _ {y}, {\ vec {e}} _ {z} \}}$

${\ Displaystyle \ nabla = {\ vec {e}} _ {x} {\ częściowy \ nad \ częściowy x} + {\ vec {e}} _ {y} {\ częściowy \ nad \ częściowy y} + {\ vec {e}}_{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z }\Prawidłowy)}$

Przykład:

${\ Displaystyle f (x, y, z) = x + y + z}$

${\ Displaystyle \ nabla f = {\ vec {e}} _ {x} \ częściowy f \ nad \ częściowy x} + {\ vec {e}} _ {y} {\ częściowy f \ nad \ częściowy y} +{\vec {e}}_{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)}$

Del można również wyrazić w innych układach współrzędnych, patrz na przykład del we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych .

Zastosowania notacyjne

Del jest używany jako skrócona forma w celu uproszczenia wielu długich wyrażeń matematycznych. Jest najczęściej używany do uproszczenia wyrażeń dla gradientu , dywergencji , rotacji , pochodnej kierunkowej i Laplace'a .

Gradient

Pochodna wektorowa pola skalarnego nazywana jest gradientem i może być reprezentowana jako: ${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {grad} f = {\ częściowy f \ nad \ częściowy x} {\ vec {e}} _ {x} + {\ częściowy f \ nad \ częściowy y} {\ vec {e}} _ {y}+{\partial f \over \partial z}{\vec {e}}_{z}=\nabla f}$

Zawsze wskazuje w kierunku największego przyrostu , i ma wielkość równą maksymalnej stopie wzrostu w punkcie — tak jak standardowa pochodna. W szczególności, jeśli wzgórze jest zdefiniowane jako funkcja wysokości nad płaszczyzną , gradient w danej lokalizacji będzie wektorem w płaszczyźnie xy (widocznym jako strzałka na mapie) wskazującym wzdłuż najbardziej stromego kierunku. Wielkość nachylenia jest wartością tego najbardziej stromego zbocza. ${\displaystyle f}$${\displaystyle h(x,y)}$

W szczególności ta notacja jest potężna, ponieważ reguła iloczynu gradientu wygląda bardzo podobnie do przypadku 1-wymiarowej pochodnej:

${\ Displaystyle \ nabla (fg) = f \ nabla g + g \ nabla f}$

Jednak zasady dotyczące iloczynów skalarnych nie okazują się proste, co ilustrują:

${\ Displaystyle \ nabla ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) = ({\ vec {u}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} + ({\ vec { v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\ nabla \times {\vec {u}})}$

Rozbieżność

Rozbieżność z pola wektorowego jest skalar funkcji, które mogą być przedstawione jako: ${\ Displaystyle {\ vec {v}} (x, y, z) = v_ {x} {\ vec {e}} _ {x} + v_ {y} {\ vec {e}} _ {y} + v_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {v}} = {\ częściowy v_ {x} \ nad \ częściowy x} + {\ częściowy v_ {y} \ nad \ częściowy v_} + {\ częściowy v_ {z } \over \partial z}=\nabla \cdot {\vec {v}}}$

Rozbieżność jest w przybliżeniu miarą wzrostu pola wektorowego w kierunku, który wskazuje; ale dokładniej, jest to miara tendencji tego pola do zbiegania się w kierunku punktu lub rozchodzenia się od niego.

Siła notacji del jest pokazana przez następującą regułę iloczynową:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (f {\ vec {v}}) = (\ nabla f) \ cdot {\ vec {v}} + f (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})}$

Wzór na iloczyn wektorowy jest nieco mniej intuicyjny, ponieważ iloczyn ten nie jest przemienny:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot ({\ vec {u}} \ razy {\ vec {v}}) = (\ nabla \ razy {\ vec {u}}) \ cdot {\ vec {v}} - { \vec {u}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})}$

Kędzior

Zwijanie pola wektora jest wektor funkcji, które mogą być przedstawione jako: ${\ Displaystyle {\ vec {v}} (x, y, z) = v_ {x} {\ vec {e}} _ {x} + v_ {y} {\ vec {e}} _ {y} + v_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {curl} {\ vec {v}} = \ lewo ({\ częściowy v_ {z} \ nad \ częściowy Y} - {\ częściowy v_ {y} \ nad \ częściowy z} \ po prawej) { \vec {e}}_{x}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\vec {e} }_{y}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\vec {e}}_{z} =\nabla \times {\vec {v}}}$

Zawinięcie w punkcie jest proporcjonalne do momentu obrotowego na osi, któremu podlegałby mały wiatraczek, gdyby był wyśrodkowany w tym punkcie.

Działanie produktów wektor może być przedstawiana jako pseudo determinanty :

${\ Displaystyle \ nabla \ razy {\ vec {v}} = \ lewo | {\ zacząć {macierz} {\ vec {e}} _ {x} i {\ vec {e}} _ {y} i {\ vec {e}}_{z}\\[2pt]{\frac {\częściowy }{\częściowy x}}&{\frac {\częściowy }{\częściowy y}}&{\frac {\częściowy }{ \partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{macierz}}\right|}$

Ponownie moc notacji pokazuje reguła iloczynu:

${\ Displaystyle \ nabla \ razy (f {\ vec {v}}) = (\ nabla f) \ razy {\ vec {v}} + f (\ nabla \ razy {\ vec {v}})}$

Niestety reguła dla iloczynu wektorowego nie okazuje się prosta:

${\ Displaystyle \ nabla \ razy ({\ vec {u}} \ razy {\ vec {v}}) = {\ vec {u}} \ (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) - { \vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec { u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}}$

Kierunkowa pochodna

Kierunkowe pochodną skalarnej pola w kierunku jest zdefiniowany jako: ${\displaystyle f(x,y,z)}$${\ Displaystyle {\ vec {a}} (x, y, z) = a_ {x} {\ vec {e}} _ {x} + a_ {y} {\ vec {e}} _ {y} + a_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\ Displaystyle {\ vec {a}} \ cdot \ nazwa operatora {grad} f = a_ {x} \ częściowe f \ nad \ częściowe x} + a_ {y} {\ częściowe f \ nad \ częściowe y} + a_ {z}{\partial f \over \partial z}={\vec {a}}\cdot (\nabla f)}$

Daje to tempo zmian pola w kierunku , przeskalowane przez wielkość . W notacji operatora element w nawiasach można uznać za pojedynczą spójną jednostkę; dynamika płynów szeroko wykorzystuje tę konwencję, nazywając ją pochodną konwekcyjną — „ruchomą” pochodną płynu. ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {a}}}$

Zauważ, że jest to operator, który przyjmuje skalar do skalara. Można go rozszerzyć do działania na wektorze, operując oddzielnie na każdym z jego elementów. ${\ Displaystyle ({\ vec {a}} \ cdot \ nabla)}$

Laplace'a

Laplasjanu jest skalar operatorowi, które mogą być stosowane albo wektor lub pól skalarnych; dla kartezjańskich układów współrzędnych definiuje się ją jako:

${\ Displaystyle \ Delta = {\ częściowy ^ {2} \ nad \ częściowy x ^ {2}} + {\ częściowy ^ {2} \ nad \ częściowy y ^ {2}} + {\ częściowy ^ {2} \ ponad \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$

a definicja bardziej ogólnych układów współrzędnych jest podana w wektorze Laplacen .

Laplasjan są wszechobecne dzięki nowoczesnej fizyki matematycznych , pojawiające się na przykład równania Laplace'a , równanie Poissona The równanie ciepła The równanie fali , a równanie Schrödingera .

Hesja macierz

Chociaż zwykle reprezentuje Laplace'a , czasami reprezentuje również macierz Hesji . Pierwsza odnosi się do iloczynu wewnętrznego , podczas gdy druga odnosi się do iloczynu dwuczłonowego : ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle \nabla}$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} = \ nabla \ cdot \ nabla ^ {T}}$.

Zatem to, czy odnosi się do macierzy Laplace'a, czy Hesji, zależy od kontekstu. ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$

Pochodna tensorowa

Del można również zastosować do pola wektorowego, czego wynikiem jest tensor . Pochodną tensor pola wektorowego (w trzech wymiarach) jest 9-termin drugorzędna napinacz - to jest macierzą 3 x 3 - ale mogą być oznaczone po prostu jako gdzie reprezentuje produkt dwójkowym . Ta wielkość jest równoważna transpozycji macierzy Jakobianu pola wektorowego względem przestrzeni. Rozbieżność pola wektorowego może być wtedy wyrażona jako ślad tej macierzy. ${\displaystyle {\vec {v}}}$${\ Displaystyle \ nabla \ czasami {\ vec {v}}}$${\ Displaystyle \ czasami}$

Dla małego przemieszczenia zmiana pola wektorowego jest dana wzorem: ${\ Displaystyle \ delta {\ vec {r}}}$

${\ Displaystyle \ delta {\ vec {v}} = (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {T} \ cdot \ delta {\ vec {r}}}$

Zasady produktu

Dla rachunku wektorowego :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ nabla (fg) i = f \ nabla g + g \ nabla f \ \ \ nabla ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) i = { \vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})+({\vec { u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}\\\nabla \cdot (f{\vec {v} })&=f(\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}\cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot ({\vec {u}}\times { \vec {v}})&={\vec {v}}\cdot (\nabla \times {\vec {u}})-{\vec {u}}\cdot (\nabla \times {\vec { v}})\\\nabla \times (f{\vec {v}})&=(\nabla f)\times {\vec {v}}+f(\nabla \times {\vec {v}} )\\\nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})&={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})- {\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}\end{wyrównany}}}$

Dla rachunku macierzowego (dla którego można napisać ): ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}$${\ Displaystyle {\ vec {u}} ^ {\ tekst {T}} {\ vec {v}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo (\ mathbf {A} \ nabla \ prawej) ^ {\ tekst {T}} {\ vec {u}} & = \ nabla ^ {\ tekst {T}} \ left(\mathbf {A} ^{\text{T}}{\vec {u}}\right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T }}\right){\vec {u}}\end{wyrównany}}}$

Inna interesująca relacja (patrz np. równania Eulera ) jest następująca, gdzie jest tensorem iloczynu zewnętrznego : ${\displaystyle {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ nabla \ cdot ({\ vec {u}} \ otimes {\ vec {v}}) = (\ nabla \ cdot {\ vec {u}}) {\ vec {v }}+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\end{wyrównany}}}$

Drugie pochodne

Wykres DCG: Prosty wykres przedstawiający wszystkie zasady odnoszące się do drugiej pochodnej. D, C, G, L i CC oznaczają odpowiednio rozbieżność, zwijanie, gradient, laplacian i zwijanie się zwinięcia. Strzałki wskazują na istnienie drugiej pochodnej. Niebieskie kółko pośrodku reprezentuje zwijanie się skrętu, podczas gdy pozostałe dwa czerwone kółka (przerywane) oznaczają, że DD i GG nie istnieją.

Gdy del działa na skalarze lub wektorze, zwracany jest skalar lub wektor. Ze względu na różnorodność iloczynów wektorowych (skalarny, kropkowy, krzyżowy) już jedno zastosowanie del daje początek trzem głównym pochodnym: gradientowi (iloczyn skalarny), dywergencji (iloczyn skalarny) i rotacji (iloczyn krzyżowy). Ponowne zastosowanie tych trzech rodzajów pochodnych do siebie daje pięć możliwych drugich pochodnych, dla pola skalarnego f lub pola wektorowego v ; użycie skalarnego Laplace'a i wektorowego Laplace'a daje jeszcze dwa:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ nazwa operatora {dział} (\ nazwa operatora {stopień} f) i = \ nabla \ cdot (\ nabla f) \ \ \ nazwa operatora {zwijanie} (\ nazwa operatora {stopień} f) i = \nabla \times (\nabla f)\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\nazwa operatora {grad} (\nazwa operatora {div} {\vec {v}})&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})\\\operator {div} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}}) \\\operator {curl} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})\\\Delta {\vec {v} }&=\nabla ^{2}{\vec {v}}\end{wyrównany}}}$

Są one interesujące przede wszystkim dlatego, że nie zawsze są unikalne lub niezależne od siebie. Dopóki funkcje są dobrze zachowane , dwie z nich zawsze mają wartość zero:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ nazwa operatora {zwijanie} (\ nazwa operatora {grad} f) i = \ nabla \ razy (\ nabla f) = 0 \ \ \ operatorname {div} (\ operator {curl} {\ vec {v}})&=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=0\end{wyrównany}}}$

Dwa z nich są zawsze równe:

${\ Displaystyle \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} f) = \ nabla \ cdot (\ nabla f) = \ nabla ^ {2} f = \ Delta f}$

Pozostałe 3 pochodne wektorów są powiązane równaniem:

${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ lewo (\ nabla \ razy {\ vec {v}} \ po prawej) = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) - \ nabla ^ {2} {\ vec {v}}}$

A jeden z nich można nawet wyrazić za pomocą iloczynu tensorowego, jeśli funkcje są dobrze zachowane:

${\ Displaystyle \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) = \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ czasami \ nabla)}$

Środki ostrożności

Większość powyższych właściwości wektora (z wyjątkiem tych, które bezpośrednio opierają się na właściwościach różniczkowych del — na przykład na regule iloczynu) opiera się tylko na rearanżacji symbolu i musi koniecznie obowiązywać, jeśli symbol del zostanie zastąpiony przez jakikolwiek inny wektor. Jest to część wartości, którą można uzyskać w notacji reprezentowania tego operatora jako wektora.

Choć można często zastąpić del wektorem i uzyskanie tożsamości wektorowej, dzięki czemu te tożsamości pamięciowy, odwrotna to nie koniecznie wiarygodne, ponieważ del nie dojeżdżają w ogóle.

Kontrprzykład, który opiera się na braku dojazdów dela:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) f i \ równoważny ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {u}}) f \ \(\nabla \cdot {\vec {v}})f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\ częściowy y}}+{\frac {\częściowy v_{z}}{\częściowy z}}\right)f={\frac {\częściowy v_{x}}{\częściowy x}}f+{\frac {\ częściowa v_{y}}{\częściowa v_}}f+{\frac {\częściowa v_{z}}{\częściowa z}}f\\({\vec {v}}\cdot \nabla )f&=\left (v_{x}{\frac {\częściowy }{\częściowy x}}+v_{y}{\frac {\częściowy }{\częściowy y}}+v_{z}{\frac {\częściowy }{\ częściowy z}}\right)f=v_{x}{\frac {\częściowy f}{\częściowy x}}+v_{y}{\frac {\częściowy f}{\częściowy y}}+v_{z }{\frac {\częściowy f}{\częściowy z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot {\vec {v}})f&\neq ({\vec {v}}\cdot \nabla )f\ \\end{wyrównany}}}$

Kontrprzykład, który opiera się na właściwościach różniczkowych dela:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (\ nabla x) \ razy (\ nabla r) i = \ lewo ({\ vec {e}} _ {x} {\ Frac {\ częściowy x} {\ częściowy x} }+{\vec {e}}_{y}{\frac {\częściowy x}{\częściowy y}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\częściowy x}{\częściowy z}}\right)\times \left({\vec {e}}_{x}{\frac {\częściowy y}{\częściowy x}}+{\vec {e}}_{y}{\ frac {\częściowy r}{\częściowy r}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\częściowy r}{\częściowy r}}\right)\\&=({\vec { e}}_{x}\cdot 1+{\vec {e}}_{y}\cdot 0+{\vec {e}}_{z}\cdot 0)\times ({\vec {e} }_{x}\cdot 0+{\vec {e}}_{y}\cdot 1+{\vec {e}}_{z}\cdot 0)\\&={\vec {e}} _{x}\times {\vec {e}}_{y}\\&={\vec {e}}_{z}\\({\vec {u}}x)\times ({\vec {u}}y)&=xy({\vec {u}}\times {\vec {u}})\\&=xy{\vec {0}}\\&={\vec {0}} \end{wyrównany}}}$

Centralnym elementem tych rozróżnień jest fakt, że del nie jest po prostu wektorem; jest to operator wektorowy . Podczas gdy wektor jest obiektem o zarówno wartości, jak i kierunku, del nie ma ani wartości, ani kierunku, dopóki nie działa na funkcji.

Z tego powodu tożsamości obejmujące del muszą być wyprowadzane ostrożnie, przy użyciu zarówno tożsamości wektorowych, jak i tożsamości różnicujących, takich jak reguła produktu.

Zobacz też

• Del we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych
• Notacja dla zróżnicowania
• Tożsamości z rachunku wektorowego
• równania Maxwella
• równania Naviera-Stokesa
• Tabela symboli matematycznych
• Operator Quabla

Bibliografia

• Willard Gibbs i Edwin Bidwell Wilson (1901) Analiza wektorowa , Yale University Press , 1960: Dover Publications .
• Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl i wszystko inne: Nieformalny tekst na rachunku wektorowym . Nowy Jork: Norton. Numer ISBN 0-393-96997-5.
• Miller, Jeff. „Najwcześniejsze zastosowania symboli rachunku różniczkowego” .
• Arnold Neumaier (26 stycznia 1998). Clevé Moler (red.). „Historia Nabli” . NA Digest, tom 98, wydanie 03. netlib.org.

Zewnętrzne linki

• Badanie niewłaściwego użycia ∇ w analizie wektorowej (1994) Tai, Chen