Liczba pięciokątna - Pentagonal number

Wizualna reprezentacja pierwszych sześciu liczb pięciokątnych

Liczba pięciokątna to liczba figuratywna, która rozszerza pojęcie liczb trójkątnych i kwadratowych na pięciokąt , ale w przeciwieństwie do dwóch pierwszych, wzory biorące udział w konstrukcji liczb pięciokątnych nie są obrotowo symetryczne . N p pięciokątny liczba p _n oznacza liczbę oddzielnych kropek wzór kropek składająca się z konturami regularnych pięciokątów z boków do n punktów, kiedy pięciokąty leżą na sobie tak, że łączy je jeden wierzchołek . Na przykład trzeci składa się z konturów składających się z 1, 5 i 10 kropek, ale 1 i 3 z 5 pokrywają się z 3 z 10 – pozostawiając 12 odrębnych kropek, 10 w kształcie pięciokąta i 2 wewnątrz.

p _n wyraża wzór:

${\ Displaystyle p_ {n} = {\ Frac {3n ^ {2}-n} {2}}}$

dla n ≥ 1. Pierwsze kilka liczb pięciokątnych to:

1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176 , 210 , 247 , 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925 , 1001 , 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (sekwencja A000326 w OEIS ).

N-ta liczba pięciokątna jest sumą n liczb całkowitych od n (tj. od n do 2n-1). Zachodzą również następujące relacje:

${\ Displaystyle p_ {n} = p_ {n-1} + 3n-2 = 2p_ {n-1} -p_ {n-2} + 3}$

Liczby pięciokątne są ściśle związane z liczbami trójkątnymi. N p liczba pięciokątny jest trzecia (3, n - 1) p liczba trójkątny . Ponadto, gdzie T _n jest n- ^tą liczbą w trójkącie.

${\ Displaystyle p_ {n} = T_ {n-1} + n ^ {2} = T_ {n} + 2 T_ {n-1} = T_ {2n-1} -T_ {n-1}}$

Uogólnione liczby pięciokątne otrzymujemy ze wzoru podanego powyżej, ale przy n przyjmujących wartości w ciągu 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4..., tworząc ciąg:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (sekwencja A001318 w OEIS ).

Uogólnione liczby pięciokątne są ważne dla teorii podziałów Eulera , wyrażonej w jego twierdzeniu o liczbach pięciokątnych .

Liczba kropek wewnątrz najbardziej zewnętrznego pięciokąta wzoru tworzącego liczbę pięciokątną jest sama w sobie uogólnioną liczbą pięciokątną.

Uogólnione liczby pięciokątne i wyśrodkowane liczby sześciokątne

Uogólnione liczby pięciokątne są ściśle związane z wyśrodkowanymi liczbami sześciokątnymi . Gdy tablica odpowiadająca wyśrodkowanej liczbie sześciokątnej jest podzielona między jej środkowy wiersz i sąsiedni wiersz, pojawia się jako suma dwóch uogólnionych liczb pięciokątnych, przy czym większy element jest liczbą właściwą pięciokątną:

1=1+0		7=5+2		19=12+7		37=22+15

Ogólnie:

${\ Displaystyle 3n (n-1) + 1 = {\ tfrac {1} {2}} n (3n-1) + {\ tfrac {1} {2}} (1-n) {\ bigl (} 3 (1-n)-1{\duży )}}$

gdzie oba wyrazy po prawej stronie są uogólnionymi liczbami pięciokątnymi, a pierwszy wyraz jest liczbą właściwą pięciokąta ( n ≥ 1). Ten podział wyśrodkowanych tablic heksagonalnych daje uogólnione liczby pięciokątne jako tablice trapezoidalne, które można interpretować jako diagramy Ferrersa dla ich podziału. W ten sposób można je wykorzystać do udowodnienia twierdzenia o liczbie pięciokątnej, o której mowa powyżej.

Dowód bez słów, że liczbę pięciokątną można rozłożyć na trzy liczby trójkątne i liczbę naturalną

Testy na liczby pięciokątne

Mając dodatnią liczbę całkowitą x , aby sprawdzić, czy jest to (nieuogólniona) liczba pięciokątna, możemy obliczyć

${\ Displaystyle n = {\ Frac {{\ sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}$

Liczba x jest pięciokątna wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą naturalną . W takim przypadku x jest n- tą liczbą pięciokątną.

Idealny test kwadratowy

W przypadku uogólnionych liczb pięciokątnych wystarczy sprawdzić, czy 24 x + 1 jest kwadratem idealnym.

Dla nieuogólnionych liczb pięciokątnych, oprócz testu idealnego kwadratu, wymagane jest również sprawdzenie, czy

${\displaystyle {\sqrt {24x+1}}\równ 5\mod 6}$

Matematyczne właściwości liczb pięciokątnych zapewniają, że testy te są wystarczające do udowodnienia lub obalenia pięciokąta liczby.

Gnomon

Gnomon liczby N'th Petagonal jest:

${\ Displaystyle p_ {n + 1} - p_ {n} = 3n + 1}$

Liczby kwadratowe pięciokątne

Kwadratowa liczba pięciokątna to liczba pięciokątna, która jest również idealnym kwadratem.

Kilka pierwszych to:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... ( wpis OEIS A036353 )

Zobacz też

• Sześciokątna liczba
• Trójkątny numer

Bibliografia

Dalsza lektura

• Leonhard Euler: O niezwykłych własnościach liczb pięciokątnych