Ultrafiltr - Ultrafilter

Krata powerset zbioru {1,2,3,4}, z górnym zbiorem ↑{1,4} w kolorze ciemnozielonym. Jest to filtr główny , ale nie ultrafiltr , ponieważ można go rozszerzyć na większy nietrywialny filtr ↑{1}, dołączając również elementy jasnozielone. Ponieważ ↑{1} nie może być dalej rozszerzany, jest to ultrafiltr.

W matematycznej dziedzinie teorii rzędu , na ultrafiltrze w danym częściowo uporządkowanego (lub „poset”) jest pewien podzbiór , a mianowicie ilość filtra w , to jest odpowiednim filtrem na który nie może być rozszerzony na większą odpowiednim filtrem na . ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

Jeśli jest zbiorem arbitralnym, jego zbiór potęgowy uporządkowany przez włączenie zbioru jest zawsze algebrą Boole'a, a zatem posetem, a ultrafiltry na zbiorze są zwykle nazywane ultrafiltrami na zbiorze . Ultrafiltr na zestawie mogą być uznane za skończenie dodatku środka na . W tym ujęciu każdy podzbiór jest albo uważany za „ prawie wszystko ” (ma miarę 1), albo „prawie nic” (ma miarę 0), w zależności od tego, czy należy do danego ultrafiltra, czy nie. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle \ wp (X)}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Ultrafiltry mają wiele zastosowań w teorii mnogości, teorii modeli i topologii .

Ultrafiltry na zamówienia częściowe

W teorii zlecenia , Ultrafiltr jest podzbiorem o częściowy porządek , który jest maksymalny pomiędzy wszystkimi odpowiednimi filtrami . Oznacza to, że każdy filtr, który prawidłowo zawiera ultrafiltr, musi odpowiadać całemu zestawowi.

Formalnie, jeśli to zestaw częściowo uporządkowane według następnie ${\displaystyle P}$${\displaystyle \,\leq \,}$

• podzbiorem nazywany jest filtr na razie ${\displaystyle F\subseteq P}$${\displaystyle P}$
  • ${\ Displaystyle F}$ jest niepusta,
  • dla każdego istnieje jakiś element taki, że i i${\displaystyle x,y\wf}$${\ Displaystyle z \ w F}$${\displaystyle z\leq x}$${\displaystyle z\leq y}$
  • dla każdego i implikuje, że jest również;${\displaystyle x\wf}$${\displaystyle y\wp}$ ${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle F}$
• podzbiorem od nazywamy Ultrafiltr na razie ${\ Displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$
  • ${\ Displaystyle U}$jest włączony filtr i${\displaystyle P}$
  • nie ma odpowiedniego filtra na które odpowiednio rozciąga się (to znaczy, że odpowiednie jest podzbiorem właściwym ).${\ Displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle F}$

Rodzaje i istnienie ultrafiltrów

Każdy ultrafiltr należy do dokładnie jednej z dwóch kategorii: głównej i bezpłatnej. Główny (lub stałej lub trywialne ) ultrafiltr jest filtr zawierający najmniejszą elementu . W związku z tym główne ultrafiltry mają formę dla niektórych (ale nie wszystkich) elementów danego zestawu. W tym przypadku nazywany jest głównym elementem ultrafiltra. Wszelkie Ultrafiltr że nie jest główny nazywany jest darmowy (lub nie główny ) Ultrafiltr. ${\ Displaystyle F_ {a} = \ {x: a \ leq x \}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

W przypadku ultrafiltrów w zestawie, główny ultrafiltr składa się ze wszystkich podzbiorów, które zawierają dany element. Każdy ultrafiltr, który jest również głównym filtrem, ma taką postać. Dlatego włączenie ultrafiltru jest najważniejsze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera zbiór skończony. Jeśli jest nieskończona, ultrafiltr na to stąd zakaz główny wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ona filtr Frecheta z cofinite podzbiorów od jeśli jest skończony, każdy Ultrafiltr jest główny. ${\ Displaystyle \ wp (S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\w S.}$${\ Displaystyle \ wp (S)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ wp (S)}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ wp (S)}$${\ Displaystyle S.}$${\displaystyle S}$

Każdy filtr w algebrze Boole'a (lub ogólniej dowolny podzbiór z właściwością przecięcia skończonego ) jest zawarty w ultrafiltrze (patrz lemat o ultrafiltrze ) i dlatego istnieją wolne ultrafiltry, ale dowody zawierają aksjomat wyboru ( AC ) w postaci z lematu Zorna . Z drugiej strony stwierdzenie, że każdy filtr jest zawarty w ultrafiltrze, nie oznacza AC . Rzeczywiście, jest to równoważne twierdzeniu Boole'a o pierwszych ideałach ( BPIT ), dobrze znanym punkcie pośrednim między aksjomatami teorii mnogości Zermelo-Fraenkela ( ZF ) a teorią ZF powiększoną o aksjomat wyboru ( ZFC ). Ogólnie rzecz biorąc, dowody obejmujące aksjomat wyboru nie dają wyraźnych przykładów wolnych ultrafiltrów, chociaż możliwe jest znalezienie wyraźnych przykładów w niektórych modelach ZFC ; na przykład Gödel pokazał, że można to zrobić w konstruowalnym wszechświecie, w którym można zapisać jawną funkcję globalnego wyboru. W ZF bez aksjomatu wyboru możliwe jest, że każdy ultrafiltr jest najważniejszy.

Ultrafiltr na algebrze Boole'a

Ważny szczególny przypadek pojęcia występuje wtedy, gdy rozważany poset jest algebrą Boole'a . W tym przypadku, ultrafiltry charakteryzują się tym, że zawiera, dla każdego elementu z logicznego Algebra dokładnie jednego z elementów i Ź (czym ten ostatni jest logiczna dopełniacza z ): ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Jeśli jest algebrą Boole'a i jest odpowiednim filtrem, wówczas następujące wyrażenia są równoważne: ${\displaystyle P}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle P}$

1. ${\ Displaystyle F}$ czy ultrafiltr jest włączony? ${\displaystyle P}$
2. ${\ Displaystyle F}$czy filtr główny jest włączony?${\displaystyle P}$
3. dla każdego albo (¬ )${\displaystyle a\wp}$${\ Displaystyle a \ w F}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle \ w F.}$

Dowód 1. ⇔ 2. znajduje się również w (Burris, Sankappanavar, 2012, Corollary 3.13, s.133).

Ponadto ultrafiltry w algebrze Boole'a mogą być powiązane z maksymalnymi ideałami i homomorfizmami z dwuelementową algebrą Boole'a {prawda, fałsz} (znaną również jako morfizmy dwuwartościowe ) w następujący sposób:

• Biorąc pod uwagę homomorfizm algebry Boole'a na {prawda, fałsz}, odwrotny obraz "prawdy" jest ultrafiltrem, a odwrotny obraz "fałszu" jest maksymalnym ideałem.
• Biorąc pod uwagę maksymalny ideał algebry Boole'a, jej dopełnieniem jest ultrafiltr, a na {prawda, fałsz} występuje unikalny homomorfizm, który przyjmuje maksymalny ideał na „fałsz”.
• Biorąc pod uwagę ultrafiltr na algebrze Boole'a, jego uzupełnieniem jest maksymalny ideał, a na {prawda, fałsz} występuje unikalny homomorfizm, który przyjmuje ultrafiltr na „prawdę”.

Ultrafiltr na zestawie mocy

Biorąc pod uwagę dowolny zbiór, jego zbiór potęgowy uporządkowany przez włączenie zbioru jest zawsze algebrą Boole'a; stąd wyniki powyższej sekcji Przypadek specjalny: zastosowanie ma algebra Boole'a . Włączony (ultra)filtr jest często nazywany po prostu „(ultra)filtrem włączonym ”. Powyższe formalne definicje można uszczegółowić w przypadku powerset w następujący sposób: ${\displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle X}$

Biorąc pod uwagę dowolny zestaw, na który włączony jest ultrafiltr, to zestaw składający się z podzbiorów takich, że: ${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$

1. Pusty zbiór nie jest elementem ${\ Displaystyle U.}$
2. Jeśli i są podzbiorami zbioru jest podzbiorem i jest elementem to jest również elementem${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle U.}$
3. Jeżeli i to elementy następnie tak jest przecięcie z a${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B.}$
4. Jeśli jest podzbiorem, to albo albo jego względne uzupełnienie jest elementem${\ Displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X \ setminus A}$${\ Displaystyle U.}$

Inny sposób patrzenia na ultrafiltry na zestawie mocy jest następujący: dla danego ultrafiltra zdefiniuj funkcję on przez ustawienie if jest elementem i inaczej. Taka funkcja nazywana jest dwuwartościowym morfizmem . Wtedy jest skończenie addytywny , a więc treść na i każda właściwość elementów jest albo prawdziwa prawie wszędzie, albo prawie wszędzie fałszywa. Jednak zazwyczaj nie jest przeliczalnie addytywny , a zatem nie definiuje miary w zwykłym znaczeniu. ${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle m (A) = 1}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle m (A) = 0}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle m}$

W przypadku filtra, który nie jest ultrafiltrem, można by powiedzieć, czy i czy pozostawić gdzie indziej nieokreślone. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle m (A) = 1}$${\ Displaystyle A \ w F}$${\ Displaystyle m (A) = 0}$${\ Displaystyle X \ setminus A \ w F}$${\ Displaystyle m}$

Aplikacje

Ultrafiltry na powersetach są przydatne w topologii , szczególnie w odniesieniu do zwartych przestrzeni Hausdorffa , oraz w teorii modeli w konstrukcji ultraproduktów i ultramocy . Każdy ultrafiltr na kompaktowej przestrzeni Hausdorffa zbiega się dokładnie w jednym punkcie. Podobnie ultrafiltry na algebrach Boole'a odgrywają kluczową rolę w twierdzeniu Stone'a o reprezentacji .

Zbiór wszystkich ultrafiltrów posetu można topologizować w sposób naturalny, czyli ściśle powiązany z wyżej wspomnianym twierdzeniem o reprezentacji. Dla każdego elementu z , niech ta jest najbardziej przydatna, gdy jest znowu Boole'a, ponieważ w takiej sytuacji zbiór wszystkich jest bazą dla kompaktowego topologii na Hausdorffa . Zwłaszcza, gdy biorąc pod uwagę ultrafiltry na PowerSet powstałą przestrzeń topologiczna jest zwartym kamienny Čech z przestrzeni dyskretnej o liczności${\ Displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle a}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle D_ {a} = \ lewo \ {U \ w G: a \ w U \ po prawej \}.}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle D_ {a}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ wp (S)}$${\displaystyle |S|.}$

Konstrukcja ultraproduktów w teorii modeli wykorzystuje ultrafiltry do wytwarzania elementarnych rozszerzeń konstrukcji. Na przykład przy budowie numery Hiperrzeczywista jako ultraprodukt z liczb rzeczywistych The domena mowy jest przedłużony od rzeczywistych numerów sekwencji liczb rzeczywistych. Ta przestrzeń sekwencji jest uważana za nadzbiór liczb rzeczywistych przez identyfikowanie każdej rzeczywistej z odpowiednią sekwencją stałą. Aby rozszerzyć znane funkcje i relacje (np. + i <) z liczb rzeczywistych do hiperrzeczywistych, naturalnym pomysłem jest zdefiniowanie ich punktowo. Ale to spowodowałoby utratę ważnych logicznych właściwości rzeczywistych; na przykład punktowe < nie jest porządkiem całkowitym. Więc zamiast tego funkcje i relacje są zdefiniowane " pointwise modulo " , gdzie jest ultrafiltrem na zbiorze indeksów sekwencji; według twierdzenia Łosia , zachowuje to wszystkie własności rzeczy rzeczywistych, które można stwierdzić w logice pierwszego rzędu . Jeżeli jest niegłówne, to otrzymane w ten sposób rozszerzenie nie jest trywialne. ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U}$

W geometrycznej teorii grup do określenia asymptotycznego stożka grupy używa się niegłównych ultrafiltrów . Ta konstrukcja daje rygorystyczny sposób na rozważenie patrzenia na grupę od nieskończoności , czyli geometrii grupy na dużą skalę. Asymptotyczne stożki szczególne przykłady ultralimits z przestrzeni metrycznych .

Ontologiczny dowód na istnienie Boga Gödla wykorzystuje jako aksjomat, że zbiór wszystkich „właściwości pozytywnych” jest ultrafiltrem.

W teorii wyboru społecznego ultrafiltry, które nie są głównymi, służą do definiowania reguły (zwanej funkcją dobrobytu społecznego ) służącej do agregowania preferencji nieskończenie wielu jednostek. W przeciwieństwie do twierdzenia Arrowa o niemożliwości dla skończenie wielu jednostek, taka reguła spełnia warunki (właściwości) proponowane przez Arrow (np. Kirman i Sondermann, 1972). Mihara (1997, 1999) pokazuje jednak, że takie reguły są w praktyce mało interesujące dla socjologów, ponieważ są niealgorytmiczne lub nieobliczalne.

Zobacz też

• Filtr (matematyka)  – W matematyce specjalny podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego
• Filtry w topologii  — zastosowanie filtrów do opisania i scharakteryzowania wszystkich podstawowych pojęć topologicznych i wyników.
• Uniwersalna siatka

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

• Archangielski, Aleksander Władimirowicz ; Ponomariew, VI (1984). Podstawy topologii ogólnej: problemy i ćwiczenia . Matematyka i jej zastosowania. 13 . Dordrecht Boston: D. Reidel . Numer ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC  9944489 .
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topologia ogólna: Rozdziały 1–4 [ Topologie Générale ]. Elementy matematyczne . Berlin Nowy Jork: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Dixmier, Jacques (1984). Ogólna topologia . Teksty licencjackie z matematyki. Tłumaczone przez Berberian, SK Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Doleckiego, Szymona ; Mynard, Fryderyk (2016). Podstawy zbieżności topologii . New Jersey: World Scientific Publishing Company. Numer ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Dugundji, James (1966). Topologia . Boston: Allyn i Bacon. Numer ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Császár, Ákos (1978). Ogólna topologia . Tłumaczone przez Császára, Klara. Bristol Anglia: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011 .
• Jech, Tomasz (2006). Teoria mnogości: wydanie trzecie tysiąclecie, poprawione i rozszerzone . Berlin Nowy Jork: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC  50422939 .
• Joshi, KD (1983). Wprowadzenie do topologii ogólnej . Nowy Jork: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. 9218750 OCLC  .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schechter, Eric (1996). Podręcznik analizy i jego podstawy . San Diego, Kalifornia: Prasa akademicka. Numer ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Schuberta, Horsta (1968). Topologia . Londyn: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753 .

Dalsza lektura

• Komfort, WW (1977). „Ultrafiltry: niektóre stare i niektóre nowe wyniki” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 83 (4): 417–455. doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN  0002-9904 . MR  0454893 .
• Komfort, WW; Negrepontis, S. (1974), Teoria ultrafiltrów , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , MR  0396267
• Ultrafiltr w nLab