Rzeczywista nieskończoność - Actual infinity

W filozofii matematyki The abstrakcji od rzeczywistej nieskończoności wiąże się z akceptacją (jeśli aksjomat nieskończoności jest włączone) nieskończonych podmiotów, jak podano, faktycznych i zrealizowanych obiektów. Mogą to być zbiór liczb naturalnych , rozszerzone liczby rzeczywiste , liczby nieskończone, a nawet nieskończony ciąg liczb wymiernych . Rzeczywistą nieskończoność należy skontrastować z potencjalną nieskończonością , w której niekończący się proces (taki jak „dodanie 1 do poprzedniej liczby”) tworzy sekwencję bez ostatniego elementu, a każdy pojedynczy wynik jest skończony i osiągany w skończonej liczba kroków. W rezultacie potencjalną nieskończoność często formalizuje się za pomocą pojęcia limitu .

Anaksymander

Starożytnym greckim terminem określającym potencjalną lub niewłaściwą nieskończoność był apeiron (nieograniczony lub nieokreślony), w przeciwieństwie do rzeczywistego lub właściwego nieskończonego aforyzmonu . Apeiron stoi w opozycji do tego, co ma peras (ograniczenie). Pojęcia te są dziś oznaczane odpowiednio przez potencjalnie nieskończony i faktycznie nieskończony .

Anaksymander (610-546 pne) utrzymywał, że apeiron jest zasadą lub głównym elementem składającym się na wszystkie rzeczy. Najwyraźniej „apeiron” był jakąś podstawową substancją. Pojęcie apeiron Platona jest bardziej abstrakcyjne i ma do czynienia z nieskończoną zmiennością. Główne dialogi, w których Platon omawia „apeiron”, to późne dialogi Parmenidesa i Filebusa .

Arystoteles

Arystoteles podsumowuje poglądy swoich poprzedników na nieskończoność w następujący sposób:

„Tylko pitagorejczycy umieszczają nieskończoność wśród przedmiotów zmysłowych (nie uważają liczby za oddzieloną od nich) i twierdzą, że to, co jest poza niebem, jest nieskończone. Platon natomiast utrzymuje, że nie ma ciała na zewnątrz ( Formy nie są na zewnątrz, ponieważ nigdzie ich nie ma), a jednak nieskończoność jest obecna nie tylko w przedmiotach zmysłowych, ale także w Formach”. (Arystoteles)

Temat został wysunięty przez Arystotelesowskie rozważania na temat apeiron — w kontekście matematyki i fizyki (nauki o przyrodzie):

„Nieskończoność okazuje się być przeciwieństwem tego, o czym mówią ludzie. To nie „to, co nie ma nic poza sobą”, jest nieskończone, ale „to, co zawsze ma coś poza sobą”. (Arystoteles)

Wiara w istnienie nieskończoności wynika głównie z pięciu rozważań:

1. Z natury czasu – bo jest nieskończony.
2. Z podziału wielkości – dla matematyków również posługują się pojęciem nieskończoności.
3. Jeśli pojawianie się i przemijanie nie poddaje się, to tylko dlatego, że to, z czego powstają, jest nieskończone.
4. Bo to, co ograniczone, zawsze znajduje w czymś swoją granicę, tak że nie może być granic, jeśli wszystko jest zawsze ograniczone przez coś innego od siebie.
5. Przede wszystkim powód, który jest szczególnie słuszny i przedstawia trudność odczuwaną przez wszystkich – nie tylko liczba, ale i wielkości matematyczne oraz to, co jest poza niebem, ma być nieskończone, ponieważ nigdy nie ustępuje w naszej myśli. (Arystoteles)

Arystoteles postulował, że rzeczywista nieskończoność jest niemożliwa, ponieważ gdyby była możliwa, to coś osiągnęłoby nieskończoną wielkość i byłoby „większe niż niebiosa”. Powiedział jednak, że matematyka odnosząca się do nieskończoności nie została pozbawiona swojej stosowalności przez tę niemożliwość, ponieważ matematycy nie potrzebują nieskończoności do swoich twierdzeń, tylko skończoną, arbitralnie dużą wielkość.

Arystotelesowskie rozróżnienie między potencjałem a rzeczywistością

Arystoteles zajmował się tematem nieskończoności w fizyce i metafizyce . Rozróżniał nieskończoność rzeczywistą i potencjalną . Rzeczywista nieskończoność jest pełna i określona i składa się z nieskończenie wielu elementów. Potencjalna nieskończoność nigdy nie jest pełna: elementy mogą być zawsze dodawane, ale nigdy nieskończenie wiele.

„Gdyż na ogół nieskończoność ma ten sposób istnienia: jedna rzecz jest zawsze brana po drugiej, a każda rzecz, która jest brana, jest zawsze skończona, ale zawsze inna”.

—  Arystoteles, Fizyka, księga 3, rozdział 6.

Arystoteles rozróżniał nieskończoność ze względu na dodawanie i dzielenie.

Ale Platon ma dwie nieskończoności, Wielką i Małą.

—  Fizyka, księga 3, rozdział 4.

"Jako przykład potencjalnie nieskończonej serii w odniesieniu do wzrostu, jedna liczba może być zawsze dodawana po drugiej w serii, która zaczyna się od 1,2,3, ... ale proces dodawania coraz większej liczby liczb nie może zostać wyczerpany ani zakończony ”.

W odniesieniu do podziału może rozpocząć się potencjalnie nieskończona sekwencja podziałów, na przykład 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ale proces podziału nie może zostać wyczerpany ani zakończony.

„Bo fakt, że proces dzielenia nigdy się nie kończy, zapewnia, że ​​ta aktywność istnieje potencjalnie, ale nie, że nieskończoność istnieje oddzielnie”.

—  Metafizyka, księga 9, rozdział 6.

Arystoteles twierdził również, że greccy matematycy znali różnicę między rzeczywistym nieskończonym potencjalnym nieskończonym ea, ale „nie potrzebują [rzeczywistego] nieskończoności i nie używają go” ( Phys. III 2079 29).

Myśliciele scholastyczni, renesansowi i oświeceniowi

Przytłaczająca większość filozofów scholastycznych trzymała się dewizy Infinitum actu non datur . Oznacza to, że istnieje tylko (rozwijająca się, niewłaściwa, „synkategorematyczna”) potencjalna nieskończoność, a nie (stała, właściwa, „kategorematyczna”) nieskończoność rzeczywista . Były jednak wyjątki, na przykład w Anglii.

Powszechnie wiadomo, że w średniowieczu wszyscy filozofowie scholastyczni opowiadają się za niepodważalną zasadą Arystotelesa „infinitum actu non datur”. ( G. Kantor )

Rzeczywista nieskończoność istnieje w liczbie, czasie i ilości. (J. Baconthorpe [9, s. 96])

W okresie renesansu i w czasach nowożytnych głosy za rzeczywistą nieskończonością były raczej rzadkie.

Kontinuum w rzeczywistości składa się z nieskończenie wielu niepodzielnych ( G. Galilei [9, s. 97])

Tak bardzo popieram rzeczywistą nieskończoność. ( GW Leibniz [9, s. 97])

Jednak większość myślicieli przednowoczesnych zgodziła się ze znanym cytatem Gaussa:

Protestuję przeciwko używaniu nieskończonej wielkości jako czegoś ukończonego, co nigdy nie jest dopuszczalne w matematyce. Nieskończoność jest tylko sposobem mówienia, a prawdziwym znaczeniem jest granica, do której pewne stosunki zbliżają się nieskończenie blisko, podczas gdy inne mogą wzrastać bez ograniczeń. ( CF Gauss [w liście do Schumachera, 12 lipca 1831])

Epoka nowożytna

Rzeczywista nieskończoność jest obecnie powszechnie akceptowana. Drastyczną zmianę zapoczątkowali Bolzano i Cantor w XIX wieku.

Bernard Bolzano , który wprowadził pojęcie zbioru (niem. Menge ) i Georg Cantor, który wprowadził teorię mnogości , sprzeciwiali się ogólnej postawie. Cantor wyróżnił trzy sfery nieskończoności: (1) nieskończoność Boga (którą nazwał „absolutum”), (2) nieskończoność rzeczywistości (którą nazwał „naturą”) oraz (3) liczby i zbiory nieskończone .

Mnogość, która jest większa niż jakakolwiek skończona mnogość, tj. mnogość z cechą, że każdy skończony zbiór [członków danego rodzaju] jest tylko jego częścią, nazwę nieskończoną mnogością. (B. Bolzano [2, s. 6])

Stosownie do tego rozróżniam wieczną nieskończoną nieskończoność lub absolutum, która wynika z Boga i jego atrybutów, oraz nieskończoność stworzoną lub transfinitum, która musi być stosowana wszędzie tam, gdzie w stworzonej naturze ma być zauważona aktualna nieskończoność, na przykład w odniesieniu do , zgodnie z moim mocnym przekonaniem, faktycznie nieskończoną liczbę stworzonych jednostek, zarówno we wszechświecie, jak i na naszej Ziemi, a prawdopodobnie nawet w każdym dowolnie małym, rozległym kawałku przestrzeni. (Georg Cantor) (G. Cantor [8, s. 252])

Liczby są wolnym tworem ludzkiego umysłu. ( R. Dedekind [3a, s. III])

Jeden dowód opiera się na pojęciu Boga. Po pierwsze, z najwyższej doskonałości Boga wnioskujemy o możliwości stworzenia pozaskończonego, a następnie z Jego wszechłaski i wspaniałości wnioskujemy o konieczności, że stworzenie pozaskończoności faktycznie nastąpiło. (G. Cantor [3, s. 400])

Cantor wyróżnił dwa typy rzeczywistej nieskończoności: nadskończony i absolut, o którym stwierdził:

Pojęcia te należy ściśle rozróżniać, o ile pierwsze jest wprawdzie nieskończone , ale zdolne do wzrostu , podczas gdy drugie nie jest zdolne do wzrostu i dlatego jest nieoznaczalne jako pojęcie matematyczne. Ten błąd znajdujemy na przykład w panteizmie . (G. Cantor, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche , w Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , s. 375, 378)

Zaprzeczył istnieniu nieskończoności-jedynki, zbioru wszystkich zbiorów i „organicznej całości”, które zostały zastąpione przez jedyny, aktualny i nieskończony Absolut, którego matematyka nie mogła ani wykazać, ani opisać. Ta najwyższa nieskończoność została pomyślana jako przekraczanie przestrzeni i czasu, poza świat liczb, w którym żyją ludzie.

Aktualna praktyka matematyczna

Rzeczywista nieskończoność jest obecnie powszechnie akceptowana, ponieważ matematycy nauczyli się, jak za jej pomocą konstruować zdania algebraiczne. Na przykład, można zapisać symbol, z opisem słownym, że " oznacza pełną ( policzalną ) nieskończoność". Symbol ten może być dodany jako element ur do dowolnego zestawu. Można również podać aksjomaty definiujące dodawanie, mnożenie i nierówność; konkretnie arytmetyka porządkowa , tak że wyrażenia takie jak mogą być interpretowane jako „każda liczba naturalna jest mniejsza niż pełna nieskończoność”. Nawet „zdroworozsądkowe” stwierdzenia, takie jak możliwe i spójne. Teoria jest wystarczająco dobrze rozwinięta, że ​​raczej złożone wyrażenia algebraiczne, takie jak , a nawet mogą być interpretowane jako poprawne wyrażenia algebraiczne, mogą mieć opis słowny i mogą być używane w wielu różnych twierdzeniach i twierdzeniach w sposób spójny i znaczący. moda. Zdolność do definiowania liczb porządkowych w spójny, znaczący sposób sprawia, że ​​większość debaty jest dyskusyjna; bez względu na to, jaką osobistą opinię można mieć na temat nieskończoności czy możliwości konstruowania, wyraźnie widać, że istnieje bogata teoria pracy z nieskończonościami przy użyciu narzędzi algebry i logiki. ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ omega}$${\displaystyle n<\omega}$${\ Displaystyle \ omega <\ omega +1}$${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$${\ Displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ omega}}$

Sprzeciw ze strony szkoły intuicjonistycznej

Matematyczne znaczenie terminu „aktualny” w rzeczywistej nieskończoności jest równoznaczne z określonym , ukończonym , rozszerzonym lub egzystencjalnym , ale nie należy go mylić z fizycznym istnieniem . Pytanie, czy liczby naturalne czy rzeczywiste tworzą zbiory określone, jest zatem niezależne od pytania, czy rzeczy nieskończone istnieją fizycznie w przyrodzie .

Zwolennicy intuicjonizmu , począwszy od Kroneckera , odrzucają twierdzenie, że w rzeczywistości istnieje nieskończona liczba obiektów lub zbiorów matematycznych. W konsekwencji rekonstruują podstawy matematyki w sposób, który nie zakłada istnienia rzeczywistych nieskończoności. Z drugiej strony analiza konstruktywna akceptuje istnienie pełnej nieskończoności liczb całkowitych.

Dla intuicjonistów nieskończoność jest opisywana jako potencjalna ; terminy równoznaczne z tym pojęciem stają się lub konstruktywne . Na przykład Stephen Kleene opisuje pojęcie taśmy maszyny Turinga jako „liniowej 'taśmy', (potencjalnie) nieskończonej w obu kierunkach”. Aby uzyskać dostęp do pamięci na taśmie, maszyna Turinga przesuwa po niej głowicę odczytującą w skończonych wielu krokach: taśma jest zatem tylko „potencjalnie” nieskończona, ponieważ chociaż zawsze istnieje możliwość zrobienia kolejnego kroku, sama nieskończoność nigdy nie jest faktycznie osiągana.

Matematycy na ogół akceptują rzeczywiste nieskończoności. Georg Cantor jest najbardziej znaczącym matematykiem, który bronił rzeczywistych nieskończoności, utożsamiając Absolutną Nieskończoność z Bogiem. Uznał, że liczby naturalne i rzeczywiste mogą być zbiorami określonymi i że jeśli odrzuci się aksjomat skończoności euklidesowej (który stwierdza, że ​​rzeczywistości, pojedynczo i w agregatach, są z konieczności skończone), to nie wchodzi się w żadną sprzeczność. .

Dzisiejsza konwencjonalna finitystyczna interpretacja liczb porządkowych i kardynalnych polega na tym, że składają się one ze zbioru specjalnych symboli i związanego z nimi języka formalnego , w ramach którego można formułować oświadczenia. Wszystkie takie stwierdzenia mają z konieczności skończoną długość. Solidność manipulacji opiera się tylko na podstawowych zasadach formalnym języku: terminowe algebr , termin przepisywanie , i to wszystko. Mówiąc bardziej abstrakcyjnie, zarówno teoria modeli (skończonych), jak i teoria dowodu, oferują narzędzia potrzebne do pracy z nieskończonościami. Nie trzeba "wierzyć" w nieskończoność, aby zapisać algebraicznie poprawne wyrażenia używające symboli dla nieskończoności.

Klasyczna teoria mnogości

Filozoficzny problem rzeczywistej nieskończoności dotyczy tego, czy pojęcie to jest spójne i sensowne epistemicznie.

Klasyczna teoria mnogości akceptuje pojęcie rzeczywistych, skończonych nieskończoności. Jednak niektórzy filozofowie finityzmu matematyki i konstruktywiści sprzeciwiają się temu pojęciu.

Jeśli dodatnia liczba n staje się nieskończenie duża, wyrażenie 1/ n idzie na zero (lub staje się nieskończenie małe). W tym sensie mówi się o niewłaściwej lub potencjalnej nieskończoności. W ostrym i wyraźnym kontraście, rozważany zbiór jest gotowym, zamkniętym zbiorem nieskończonym, utrwalonym w sobie, zawierającym nieskończenie wiele dokładnie określonych elementów (liczby naturalne) ani więcej, ani mniej. ( A. Fraenkel [4, s. 6])

Tak więc podbój rzeczywistej nieskończoności można uznać za rozszerzenie naszego naukowego horyzontu nie mniej rewolucyjne niż system kopernikański czy teoria względności, a nawet fizyka kwantowa i jądrowa. (A. Fraenkel [4, s. 245])

Patrząc na wszechświat wszystkich zbiorów nie jako byt stały, ale jako byt zdolny do „rosnięcia”, tj. jesteśmy w stanie „produkować” coraz większe zbiory. (A. Fraenkel i in. [5, s. 118])

( Brouwer ) utrzymuje, że jako medium swobodnego rozwoju można uzyskać prawdziwe kontinuum, które nie jest przeliczalne; to znaczy, poza punktami, które istnieją (są gotowe) ze względu na ich zdefiniowanie przez prawa, takie jak e, pi itd., inne punkty kontinuum nie są gotowe, lecz rozwijają się jako tzw. sekwencje wyboru . (A. Fraenkel i in. [5, s. 255])

Intuicjoniści odrzucają samo pojęcie arbitralnego ciągu liczb całkowitych jako oznaczającego coś skończonego i określonego jako nieuprawnionego. Taka sekwencja jest uważana za tylko rosnący obiekt, a nie gotowy. (A. Fraenkel i in. [5, s. 236])

Do tego czasu nikt nie przewidywał możliwości, że nieskończoności występują w różnych rozmiarach, a ponadto matematycy nie mieli pożytku z „rzeczywistej nieskończoności”. Argumenty za pomocą nieskończoność, w tym Differential Calculus z Newtona i Leibniza , nie wymagają użycia zbiorów nieskończonych. (T. Jech [1] )

Dzięki gigantycznym równoczesnym wysiłkom Fregego , Dedekinda i Cantora nieskończoność zasiadła na tronie i upajała się całkowitym triumfem. W swoim śmiałym locie nieskończoność osiągnęła oszałamiające wyżyny sukcesu. ( D. Hilbert [6, s. 169])

Jedna z najżywotniejszych i najbardziej owocnych gałęzi matematyki [...] raj stworzony przez Cantora, z którego nikt nas nie wypędzi [...] najwspanialszy kwiat matematycznego umysłu i w sumie jedno z wybitnych osiągnięć czysto człowieczeństwa. aktywność intelektualna. (D. Hilbert o teorii mnogości [6])

Na koniec powróćmy do naszego pierwotnego tematu i wyciągnijmy wnioski ze wszystkich naszych rozważań o nieskończoności. Ogólny rezultat jest taki: Nieskończoność nigdzie nie jest urzeczywistniana. Ani nie występuje w naturze, ani nie jest dopuszczalna jako podstawa naszego racjonalnego myślenia – niezwykła harmonia między byciem a myśleniem. (D. Hilbert [6, 190])

Nieskończone totalności nie istnieją w żadnym znaczeniu tego słowa (tj. realnie lub idealnie). Dokładniej, każda wzmianka lub rzekoma wzmianka o nieskończonych totalnościach jest dosłownie pozbawiona sensu. ( A. Robinson [10, s. 507])

Rzeczywiście, uważam, że istnieje realna potrzeba, w formalizmie i gdzie indziej, powiązania naszego rozumienia matematyki z naszym rozumieniem świata fizycznego. (A. Robinson)

Wielka metanarracja Georga Cantora Teoria mnogości, stworzona przez niego niemal własnoręcznie na przestrzeni około piętnastu lat, bardziej przypomina dzieło sztuki wysokiej niż teorię naukową. ( Y. Manin [2] )

Wyrafinowany minimalizm środków wyrazowych wykorzystuje Cantor do osiągnięcia wzniosłego celu: zrozumienia nieskończoności, a raczej nieskończoności nieskończoności. (J. Manin [3] )

Nie ma rzeczywistej nieskończoności, o której kantorzy zapomnieli i zostali uwięzieni przez sprzeczności. ( H. Poincaré [Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. morale 14 (1906) s. 316])

Gdy przedmiotem dyskusji są byty językowe […], to zbiór bytów może się zmieniać w wyniku dyskusji na ich temat. Konsekwencją tego jest to, że dzisiejsze „liczby naturalne” nie są tym samym, co wczorajsze „liczby naturalne”. (Wyspy D. [4] )

Istnieją co najmniej dwa różne sposoby patrzenia na liczby: jako pełną nieskończoność i jako niepełną nieskończoność… uważanie liczb za niepełną nieskończoność oferuje realną i interesującą alternatywę dla postrzegania liczb jako pełnej nieskończoności, która prowadzi do wielkich uproszczeń w niektórych dziedzinach matematyki, co ma silne powiązania z problemami złożoności obliczeniowej. (E. Nelson [5] )

W okresie renesansu, szczególnie u Brunona , rzeczywista nieskończoność przenosi się z Boga na świat. Skończone modele świata współczesnej nauki wyraźnie pokazują, jak ta moc idei nieskończoności rzeczywistej ustała w fizyce klasycznej (nowoczesnej). W tym aspekcie włączenie nieskończoności rzeczywistej do matematyki, które wprost rozpoczęło się u G. Cantora dopiero pod koniec ubiegłego wieku, wydaje się nieprzyjemne. W intelektualnym ogólnym obrazie naszego stulecia... rzeczywista nieskończoność wywołuje wrażenie anachronizmu. ( P. Lorenzen [6] )

Zobacz też

• Limit (matematyka)
• Liczność kontinuum

Bibliografia

Źródła

• „Nieskończoność” w archiwum The MacTutor History of Mathematics traktująca historię pojęcia nieskończoności, w tym problem nieskończoności rzeczywistej.
• Arystoteles , Fizyka [7]
• Bernard Bolzano , 1851, Paradoxien des Unendlichen , Reclam, Lipsk.
• Bernard Bolzano 1837, Wissenschaftslehre , Sulzbach.
• Georg Cantor w E. Zermelo (red.) 1966, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , Olms, Hildesheim.
• Richard Dedekind w 1960 Czy sind und was sollen die Zahlen? , Vieweg, Brunszwik.
• Adolf Abraham Fraenkel 1923, Einleitung in die Mengenlehre , Springer, Berlin.
• Adolf Abraham Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy 1984, Podstawy teorii mnogości , wyd. 2, Holandia Północna, Amsterdam, Nowy Jork.
• Stephen C. Kleene 1952 (wydanie 1971, nakład 10.), Wprowadzenie do metamatematyki , North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Nowy Jork. ISBN  0-444-10088-1 .
• H. Meschkowski 1981, Georg Cantor: Leben, Werk und Wirkung (2. Aufl.), BI, Mannheim.
• H. Meschkowski, W. Nilson (Hrsg.) 1991, Georg Cantor – Briefe , Springer, Berlin.
• Abraham Robinson 1979, Selected Papers , tom. 2, WAJ Luxemburg, S. Koerner (Hrsg.), Holandia Północna, Amsterdam.