Ostre i rozwarte trójkąty - Acute and obtuse triangles

Ostry trójkąt (lub ostrokątny trójkąt) jest trójkąt z trzema ostrymi kątami (mniej niż 90 °). Rozwarty trójkąt (lub rozwartokątnych trójkąt) jest trójkąt z jedną rozwartym kątem (o więcej niż 90 ° C) i dwóch kątów ostrych. Ponieważ kąty trójkąta muszą sumować się do 180 ° w geometrii euklidesowej , żaden trójkąt euklidesowy nie może mieć więcej niż jednego kąta rozwartego.

Trójkąty ostre i rozwarte to dwa różne rodzaje trójkątów ukośnych - trójkąty, które nie są trójkątami prostymi, ponieważ nie mają kąta 90 °.

Dobrze	Rozwarty	Ostry
	${\ Displaystyle \ underbrace {\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad} _ {}}$
	Ukośny

Nieruchomości

We wszystkich trójkątów The centroid -W przecięcia środkowych , z których każdy łączy wierzchołek w punkcie środkowym strony przeciwnej, a incenter -W środku okręgu, który jest wewnętrznie styczny do trzech boków, znajdują się we wnętrzu trójkąt. Jednakże, podczas gdy ortocentrum i środek okręgu opisanego znajdują się wewnątrz trójkąta ostrego, są one na zewnątrz trójkąta rozwartego.

Ortocentrum to punkt przecięcia trzech wysokości trójkąta , z których każda prostopadle łączy bok z przeciwległym wierzchołkiem . W przypadku trójkąta ostrego wszystkie trzy segmenty leżą całkowicie we wnętrzu trójkąta, a więc przecinają się we wnętrzu. Ale dla rozwartego trójkąta wysokości z dwóch ostrych kątów przecinają tylko przedłużenia przeciwległych boków. Wysokości te wypadają całkowicie poza trójkąt, co powoduje ich przecięcie się ze sobą (a tym samym z wydłużeniem wysokości od wierzchołka rozwartego) zachodzące na zewnątrz trójkąta.

Podobnie środek okręgu opisanego trójkąta - punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych z trzech boków , który jest środkiem koła przechodzącego przez wszystkie trzy wierzchołki - mieści się wewnątrz trójkąta ostrego, ale na zewnątrz trójkąta rozwartego.

Trójkąt prostokątny jest w przypadku pomiędzy: zarówno jego circumcenter i jego orthocenter leżą na jego granicy.

W dowolnym trójkącie dowolne dwie miary kąta A i B przeciwległe boki a i b są powiązane zgodnie z

${\ displaystyle A> B \ quad {\ text {wtedy i tylko wtedy}} \ quad a> b.}$

Oznacza to, że najdłuższym bokiem rozwartego trójkąta jest ten przeciwny do wierzchołka rozwartego.

Ostry trójkąt ma trzy wpisane kwadraty , każdy z jednym bokiem pokrywającym się z częścią boku trójkąta i dwoma pozostałymi wierzchołkami kwadratu na pozostałych dwóch bokach trójkąta. (W trójkącie prostokątnym dwa z nich są połączone w ten sam kwadrat, więc są tylko dwa odrębne wpisane kwadraty). Jednak trójkąt rozwarty ma tylko jeden wpisany kwadrat, z których jeden pokrywa się z częścią najdłuższego boku trójkąta. .

Wszystkie trójkąty, w których linia Eulera jest równoległa do jednej strony, są ostre. Ta właściwość zachowuje się dla boku BC wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle (\ tan B) (\ tan C) = 3.}$

Nierówności

boki

Jeśli kąt C jest rozwarty, to dla boków a , b i c mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {C ^ {2}} {2}} <a ^ {2} + b ^ {2} <c ^ {2},}$

z lewą nierównością zbliżającą się do równości w granicy tylko wtedy, gdy kąt wierzchołkowy trójkąta równoramiennego zbliża się do 180 °, a z prawą nierównością zbliża się do równości tylko wtedy, gdy kąt rozwarty zbliża się do 90 °.

Jeśli trójkąt jest ostry, to

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}> c ^ {2}, \ quad b ^ {2} + c ^ {2}> a ^ {2}, \ quad c ^ {2} + a ^ {2}> b ^ {2}.}$

Wysokość

Jeśli C jest największym kątem, a h _c jest wysokością od wierzchołka C , to dla ostrego trójkąta

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {h_ {c} ^ {2}}} <{\ Frac {1} {a ^ {2}}} + {\ Frac {1} {b ^ {2}}} ,}$

z przeciwną nierównością, jeśli C jest rozwarty.

Mediany

Z najdłuższym bokiem c i środkowymi m _a i m _b z pozostałych stron,

${\ Displaystyle 4c ^ {2} + 9a ^ {2} b ^ {2}> 16m_ {a} ^ {2} m_ {b} ^ {2}}$

dla trójkąta ostrego, ale z nierównością odwróconą dla trójkąta rozwartego.

Mediana m _c z najdłuższego boku jest większa lub mniejsza niż promień obwodowy odpowiednio dla trójkąta ostrego lub rozwartego:

${\ displaystyle m_ {c}> R}$

dla trójkątów ostrych, przeciwnie dla trójkątów rozwartych.

Powierzchnia

Nierówność Ono dla obszaru A ,

${\ Displaystyle 27 (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2} \ leq (4A) ^ {6},}$

zachowuje się dla wszystkich trójkątów ostrych, ale nie dla wszystkich trójkątów rozwartych.

Funkcje trygonometryczne

Dla ostrego trójkąta mamy dla kątów A , B i C ,

${\ Displaystyle \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B + \ cos ^ {2} C <1,}$

z odwrotną nierównością zachodzącą dla rozwartego trójkąta.

Dla ostrego trójkąta z promieniem obwodu R ,

${\ Displaystyle a \ cos ^ {3} A + b \ cos ^ {3} B + c \ cos ^ {3} C \ równoważnik {\ Frac {abc} {4R ^ {2}}}}$

i

${\ Displaystyle \ cos ^ {3} A + \ cos ^ {3} B + \ cos ^ {3} C + \ cos A \ cos B \ cos C \ geq {\ Frac {1} {2}}.}$

W przypadku ostrego trójkąta

${\ Displaystyle \ sin ^ {2} A + \ sin ^ {2} B + \ sin ^ {2} C> 2,}$

z odwrotną nierównością dla rozwartego trójkąta.

W przypadku ostrego trójkąta

${\ Displaystyle \ sin A \ cdot \ sin B + \ sin B \ cdot \ sin C + \ sin C \ cdot \ sin A \ leq (\ cos A + \ cos B + \ cos C) ^ {2}.}$

Dla każdego trójkąta tożsamość potrójnej stycznej stwierdza, że ​​suma stycznych kątów jest równa ich iloczynowi. Ponieważ kąt ostry ma dodatnią wartość styczną, podczas gdy kąt rozwarty ma ujemną, wyrażenie na iloczyn stycznych pokazuje, że

${\ Displaystyle \ tan A + \ tan B + \ tan C = \ tan A \ cdot \ tan B \ cdot \ tan C> 0}$

dla trójkątów ostrych, podczas gdy przeciwny kierunek nierówności zachodzi dla trójkątów rozwartych.

Mamy

${\ Displaystyle \ tan A + \ tan B + \ tan C \ geq 2 (\ sin 2A + \ sin 2B + \ sin 2C)}$

dla trójkątów ostrych i odwrotnie dla trójkątów rozwartych.

Dla wszystkich ostrych trójkątów,

${\ Displaystyle (\ tan A + \ tan B + \ tan C) ^ {2} \ geq (\ sek A + 1) ^ {2} + (\ sek B + 1) ^ {2} + (\ sek C + 1 ) ^ {2}.}$

Dla wszystkich trójkątów ostrych z promieniem średnim r i promieniem okrążającym R ,

${\ Displaystyle a \ tan A + b \ tan B + c \ tan C \ geq 10R-2r.}$

Dla ostrego trójkąta o polu K ,

${\ displaystyle ({\ sqrt {\ cot A}} + {\ sqrt {\ cot B}} + {\ sqrt {\ cot C}}) ^ {2} \ leq {\ frac {K} {r ^ { 2}}}.}$

Circumradius, inradius i exradii

W trójkącie ostrym suma promienia obwodu R i promienia wewnętrznego r jest mniejsza niż połowa sumy najkrótszych boków a i b :

${\ Displaystyle R + R <{\ Frac {a + b} {2}},}$

podczas gdy odwrotna nierówność zachodzi dla rozwartego trójkąta.

Dla trójkąta ostrego z medianami m _a , m _b i m _c oraz promieniem obwodu R , mamy

${\ Displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}> 6R ^ {2}}$

podczas gdy przeciwna nierówność zachodzi dla rozwartego trójkąta.

Również ostry trójkąt spełnia

${\ Displaystyle r ^ {2} + r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} <8R ^ {2},}$

w kategoriach promieni łuku r _a , r _b i r _c , ponownie z odwrotną nierównością zachodzącą dla rozwartego trójkąta.

Dla ostrego trójkąta z półmierznikami s ,

${\ displaystyle sr> 2R,}$

a odwrotna nierówność zachodzi dla rozwartego trójkąta.

Dla ostrego trójkąta o polu K ,

${\ Displaystyle ab + bc + ca \ geq 2R (R + r) + {\ Frac {8K} {\ sqrt {3}}}.}$

Odległości obejmujące środki trójkątów

Dla ostrego trójkąta odległość między środkiem okręgu opisanego O a ortocentrum H jest zadowalająca

${\ Displaystyle OH <R,}$

z przeciwną nierównością zachodzącą dla rozwartego trójkąta.

W przypadku ostrego trójkąta Odległość między incircle I i orthocenter H spełnia

${\ displaystyle IH <r {\ sqrt {2}},}$

gdzie r jest promieniem inradius , z odwrotną nierównością dla rozwartego trójkąta.

Wpisany kwadrat

Jeśli jeden z wpisanych kwadratów trójkąta ostrego ma długość boku x _a, a inny długość boku x _b przy x _a < x _b , to

${\ displaystyle 1 \ geq {\ frac {x_ {a}} {x_ {b}}} \ geq {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {3}} \ około 0,94.}$

Dwa trójkąty

Jeśli dwa rozwarte trójkąty mają boki ( a, b, c ) i ( p, q, r ), przy czym c i r są odpowiednio najdłuższymi bokami, to

${\ Displaystyle ap + bq <cr.}$

Przykłady

Trójkąty o specjalnych nazwach

Calabiego trójkąta , który jest tylko trójkąt nierównoboczny, dla których największy kwadratowy, który mieści się we wnętrzu może być umieszczony w jednym z trzech sposobów jest rozwarty i równoramienny z podstawą kąty 39.1320261 ... ° i trzeci kąt 101.7359477 .. . °.

Równobocznego trójkąta , trzy 60 ° kątów, jest ostry.

Morley trójkąt , utworzone z każdego trójkąta przez przecięciach sąsiednich trisectors kątów, jest równoboczny, a tym samym ostrym.

Złoty trójkąt jest trójkąt równoramienny , w którym stosunek powielanego boku do boku podstawy równa złotego podziału . Jest ostry, z kątami 36 °, 72 ° i 72 °, co czyni go jedynym trójkątem z kątami w proporcjach 1: 2: 2.

Siedmiokątne trójkąt , z boków zbiegając się z boku, krótszej przekątnej, a im dłużej przekątnej regularnie Heptagon jest rozwarty, z prostym i ${\ Displaystyle \ pi / 7,2 \ pi / 7,}$${\ Displaystyle 4 \ pi / 7.}$

Trójkąty o bokach całkowitych

Jedyny trójkąt z kolejnymi liczbami całkowitymi określającymi wysokość i boki jest ostry i ma boki (13,14,15) i wysokość od strony 14 równą 12.

Trójkąt o najmniejszym obwodzie z liczbami całkowitymi w ciągu arytmetycznym i najmniejszy trójkąt o obwodzie całkowitym z różnymi bokami jest rozwarty, a mianowicie trójkąt z bokami (2, 3, 4).

Jedyne trójkąty, w których jeden kąt jest dwa razy drugi i mają boki całkowite w ciągu arytmetycznym, są ostre: mianowicie trójkąt (4,5,6) i jego wielokrotności.

Nie ma ostrych trójkątów o ścianach całkowitych o powierzchni = obwód , ale są trzy rozwarte trójkąty o bokach (6,25,29), (7,15,20) i (9,10,17).

Najmniejszy trójkąt o ściankach całkowitych z trzema wymiernymi medianami jest ostry, z bokami (68, 85, 87).

Trójkąty czapli mają boki całkowite i obszar całkowity. Ukośny trójkąt Heron o najmniejszym obwodzie jest ostry, z bokami (6, 5, 5). Dwa ukośne trójkąty Czapla, które mają mniejszą powierzchnię, to ostry z bokami (6, 5, 5) i rozwarty z bokami (8, 5, 5), każdy z nich ma powierzchnię 12.

Bibliografia

• Weisstein, Eric W. „Ostry trójkąt” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Rozwarty trójkąt" . MathWorld .