Pod-baza - Subbase

W topologii , A płyta przyłączeniowa (lub subbasis ) o topologii przestrzeni $X$ o topologii $T$ jest subcollection $B$ od $T$ , która generuje $T$ , w tym sensie, że $T$ jest najmniejsza Topologia zawierający $B$ . Niektórzy autorzy posługują się nieco inną definicją i istnieją inne przydatne równoważne sformułowania definicji; są one omówione poniżej.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną o topologii $T$ . Płyta przyłączeniowa z $T$ jest zwykle definiowana jako subcollection $B$ z $T$ zgodnej z jednym z dwóch następujących równoważnych warunkach:

Podkolekcja $B$ generuje topologię $T$ . Oznacza to, że $T$ jest najmniejszą topologią zawierającą $B$ : każda topologia $T'$ na $X$ zawierającej $B$ musi również zawierać $T$ .
Zbiór zbiorów otwartych składający się ze wszystkich skończonych przecięć elementów $B$ wraz ze zbiorem $X$ stanowi podstawę dla $T$ . Oznacza to, że każdy właściwy zbiór otwarty w $T$ można zapisać jako sumę skończonych przecięć elementów $B$ . Jawnie, mając dany punkt $x$ w zbiorze otwartym $U \subseteq X$ , istnieje skończenie wiele zbiorów $S 1, ..., S n$ z $B$ , takich że część wspólna tych zbiorów zawiera $x$ i jest zawarta w $U$ .

(Jeżeli używamy konwencji przecięcia null , to nie ma potrzeby umieszczania $X$ w drugiej definicji).

Dla każdej subcollection $S$ o zadanej mocy $P (X)$ , jest unikalne Topologia o $S$ jako przyłączeniowej. W szczególności, przecięcie wszystkich topologii na $X$ zawierających $S$ spełnia ten warunek. Ogólnie jednak nie ma unikalnej podstawy dla danej topologii.

W ten sposób możemy zacząć od ustalonej topologii i znaleźć podbazy dla tej topologii, a także możemy zacząć od dowolnej podkolekcji zbioru mocy $P(X)$ i utworzyć topologię generowaną przez tę podzbiór. Możemy swobodnie użyć obu równoważnych definicji powyżej; w rzeczywistości w wielu przypadkach jeden z dwóch warunków jest bardziej użyteczny niż drugi.

Alternatywna definicja

Czasami podaje się nieco inną definicję podbazy, która wymaga, aby podbaza $ℬ$ pokrywała $X$ . W tym przypadku $X$ jest sumą wszystkich zbiorów zawartych w $ℬ$ . Oznacza to, że nie może być żadnych nieporozumień związanych z użyciem w definicji skrzyżowań o wartości null.

Jednak ta definicja nie zawsze jest równoważna z dwoma powyższymi definicjami. Innymi słowy, istnieją przestrzenie topologiczne $(X, τ)$ z podzbiorem $ℬ \subseteq τ$ , takie, że $τ$ jest najmniejszą topologią zawierającą $ℬ$ , ale $ℬ$ nie obejmuje $X$ (taki przykład podano poniżej). W praktyce jest to rzadkie zjawisko; na przykład płyta przyłączeniowa z przestrzeni, która ma co najmniej dwa punkty i spełnia T ₁ oddzielenie Aksjomat musi być pokrycie tej przestrzeni.

Przykłady

Topologia generowana przez dowolny podzbiór $𝒮 \subseteq { \emptyset, X}$ (w tym przez zbiór pusty $𝒮 := \emptyset$ ) jest równa topologii trywialnej ${ \emptyset, X$ }.

Jeżeli $τ$ jest topologią na $X$ i $ℬ$ jest bazą dla $τ,$ to topologia generowana przez $ℬ$ to $τ$ . Zatem każda baza $ℬ$ dla topologii $τ$ jest również podbazą dla $τ$ . Jeśli $𝒮$ jest dowolnym podzbiorem $τ,$ to topologia wygenerowana przez $𝒮$ będzie podzbiorem $τ$ .

Zwykła topologia liczb rzeczywistych ma podbazę składającą się ze wszystkich półnieskończonych otwartych przedziałów w postaci $(-\infty,$ $a$ $)$ lub $($ $b$ $,\infty)$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Razem generują one zwykłą topologię, ponieważ przecięcia $($ $a$ $,$ $b$ $) = (-\infty,$ $b$ $) \cap ($ $a$ $,\infty)$ dla $a$ $<$ $b$ generują zwykłą topologię. Druga płyta przyłączeniowa jest utworzona poprzez jako podrodzina gdzie i $b$ są racjonalne . Druga podbaza również generuje zwykłą topologię, ponieważ otwarte przedziały $($ $a$ $,$ $b$ $)$ z wymiernymi $a$ , $b$ stanowią podstawę zwykłej topologii euklidesowej. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Podbaza składająca się ze wszystkich półnieskończonych otwartych przedziałów postaci $(-\infty, a)$ sama, gdzie $a$ jest liczbą rzeczywistą, nie generuje zwykłej topologii. Otrzymany topologii nie spełniają T ₁ rozdzielacza pewnik , ponieważ wszystkie otwarte zestawy posiadają niepusty skrzyżowanie.

Początkowy Topologia na $X$ określone przez rodzinę funkcji $f I : X \to Y I$ , w którym każdy z $Y i$ ma topologię jest zgrubna Topologia w $X$ takich, że każdy $F I$ jest ciągły . Ponieważ ciągłość można zdefiniować w kategoriach odwróconych obrazów zbiorów otwartych, oznacza to, że początkowa topologia na $X$ jest dana przez przyjęcie wszystkich $f i -1 (U)$ , gdzie $U$ obejmuje wszystkie otwarte podzbiory $Y i$ , jako podbazę .

Dwa ważne szczególne przypadki topologii początkowej to topologia produktu , gdzie rodzina funkcji jest zbiorem rzutów z produktu na każdy czynnik, oraz topologia podprzestrzeni , gdzie rodzina składa się tylko z jednej funkcji, mapa inkluzji .

Topologię zwarto-otwartą na przestrzeni funkcji ciągłych z $X$ do $Y$ ma na przyłączeniowej zestaw funkcji

{\ Displaystyle V (K, U) = \ {f \ dwukropek X \ do Y \ mid f (K) \ subseteq U \}}

gdzie $K \subseteq X$ jest zwarty, a $U$ jest otwartym podzbiorem $Y$ .

Załóżmy, że $(X, τ)$ jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa, w której $X$ zawiera dwa lub więcej elementów (np. z topologią euklidesową ). Niech $Y$ $\in τ$ będzie dowolnym niepustym otwartym podzbiorem $($ $X$ $, τ)$ (np. $Y$ może być niepustym ograniczonym przedziałem otwartym w ) i niech $ν$ oznacza topologię podprzestrzeni na $Y,$ którą $Y$ dziedziczy po $($ $X$ $, τ)$ ( więc $ν \subseteq τ$ ). Wtedy topologia wygenerowana przez $ν$ na $X$ jest równa unii ${$ $X$ $} \cup ν$ (wyjaśnienie w tym przypisie), gdzie ${$ $X$ $} \cup ν \subseteq τ$ (ponieważ $($ $X$ $, τ)$ to Hausdorff, równość będzie zachowana, jeśli i tylko jeśli $Y$ $=$ $X$ ). Należy zauważyć, że jeżeli $Y$ jest podzbiorem z $X$ , a następnie ${$ $X$ $} \cup ν$ jest najmniejsza Topologia na $X$ zawierający $ν$ jeszcze $ν$ nie obejmuje $X$ (to jest związek ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} }$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\cup V \in V = Y$ jest właściwym podzbiorem $X$ ).

Wyniki z wykorzystaniem podbaz

Jednym fajnym faktem dotyczącym podbaz jest to, że ciągłość funkcji musi być sprawdzana tylko na podbazie zakresu. To znaczy, jeśli $f : X \to Y$ jest odwzorowaniem między przestrzeniami topologicznymi i jeśli $ℬ$ jest podbazą dla $Y$ , to $f : X \to Y$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy $f -1 (B)$ jest otwarte w $X$ dla każdego $B \in ℬ$ . Netto (lub ciąg) $x • = (x I) i \in że$ zbiega się do punktu $X$ , wtedy i tylko wtedy, gdy każdy sub podstawowy sąsiedztwie $X$ zawiera wszystkie $X. ı$ dla dostatecznie dużej $I \in I$ .

Twierdzenie o subbazie Aleksandra

Twierdzenie Aleksandra o podbazach jest znaczącym wynikiem dotyczącym podbaz, które zawdzięczamy Jamesowi Waddellowi Aleksandrowi II . Odpowiadający wynik dla podstawowych (a nie podpodstawowych) otwartych okładek jest znacznie łatwiejszy do udowodnienia.

Twierdzenie Alexander Subbase : Niech

(X, τ)

będzie przestrzenią topologiczną. Jeśli

X

ma podbazę

𝒮

taką, że każda okładka

X

przez elementy z

𝒮

ma skończoną podokładkę, to

X

jest zwarte .

Odwrotność do tego twierdzenia również jest $słuszna$ i jest to udowodnione za pomocą $𝒮 = τ$ (ponieważ każda topologia jest dla siebie subbazą).

Jeśli

X

jest zwarty, a

𝒮

jest podbazą dla

X

, każda okładka

X

przez elementy z

𝒮

ma skończoną podokładkę.

Dowód

Załóżmy, ze względu na sprzeczność, że przestrzeń $X$ nie jest zwarta (więc $X$ jest zbiorem nieskończonym), jednak każda podpodstawowa pokrywa z $𝒮$ ma skończoną podpokrywę. Niech oznacza zbiór wszystkich otwartych pokrywach $X$ , które nie mają żadnej skończonej subcover z $X$ . Częściowo uporządkuj przez włączenie podzbioru i użyj Lematu Zorna, aby znaleźć element $𝒞 \in,$ który jest maksymalnym elementem . Obseruj to: ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

Ponieważ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ , z definicji , $𝒞$ jest otwartą pokrywą $X$ i nie istnieje żaden skończony podzbiór $𝒞,$ który pokrywa $X$ (więc w szczególności $𝒞$ jest nieskończone). ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$
Maksymalizacja $𝒞$ in implikuje, że jeśli $V$ jest zbiorem otwartym $X$ takim, że $V$ $\notin 𝒞$ wtedy $𝒞 \cup {$ $V$ $}$ ma skończoną przykrywkę, która musi koniecznie mieć postać ${$ $V$ $} \cup 𝒞$ $V$ dla pewnego skończonego podzbioru $𝒞$ $V$ z $𝒞$ (skończony podzbiór ten zależy od wyboru $V$ ). ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

Zaczniemy pokazując, że $𝒞 \cap 𝒮$ to nie cover $X$ . Załóżmy, że $𝒞 \cap 𝒮$ jest okładką $X$ , co w szczególności oznacza, że $𝒞 \cap 𝒮$ jest okładką $X$ przez elementy $𝒮$ . Hipoteza twierdzenia o $𝒮$ implikuje, że istnieje skończony podzbiór $𝒞 \cap 𝒮$ pokrywający $X$ , który jednocześnie byłby skończoną podzbiorem $X$ przez elementy $𝒞$ (ponieważ $𝒞 \cap 𝒮 \subseteq 𝒞$ ). Ale to jest sprzeczne z ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ , co dowodzi, że $𝒞 \cap 𝒮$ nie obejmuje $X$ .

Ponieważ $𝒞 \cap 𝒮$ nie obejmuje $X$ , istnieje pewne $x \in X,$ które nie jest objęte przez $𝒞 \cap 𝒮$ (to znaczy, $x$ nie jest zawarte w żadnym elemencie $𝒞 \cap 𝒮$ ). Ale ponieważ $𝒞$ pokrywa $X$ , istnieje również takie $U \in$ , że $x \in U$ . Ponieważ $𝒮$ jest podbazą generującą topologię $X$ , z definicji topologii generowanej przez $𝒮$ , musi istnieć skończony zbiór podbazowych zbiorów otwartych $S 1, ..., S n \in 𝒮$ takich, że

x \in S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S n \subseteq U

.

Pokażemy teraz przez sprzeczność, że $S i \notin 𝒞$ dla każdego $i = 1, ..., n$ . Gdyby $i$ było takie, że $S i \in 𝒞$ , to również $S i \in 𝒞 \cap 𝒮 ,$ więc fakt, że $x \in S i$ sugerowałby, że $x$ jest pokryte przez $𝒞 \cap 𝒮$ , co jest sprzeczne z wyborem $x$ (przypomnijmy, że wybrano $x$ specjalnie, aby nie było objęte $𝒞 \cap 𝒮$ ).

Jak wspomniano wcześniej, maksymalności $𝒞$ w Oznacza to, że dla każdego $i$ $= 1, ...,$ $n$ , istnieje skończona podzbiór $𝒞$ $S$ $I$ o $𝒞$ tak, że ${$ $S$ $I$ $} \cup 𝒞$ $S$ $i$ tworzy ograniczoną pokrywę $X$ . Definiować ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

𝒞 F := 𝒞 S 1 \cup \cdot\cdot\cdot \cup 𝒞 S n

.

który jest skończonym podzbiorem $𝒞$ . Zauważyć, że dla każdego $i = 1, ..., n$ , ${S I} \cup 𝒞 F$ jest ograniczony pokrywa $X$ więc teraz wymienić każdy $𝒞 przyjmuje S I$ z $𝒞 F$ .

Niech $\cup 𝒞 F$ oznacza $sumę$ wszystkich zbiorów w $𝒞 F$ (który jest otwartym podzbiorem $X$ ) i niech $Z$ oznacza dopełnienie $\cup 𝒞 F$ w $X$ . Zauważ, że dla dowolnego podzbioru $A \subseteq X$ , ${A} \cup 𝒞 F$ pokrywa $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy $Z \subseteq A$ . W szczególności, dla każdego $i = 1, ..., n$ fakt, że ${S i} \cup 𝒞 F$ obejmuje $X$ oznacza , że $Z \subseteq S i$ . Ponieważ $i$ było arbitralne, mamy $Z \subseteq S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S n$ . Przypominając, że $S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S n \subseteq U$ , mamy więc $Z \subseteq U$ , co jest równoważne temu, że ${U} \cup 𝒞 F$ jest osłoną $X$ . Co więcej, ${U} \cup 𝒞 F$ jest skończoną pokrywą $X$ z ${U} \cup 𝒞 F \subseteq 𝒞$ . Zatem $𝒞$ ma skończoną przykrywkę $X$ , co przeczy faktowi, że ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ . Dlatego pierwotne założenie, że $X$ nie jest zwarte, musi być błędne, co dowodzi, że $X$ jest zwarte. ∎

Chociaż ten dowód korzysta z lematu Zorna , dowód nie potrzebuje pełnej siły wyboru. Zamiast tego opiera się na pośredniej zasadzie Ultrafiltra .

Używając tego twierdzenia z podbazą dla powyższego, można dać bardzo łatwy dowód, że ograniczone przedziały domknięte w są zwarte. Mówiąc bardziej ogólnie, twierdzenie Tychonoffa , które mówi, że iloczyn niepustych przestrzeni zwartych jest zwarty, ma krótki dowód, jeśli używane jest twierdzenie Alexandra Subbase. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Dowód

Topologia Produkt $Π i X i$ ma, z definicji, płyta przyłączeniowa składający się z cylindra zestawy, które są występy odwrotnych zbioru otwartego w jednym czynnikiem. Mając podbazową rodzinę $C$ produktu, który nie ma skończonej podpokrywy, możemy podzielić $C = \cup i C i$ na podrodziny, które składają się z dokładnie tych zestawów cylindrów, które odpowiadają danej przestrzeni czynników. Z założenia, jeśli $C i \neq \emptyset$ wtedy $C i$ ma nie mieć skończoną subcover. Będąc zbiorami cylindrycznymi, oznacza to, że ich rzuty na $X i$ nie mają skończonej podpokrywy, a ponieważ każdy $X i$ jest zwarty, możemy znaleźć punkt $x i \in X i,$ który nie jest objęty rzutami $C i$ na $X i$ . Ale wtedy $(x i) i \in Π i X i$ nie jest objęte przez $C$ . ∎

Zauważ, że w ostatnim kroku domyślnie użyliśmy aksjomatu wyboru (który jest właściwie odpowiednikiem lematu Zorna ), aby zapewnić istnienie $(x i) i$ .

Zobacz też

Baza (topologia)

Uwagi

Bibliografia

Munkres, James R. (2000). Topologia (wyd. drugie). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . Numer ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topologia ogólna: Rozdziały 1–4 [ Topologie Générale ]. Elementy matematyczne . Berlin Nowy Jork: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
Dugundji, James (1966). Topologia . Boston: Allyn i Bacon. Numer ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
Willard, Stephen (2004) [1970]. Ogólna topologia . Dover Książki o matematyce (pierwsze wyd.). Mineola, NY : Dover Publikacje . Numer ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .

Languages

In other projects