Kula egzotyczna - Exotic sphere

W dziedzinie matematyki zwanej topologią różniczkową , sfera egzotyczna jest rozmaitością różniczkowalną M, która jest homeomorficzna, ale nie dyfeomorficzna ze standardową n- sferą euklidesową . Oznacza to, że M jest sferą z punktu widzenia wszystkich jej właściwości topologicznych, ale ma gładką strukturę, która nie jest znana (stąd nazwa „egzotyczny”).

Pierwsze egzotyczne kulki skonstruowano John Milnora  ( 1956 ), w wymiarze jak - grupuje się . Wykazał, że na 7-sferze istnieje co najmniej 7 różniczkowalnych struktur. W każdym wymiarze Milnor (1959) wykazał, że klasy dyfeomorfizmu zorientowanych sfer egzotycznych tworzą nietrywialne elementy monoidu abelowego o połączonej sumie, która jest skończoną grupą abelową, jeśli wymiar nie wynosi 4. Klasyfikacja sfer egzotycznych według Michela Kervaire i Milnor ( 1963 ) wykazali, że zorientowane 7-sfer egzotycznych są nietrywialnymi elementami cyklicznej grupy rzędu 28 pod działaniem sumy sprzężonej . ${\displaystyle n=7}$${\ Displaystyle S ^ {3}}$${\ Displaystyle S ^ {4}}$

Wstęp

Jednostka n- sfera, , jest zbiorem wszystkich ( n +1)-krotek liczb rzeczywistych, takich jak suma . Na przykład jest okręgiem, podczas gdy jest powierzchnią zwykłej kuli o promieniu jeden w 3 wymiarach. Topologowie uważają przestrzeń X za n -sferę, jeśli każdy punkt w X może być przypisany dokładnie do jednego punktu w jednostce n -sfera w sposób ciągły , co oznacza, że ​​wystarczająco bliskie punkty w X zostaną przypisane do sąsiednich punktów w i wzajemnie. Na przykład punkt x na n- sferze o promieniu r można dopasować do punktu na jednostce n- sferze, dostosowując jego odległość od początku za pomocą . ${\ Displaystyle S ^ {n}}$ ${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n + 1})}$${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n + 1} ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\displaystyle 1/r}$

W topologii różniczkowej dodaje się bardziej rygorystyczny warunek, że funkcje dopasowujące punkty w X do punktów w powinny być smooth , to znaczy powinny mieć wszędzie pochodne wszystkich rzędów. Aby obliczyć pochodne, trzeba mieć lokalne układy współrzędnych spójnie zdefiniowane w X . Matematycy byli zaskoczeni w 1956 roku, kiedy Milnor wykazał, że spójne układy współrzędnych można ustawić na 7-sferze na dwa różne sposoby, które były równoważne w sensie ciągłym, ale nie w sensie różniczkowalnym. Milnor i inni zaczęli próbować odkryć, ile takich egzotycznych sfer może istnieć w każdym wymiarze i zrozumieć, w jaki sposób są one ze sobą powiązane. Na 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- lub 61-sferach nie są możliwe egzotyczne struktury. Niektóre sfery z wyższych wymiarów mają tylko dwie możliwe do zróżnicowania struktury, inne mają tysiące. To, czy istnieją egzotyczne 4-sfery, a jeśli tak, to ile, jest nierozwiązanym problemem . ${\ Displaystyle S ^ {n}}$

Klasyfikacja

Monoid struktur gładkich na n -sferach to zbiór zorientowanych gładkich n -rozmaitości, które są homeomorficzne w stosunku do n -sfery, przyjęte do dyfeomorfizmu zachowującego orientację. Operacja monoidu jest sumą połączoną . Zapewnione to monoid jest grupa i jest izomorficzny z grupą o h -cobordism klas zorientowanej homotopii n -spheres , który jest określony i abelowa. W wymiarze 4 prawie nic nie wiadomo o monoidzie gładkich sfer, poza faktami, że jest on skończony lub przeliczalnie nieskończony i abelowy, choć podejrzewa się, że jest nieskończony; zobacz sekcję dotyczącą zwrotów Gluck . Wszystkie n -sfery homotopii są homeomorficzne z n -sferą według uogólnionej hipotezy Poincarégo , udowodnionej przez Stephena Smale'a w wymiarach większych niż 4, Michaela Freedmana w wymiarze 4 i Grigori Perelmana w wymiarze 3. W wymiarze 3 Edwin E. Moise udowodnił że każda rozmaitość topologiczna ma zasadniczo unikalną strukturę gładką (patrz twierdzenie Moise'a ), więc monoid struktur gładkich na 3 sferze jest trywialny. ${\displaystyle n\neq 4}$${\ Displaystyle \ Theta _ {n}}$

Rozdzielacze równoległe

Grupa ma podgrupę cykliczną ${\ Displaystyle \ Theta _ {n}}$

${\displaystyle bP_{n+1}}$

reprezentowane przez n- sfer, które wiążą rozmaitości paralelizowalne . Struktury i iloraz ${\displaystyle bP_{n+1}}$

${\ Displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1}}$

są opisane oddzielnie w pracy ( Kervaire i Milnor  1963 ), która miała wpływ na rozwój teorii chirurgii . W rzeczywistości te obliczenia można sformułować we współczesnym języku pod kątem dokładnej sekwencji operacji, jak wskazano tutaj .

Grupa jest grupą cykliczną i jest trywialna lub rzędu 2 z wyjątkiem przypadku , w którym to przypadku może być duża, a jej kolejność jest związana z liczbami Bernoulliego . Jest trywialne, jeśli n jest parzyste. Jeśli n wynosi 1 mod 4, ma porządek 1 lub 2; w szczególności ma rząd 1, jeśli n wynosi 1, 5, 13, 29 lub 61, a William Browder  ( 1969 ) udowodnił, że ma rząd 2, jeśli mod 4 nie ma formy . Z prawie całkowicie rozwiązanego problemu niezmienniczego Kervaire'a wynika, że ​​ma rząd 2 dla wszystkich n większych niż 126; sprawa jest nadal otwarta. Kolejność for to ${\displaystyle bP_{n+1}}$${\displaystyle n=4k+3}$${\displaystyle n=1}$${\ Displaystyle 2 ^ {k} -3}$${\displaystyle n=126}$${\displaystyle bP_{4k}}$${\displaystyle k\geq 2}$

${\ Displaystyle 2 ^ {2k-2} (2 ^ {2k-1}-1) B}$

gdzie B jest licznikiem , i jest liczbą Bernoulliego . (Formuła w literaturze topologicznej różni się nieco, ponieważ topologowie używają innej konwencji nazewnictwa liczb Bernoulliego; w tym artykule zastosowano konwencję teoretyków liczb). ${\ Displaystyle 4B_ {2k}/k}$${\ Displaystyle B_ {2k}}$

Mapa między ilorazami

Grupa ilorazowa ma opis w kategoriach stabilnych grup homotopii sfer modulo obraz J-homomorfizmu ; jest albo równy ilorazowi, albo indeksowi 2. Dokładniej istnieje mapa iniektywna ${\ Displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1}}$

${\ Displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1} \ do \ pi _ {n} ^ {S} / J}$

gdzie jest n- tą stabilną homotopijną grupą sfer, a J jest obrazem J- homomorfizmu. Podobnie jak w przypadku , obraz J jest grupą cykliczną i jest trywialny lub rzędu 2 z wyjątkiem przypadku , w którym to przypadku może być duży, a jego porządek jest związany z liczbami Bernoulliego . Grupa ilorazowa jest „twardą” częścią stabilnych grup homotopii sfer, a zatem jest twardą częścią sfer egzotycznych, ale prawie całkowicie redukuje się do obliczania grup homotopii sfer. Odwzorowanie jest albo izomorfizmem (obrazem jest cała grupa), albo odwzorowaniem injektywnym z indeksem 2. To ostatnie ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje n- wymiarowa rozmaitość obramowana z niezmiennikiem Kervaire'a 1, który jest znany jako Problem niezmienniczy Kervaire'a . Zatem czynnik 2 w klasyfikacji sfer egzotycznych zależy od problemu niezmienniczego Kervaire'a. ${\ Displaystyle \ pi _ {n} ^ {S}}$${\displaystyle bP_{n+1}}$${\displaystyle n=4k+3}$${\ Displaystyle \ pi _ {n} ^ {S} / J}$${\ Displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1}}$

Od 2012 r. problem niezmiennika Kervaire jest prawie całkowicie rozwiązany, a tylko sprawa pozostaje otwarta; zobacz ten artykuł, aby uzyskać szczegółowe informacje. Jest to przede wszystkim praca Browdera (1969) , który dowiódł, że takie rozmaitości istnieją tylko w wymiarze , oraz Hilla, Hopkinsa i Ravenela (2016) , który dowiódł, że nie ma takich rozmaitości dla wymiaru i powyżej. Rozmaitości z niezmiennikiem Kervaire'a 1 zostały skonstruowane w wymiarze 2, 6, 14, 30 i 62, ale wymiar 126 jest otwarty, bez rozgałęzienia ani skonstruowanego, ani obalonego. ${\displaystyle n=126}$${\ Displaystyle n = 2 ^ {j} -2}$${\ Displaystyle 254 = 2 ^ {8} -2}$

Kolejność ${\ Displaystyle \ Theta _ {n}}$

Kolejność grup jest podana w tej tabeli (sekwencja A001676 w OEIS ) z ( Kervaire i Milnor 1963 ) (z wyjątkiem tego, że wpis dla jest błędny o współczynnik 2 w ich pracy; patrz korekta w tomie III s. 97 dzieł zebranych Milnora). ${\ Displaystyle \ Theta _ {n}}$${\displaystyle n=19}$

Dim n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
zamówienie ${\ Displaystyle \ Theta _ {n}}$	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
${\displaystyle bP_{n+1}}$	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
${\ Displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1}}$	1	1	1	1	1	1	1	2	2×2	6	1	1	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
${\ Displaystyle \ pi _ {n} ^ {S} / J}$	1	2	1	1	1	2	1	2	2×2	6	1	1	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
indeks	–	2	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–

Należy pamiętać, że dla DIM , to są , , , i . Dalsze wpisy w tej tabeli można obliczyć na podstawie powyższych informacji wraz z tabelą stabilnych homotopii grup sfer . ${\displaystyle n=4k-1}$${\ Displaystyle \ theta _ {n}}$${\ Displaystyle 28 = 2 ^ {2} (2 ^ {3}-1)}$${\ Displaystyle 992 = 2 ^ {5} (2 ^ {5}-1)}$${\ Displaystyle 16256 = 2 ^ {7} (2 ^ {7}-1)}$${\ Displaystyle 523264 = 2 ^ {10} (2 ^ {9} -1)}$

Obliczając stabilne grupy homotopii sfer, Wang i Xu (2017) udowadniają, że sfera S ⁶¹ ma unikalną strukturę gładką i jest to ostatnia nieparzysta sfera o tej własności – jedyne to S ¹ , S ³ , S ⁵ i S ⁶¹ .

Jawne przykłady sfer egzotycznych

Konstrukcja Milnora

Jednym z pierwszych przykładów egzotycznej sfery znalezionej przez Milnora (1956 , sekcja 3) była następująca. Niech będzie kulą jednostkową w , i niech będzie jej granicą — 3-sferą, którą utożsamiamy z grupą kwaternionów jednostkowych . Teraz weź dwie kopie , każda z borderem , i sklej je razem, identyfikując w pierwszej granicy z drugą granicą. Powstała rozmaitość ma naturalną gładką strukturę i jest homeomorficzna z , ale nie dyfeomorficzna z . Milnor wykazał, że nie jest to granica żadnej gładkiej 8-rozmaitościowej ze znikającą czwartą liczbą Bettiego i nie ma w sobie żadnego dyfeomorfizmu odwracającego orientację; każda z tych właściwości oznacza, że ​​nie jest to standardowa siódemka. Milnor wykazał, że ta rozmaitość ma funkcję Morse'a z zaledwie dwoma punktami krytycznymi , oba niezdegenerowane, co implikuje, że jest topologicznie sferą. ${\ Displaystyle B ^ {4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle S ^ {3}}$${\ Displaystyle B ^ {4} \ razy S ^ {3}}$${\ Displaystyle S ^ {3} \ razy S ^ {3}}$${\ Displaystyle (a, b)}$${\ Displaystyle (a ^ {2} ba ^ {-1})}$${\ Displaystyle S ^ {7}}$${\ Displaystyle S ^ {7}}$

Kule Brieskorna

Jak pokazuje Egbert Brieskorn  ( 1966 , 1966b ) (patrz także ( Hirzebruch i Mayer 1968 )) przecięcie złożonej rozmaitości punktów w spełnianiu ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {3} + e ^ {6 k-1} = 0 \ }$

z małą kulą wokół początku dla daje wszystkie 28 możliwych gładkich struktur na zorientowanej 7-sferze. Podobne rozmaitości nazywane są sferami Brieskorna . ${\ Displaystyle k = 1,2, \ ldots, 28}$

Skręcone kule

Przy danym (zachowującym orientację) dyfeomorfizmie sklejenie ze sobą granic dwóch kopii standardowego dysku za pomocą f daje rozmaitość zwaną skręconą sferą (z skręceniem f ). Jest to homotopia równoważna standardowej n -sferze, ponieważ mapa sklejania jest homotopiczna do tożsamości (będąc dyfeomorfizmem zachowującym orientację, a więc stopniem 1), ale ogólnie nie jest dyfeomorficzna do standardowej sfery. ( Milnor 1959b ) Ustawiając jako grupę skręconych n -kul (pod sumą łączenia), otrzymujemy dokładną sekwencję ${\ Displaystyle f \ dwukropek S ^ {n-1} \ do S ^ {n-1}}$${\ Displaystyle D ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ Gamma _ {n}}$

${\ Displaystyle \ pi _ {0} \ operatorname {różnica} ^ {+} (D ^ {n}) \ do \ pi _ {0} \ operatorname {różnica} ^ {+} (S ^ {n-1} )\do \Gammy _{n}\do 0.}$

Bo każda egzotyczna n- sfera jest dyfeomorficzna do skręconej sfery, co udowodnił Stephen Smale, co można uznać za konsekwencję twierdzenia h- cobordism . (W przeciwieństwie do tego, w ustawieniu odcinkowo-liniowym najbardziej wysunięta na lewo mapa jest na promieniowym przedłużeniu : każda odcinkowo-liniowo-skręcona sfera jest standardem.) Grupa skręconych sfer jest zawsze izomorficzna z grupą . Notacje są różne, ponieważ początkowo nie było wiadomo, że są takie same dla lub 4; na przykład przypadek jest równoznaczny z hipotezą Poincarégo . ${\displaystyle n>5}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {n}}$${\ Displaystyle \ Theta _ {n}}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n=3}$

W 1970 Jean Cerf udowodnił twierdzenie pseudoizotopowe, z którego wynika, że jest to podana grupa trywialna , a więc podana . ${\ Displaystyle \ pi _ {0} \ nazwa operatora {różnica} ^ {+} (D ^ {n})}$${\displaystyle n\geq 6}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {n} \ simeq \ pi _ {0} \ nazwa operatora {różnica} ^ {+} (S ^ {n-1})}$${\displaystyle n\geq 6}$

Aplikacje

Jeśli M jest odcinkową rozmaitością liniową, to problem znalezienia zgodnych struktur gładkich na M zależy od znajomości grup Γ _k = Θ _k . Dokładniej przeszkód na istnienie śliskiej struktury znajduje się w grupach H _{k + 1} ( M , Γ _k ) , dla różnych wartości K , podczas gdy w przypadku tak gładka konstrukcja występuje wówczas wszystkie takie gładkie struktury mogą być klasyfikowane za pomocą grupy H _k ( M , Γ _k ) . W szczególności grupy Γ _k znikają, jeśli k < 7 , więc wszystkie rozmaitości PL o wymiarze co najwyżej 7 mają gładką strukturę, która jest zasadniczo unikalna, jeśli rozmaitość ma wymiar co najwyżej 6.

Następujące skończone grupy abelowe są zasadniczo takie same:

• Θ grupa _n klas h bordyzm zorientowanego homotopii n -spheres.
• Grupa klas h-kobordyzmu zorientowanych n- sfer.
• Grupa Γ _n skręconych zorientowanych n -kul.
• Grupa homotopii π _n (PL/DIFF)
• Jeśli n 3 , grupa homotopii π _n (TOP/DIFF) (jeśli n = 3 ta grupa ma rząd 2; patrz niezmiennik Kirby-Siebenmanna ).
• Grupa gładkich struktur zorientowanej PL n -sfery.
• Jeśli n ≠ 4 , grupa gładkich struktur zorientowanej topologicznej n -sfery.
• Jeśli n ≠ 5 , grupa składowych grupy wszystkich dyfeomorfizmów S ^{n −1} zachowujących orientację .

4-wymiarowe kule egzotyczne i skręty Glucka

W 4 wymiarach nie wiadomo, czy na 4-sferze istnieją jakieś egzotyczne gładkie struktury. Stwierdzenie, że nie istnieją, jest znane jako „gładka hipoteza Poincarégo” i jest omawiane przez Michaela Freedmana , Roberta Gompfa i Scotta Morrisona i in. ( 2010 ), którzy twierdzą, że uważa się je za fałszywe.

Niektórymi kandydatami zaproponowanymi na egzotyczne 4-sfery są sfery Cappella-Shanesona ( Sylvain Cappell i Julius Shaneson  ( 1976 )) oraz te wyprowadzone przez skręty Glucka ( Gluck 1962 ). Kule Glucka Twist są konstruowane przez wycięcie rurowego sąsiedztwa 2-kuli S w S ⁴ i przyklejenie go z powrotem przy użyciu dyfeomorfizmu jej granicy S ² × S ¹ . Wynik jest zawsze homeomorficzny do S ⁴ . Wiele przypadków na przestrzeni lat zostało wykluczonych jako możliwe kontrprzykłady dla gładkiej czterowymiarowej hipotezy Poincarégo. Na przykład Cameron Gordon  ( 1976 ), José Montesinos ( 1983 ), Steven P. Plotnick ( 1984 ), Gompf (1991) , Habiro, Marumoto i Yamada (2000) , Selman Akbulut  ( 2010 ), Gompf (2010) , Kim i Yamada (2017) .

Zobacz też

• Atlas (topologia)
• Konstrukcja sprzęgająca
• Egzotyczne R ⁴
• Teoria Cerf
• Siedmiowymiarowa przestrzeń

Bibliografia

• Akbulut, Selman (2010), „Sfery homotopii Cappella-Shanesona są standardowe”, Annals of Mathematics , 171 (3): 2171-2175, arXiv : 0907.0136 , doi : 10.4007/annals.2010.171.2171 , S2CID  754611
• Brieskorn, Egbert V. (1966), „Przykłady singularnych normalnych przestrzeni zespolonych, które są rozmaitościami topologicznymi”, Proceedings of the National Academy of Sciences , 55 (6): 1395-1397, Bibcode : 1966PNAS...55.1395B , doi : 10.1073/pnas.55.6.1395 , MR  0198497 , PMC  224331 , PMID  16578636
• Brieskorn, Egbert (1966b), „Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten”, wymyślić. Matematyka. , 2 (1): 1–14, Bibcode : 1966InMat...2....1B , doi : 10.1007/BF01403388 , MR  0206972 , S2CID  123268657
• Browder, William (1969), "niezmiennik Kervaire'a w ramkach rozmaitości i jego uogólnienie", Annals of Mathematics , 90 (1): 157-186, doi : 10.2307/1970686 , JSTOR  1970686 , MR  0251736
• Cappell, Sylvain E .; Shaneson, Julius L. (1976), "Niektóre nowe cztery rozmaitości", Annals of Mathematics , 104 (1): 61-72, doi : 10.2307/1971056 , JSTOR  1971056
• Wyzwoleniec, Michael ; Gompfa, Roberta; Morrisona, Scotta; Walker, Kevin (2010), „Człowiek i maszyna myśli o gładkiej 4-wymiarowej hipotezie Poincarégo”, Topologia kwantowa , 1 (2): 171-208, arXiv : 0906.5177 , doi : 10.4171/qt/5 , S2CID  18029746
• Gluck, Herman (1962), „Osadzanie dwóch sfer w czterech sfer”, Transactions of the American Mathematical Society , 104 (2): 308-333, doi : 10.2307/1993581 , JSTOR  1993581 , MR  0146807
• Hughes, Mark; Kim, Seungwon; Miller, Maggie (2018), Skręty Glucka S ⁴ są dyfeomorficzne do S ⁴ , arXiv : 1804.09169v1
• Gompf, Robert E (1991), „Killing the Akbulut-Kirby 4-sphere, w odniesieniu do problemów Andresa-Curtisa i Schoenfliesa”, Topology , 30 : 123-136, doi : 10.1016/0040-9383(91)90036- 4
• Gompf, Robert E (2010), "Więcej sfer Cappella-Shanesona jest standardem", Topologia algebraiczna i geometryczna , 10 (3): 1665-1681, arXiv : 0908.1914 , doi : 10.2140/agt.2010.10.1665 , S2CID  16936498
• Gordon, Cameron McA. (1976), "Węzły w 4-sferze", Commentarii Mathematici Helvetici , 51 : 585-596, doi : 10.1007/BF02568175 , S2CID  119479183
• Habiro, Kazuo; Marumoto, Yoshihiko; Yamada, Yuichi (2000), "Chirurgia Gluck i oprawione linki w 4-rozmaitościach", Seria o węzłach i wszystkim , World Scientific, 24 : 80-93, ISBN 978-9810243401
• Hill, Michael A.; Hopkins, Michael J .; Ravenel, Douglas C. (2016) [Pierwszy opublikowany jako arXiv 2009]. „O nieistnieniu elementów niezmiennika Kervaire”. Roczniki Matematyki . 184 (1): 1-262. arXiv : 0908.3724 . doi : 10.4007/annals.2016.184.1.1 . S2CID  13007483 .
• Hirzebruch, Friedrich; Mayer, Karl Heinz (1968), O(n)-Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und Singularitäten , Notatki z matematyki, 57 , Berlin-Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0074355 , ISBN 978-3-540-04227-3, numer MR  0229251 Książka ta opisuje pracę Brieskorna dotyczącą związku sfer egzotycznych z osobliwościami złożonych rozmaitości.
• Kervaire, Michel A. ; Milnor, John W. (1963). „Grupy sfer homotopii: I” (PDF) . Roczniki Matematyki . 77 (3): 504-537. doi : 10.2307/1970128 . JSTOR  1970128 . MR  0148075 .– Ten artykuł opisuje strukturę grupy gładkich struktur na n -sferze dla n > 4. Niestety, obiecany artykuł "Groups of Homotopy Spheres: II" nigdy się nie ukazał, ale notatki z wykładów Levine'a zawierają materiał, który mógł być powinien zawierać.
• Kim, Min Hoon; Yamada, Shohei (2017), Klasy idealne i homotopia 4-sfery Cappella-Shanesona , arXiv : 1707.03860v1
• Levine, Jerome P. (1985), „Wykłady na grupach sfer homotopii”, Topologia algebraiczna i geometryczna , Uwagi do wykładu z matematyki, 1126 , Berlin-Nowy Jork: Springer-Verlag, s. 62-95, doi : 10.1007/BFb0074439 , ISBN 978-3-540-15235-4, MR  8757031
• Milnor, John W. (1956), "O rozmaitościach homeomorficznych do 7-sfery", Annals of Mathematics , 64 (2): 399-405, doi : 10.2307/1969983 , JSTOR  1969983 , MR  0082103 , S2CID  18780087
• Milnor, John W. (1959), „Sommes de variétés différentiables et structure différentiables des sphères”, Bulletin de la Société Mathématique de France , 87 : 439-444, doi : 10.24033/bsmf.1538 , MR  0117744
• Milnor, John W. (1959b), "Różne struktury na sferach", American Journal of Mathematics , 81 (4): 962-972, doi : 10.2307/2372998 , JSTOR  2372998 , MR  0110107
• Milnor, John (2000), "Klasyfikacja połączonych -wymiarowych rozmaitości i odkrycie egzotycznych sfer", w Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrzej ; Rosenberg, Jonathan (red.), Surveys on Surgery Theory: Tom 1 , Annals of Mathematics Studies 145 , Princeton University Press, s. 25-30, ISBN${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle 2n}$ 9780691049380, MR  1747528.
• Milnor, John Willard (2009), "Pięćdziesiąt lat temu: topologia rozmaitości w latach 50. i 60." (PDF) , w Mrówka, Tomasz S. ; Ozsváth, Peter S. (red.), Topologia niskowymiarowa. Notatki z wykładów 15th Park City Mathematics Institute (PCMI) Graduate Summer School, które odbyły się w Park City, UT, lato 2006. , IAS/Park City Math. Ser., 15 , Providence, RI: American Mathematical Society, s. 9-20, ISBN 978-0-8218-4766-4, MR  2503491
• Milnor, John W. (2011), "Topologia różnicowa czterdzieści sześć lat później" (PDF) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 58 (6): 804-809
• Montesinos, José M. (1983), „O bliźniakach w czterosferze I” (PDF) , The Quarterly Journal of Mathematics , 34 (6): 171-199, doi : 10.1093/qmath/34.2.171
• Plotnick, Steven P (1984), Gordon, Cameron McA. (red.), Włókniste węzły - skręcone, przędzenie, walcowanie, chirurgia i rozgałęzienia${\ Displaystyle S ^ {4}}$ , American Mathematical Society, Contemporary Mathematics tom 35, s. 437-459, ISBN 978-0-8218-5033-6.
• Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (2017), „Trywialność 61-pnia w stabilnych grupach homotopii sfer”, Annals of Mathematics , 186 (2): 501-580, arXiv : 1601.02184 , doi : 10.4007/annals.2017.186.2.3 , MR  3702672 , S2CID  119147703.
• Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], „Sfera Milnor” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press

Zewnętrzne linki

• Egzotyczne sfery na Atlasie Rozmaitości
• Strona domowa sfery egzotycznej na stronie domowej Andrzeja Ranickiego. Różne materiały źródłowe dotyczące egzotycznych sfer.
• Animacja egzotycznych 7-sfer Wideo z prezentacji Nilesa Johnsona na konferencji Second Abel na cześć Johna Milnora .
• Konstrukcja Gluck na atlasie kolektora