-1 - −1

W matematyce , -1 (znany również jako ujemną lub minus jeden ) jest dodatek odwrotny od 1 , to znaczy, że gdy ilość dodana do 1 daje tożsamości dodatek pierwiastka, 0. To ujemne liczbą całkowitą większą niż dwa ujemny ( −2) i mniej niż  0 .

Własności algebraiczne

Pomnożenie liczby przez −1 jest równoznaczne ze zmianą znaku liczby – to znaczy dla dowolnego x mamy (−1) ⋅  x = − x . Można to udowodnić za pomocą prawa dystrybucji i aksjomatu, że 1 jest tożsamością multiplikatywną :

x + (−1) ⋅  x = 1 ⋅  x + (−1) ⋅  x = (1 + (−1)) ⋅  x = 0 ⋅  x = 0 .

Tutaj użyliśmy fakt, że każda liczba x razy 0 jest równa 0, który następuje po odwołaniu z równania

0  x = (0 + 0)  x = 0 ⋅  x + 0 ⋅  x .

0, 1, -1, i i - i w płaszczyźnie zespolonej lub kartezjańskiej

Innymi słowy,

x + (−1) ⋅  x = 0 ,

więc (−1) ⋅  x jest addytywną odwrotnością x , tj. (−1) ⋅  x = − x , jak było pokazane.

Kwadrat -1

Kwadratowy z -1, tj -1 pomnożony przez -1, wynosi 1. W związku z tym, produkt z dwóch liczb ujemnych jest dodatni.

Aby uzyskać algebraiczny dowód tego wyniku, zacznij od równania

0 = -1 ⋅ 0 = -1 ⋅ [1 + (−1)] .

Pierwsza równość wynika z powyższego wyniku, a druga wynika z definicji -1 jako addytywnej odwrotności 1: jest to dokładnie ta liczba, która po dodaniu do 1 daje 0. Teraz, używając prawa rozdzielności, widzimy, że

0 = -1 ⋅ [1 + (−1)] = -1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = -1 + (−1) ⋅ (−1) .

Trzecia równość wynika z faktu, że 1 jest tożsamością multiplikatywną. Ale teraz dodanie 1 do obu stron tego ostatniego równania implikuje

(-1) ⋅ (-1) = 1 .

Powyższe argumenty trzymają się w dowolnym pierścieniu koncepcji algebry abstrakcyjnej uogólniającej liczby całkowite i liczby rzeczywiste .

Pierwiastki kwadratowe z -1

Chociaż nie ma rzeczywistych pierwiastków kwadratowych z -1, liczba zespolona i spełnia i ² = -1 , i jako taka może być uważana za pierwiastek kwadratowy z -1. Jedyną inną liczbą zespoloną, której kwadrat wynosi −1 jest −i, ponieważ istnieją dokładnie dwa pierwiastki kwadratowe dowolnej niezerowej liczby zespolonej, co wynika z podstawowego twierdzenia algebry . W algebrze kwaternionów – gdzie podstawowe twierdzenie nie ma zastosowania – zawierającej liczby zespolone, równanie x ² = −1 ma nieskończenie wiele rozwiązań .

Potęgowanie do ujemnych liczb całkowitych

Potęgowanie niezerowej liczby rzeczywistej można rozszerzyć na ujemne liczby całkowite . Tworzymy definicję, że x ⁻¹ = 1/x, co oznacza, że ​​definiujemy podniesienie liczby do potęgi −1 tak, aby miało taki sam efekt, jak przyjęcie jej odwrotności . Definicja ta jest następnie rozszerzona na ujemne liczby całkowite, zachowując prawo wykładnicze x ^a x ^b = x ^{( a + b )} dla liczb rzeczywistych a i b .

Potęgowanie ujemnych liczb całkowitych można rozszerzyć na odwracalne elementy pierścienia, definiując x- ¹ jako odwrotność multiplikatywną x .

-1, który pojawia się jako indeks górny funkcji, nie oznacza przyjęcia (punktowej) odwrotności tej funkcji, ale raczej odwrotną funkcję funkcji. Na przykład, sin ^-1 ( x ) jest zapis na arcsin funkcji i na ogół f ^-1 ( x ) oznacza funkcję odwrotną f ( x ) ,. Gdy podzbiór kodomeny jest określony w funkcji, zamiast tego oznacza obraz wstępny tego podzbioru pod funkcją.

Zastosowania

• W rozwoju oprogramowania , -1 jest powszechną wartością początkową liczb całkowitych i jest również używane do pokazania , że zmienna nie zawiera użytecznych informacji .
• -1 ma związek z tożsamością Eulera, ponieważ e ^iπ = -1 .

Zobacz też

• Zrównoważony trójskładnikowy
• Twierdzenie Menelaosa

Bibliografia