Test porównawczy limitów - Limit comparison test

Część serii artykułów o
Rachunek różniczkowy
Twierdzenie podstawowe integralna reguła Leibniza Granice funkcji Ciągłość Twierdzenie o wartości średniej Twierdzenie Rolle'a
Mechanizm różnicowy Definicje Pochodna  ( uogólnienia ) Mechanizm różnicowy nieskończenie mały funkcji całkowity Koncepcje Notacja różniczkowa Druga pochodna Niejawne zróżnicowanie Różnicowanie logarytmiczne Powiązane stawki Twierdzenie Taylora Zasady i tożsamości Suma Produkt Łańcuch Moc Iloraz Zasada L'Hôpital Odwrotność Generał Leibniz Formuła Faà di Bruno
Całka Listy całek Transformacja całkowa Definicje Pochodna pierwotna Całka  ( niewłaściwa ) Całka Riemanna Integracja Lebesgue'a Integracja konturu Całka funkcji odwrotnych Integracja przez Części Dyski Cylindryczne muszle Podstawienie  ( trygonometryczne , Weierstrassa , Eulera ) Wzór Eulera Frakcje częściowe Zmiana kolejności Formuły redukcyjne Różniczkowanie pod znakiem całkowym Algorytm Richa
Seria Geometryczny  ( arytmetyczno-geometryczny ) Harmoniczny Zmienny Moc Dwumianowy Taylor Testy konwergencji Limit sumy (test terminowy) Stosunek Źródło Całka Bezpośrednie porównanie Porównanie limitów Seria naprzemienna Kondensacja Cauchy'ego Dirichlet Abel
Wektor Gradient Rozbieżność Kędzior Laplace'a Kierunkowa pochodna Tożsamości Twierdzenia Gradient Warzywa Stokesa Rozbieżność uogólniony Stokes
Wiele zmiennych Formalizmy Matryca Napinacz Zewnętrzny Geometryczny Definicje Częściowa pochodna Wielokrotna całka Całka liniowa Całka powierzchniowa Całka objętości Jakobian heski
Specjalistyczne Frakcyjny Maliavin Stochastyczny Wariacje
Różnorodny Wstępny rachunek różniczkowy Historia Słowniczek Lista tematów Pszczoła integracyjna Analiza
v T mi

W matematyce The test porównawczy graniczna (LCT) (w przeciwieństwie do powiązanego testu bezpośredniego porównania ) to metoda badania zbieżności w nieskończonej serii .

Oświadczenie

Załóżmy, że mamy dwie serie i ze dla wszystkich . ${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ Displaystyle a_ {n} \ geq 0,b_ {n}> 0}$${\ Displaystyle n}$

Następnie, jeśli z , to albo obie serie są zbieżne, albo obie serie są rozbieżne. ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\displaystyle 0<c<\infty}$

Dowód

Ponieważ wiemy, że dla każdego istnieje dodatnia liczba całkowita taka, że ​​dla wszystkich mamy to lub równoważnie ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {a_ {n}} {b_ {n}}}-c \ prawo | < \ varepsilon}$

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon}$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon}$

${\ Displaystyle (c- \ varepsilon) b_ {n} <a_ {n} < (c + \ varepsilon) b_ {n}}$

Ponieważ możemy wybrać, aby być wystarczająco małym, to jest pozytywne. Tak iw teście bezpośredniego porównania , jeśli jest zbieżny , to tak się dzieje . ${\displaystyle c>0}$${\displaystyle \varepsilon}$${\displaystyle c-\varepsilon}$${\displaystyle b_{n}<{\frac{1}{c-\varepsilon}}a_{n}}$${\ Displaystyle \ suma _ {n} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ suma _ {n} b_ {n}}$

Podobnie , więc jeśli rozbieżne, ponownie w teście bezpośredniego porównania, tak samo . ${\ Displaystyle a_ {n} < (c + \ varepsilon) b_ {n}}$${\ Displaystyle \ suma _ {n} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ suma _ {n} b_ {n}}$

Oznacza to, że obie serie są zbieżne lub obie serie są rozbieżne.

Przykład

Chcemy określić, czy szereg jest zbieżny. W tym celu porównujemy z szeregiem zbieżnym . ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2} + 2n}}}$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2}}} = {\ Frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

Jak wiemy, oryginalna seria również się zbiega. ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2} + 2 n}} {\ Frac {n ^ {2}} {1}} = 1> 0}$

Wersja jednostronna

Jednostronny test porównawczy można określić za pomocą limitu superior . Niech dla wszystkich . Wtedy jeśli z i zbiega się, koniecznie zbiega się. ${\ Displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Limsup _ {n \ do \ infty} {\ Frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\displaystyle 0\leq c<\infty}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$

Przykład

Niech i dla wszystkich liczb naturalnych . Teraz nie istnieje, więc nie możemy zastosować standardowego testu porównawczego. Jednak i ponieważ są zbieżne, jednostronny test porównawczy implikuje, że jest zbieżny. ${\ Displaystyle a_ {n} = {\ Frac {1-(-1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$${\ Displaystyle b_ {n} = {\ Frac {1} {n ^ {2}}}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ lim _ {n \ do \ infty} (1-(-1) ^ {n })}$${\ Displaystyle \ Limsup _ {n \ do \ infty} {\ Frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ Limsup _ {n \ do \ infty} (1-(-1) ^ {n })=2\w [0,\infty )}$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2}}}}$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1-(-1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$

Odwrotność jednostronnego testu porównawczego

Niech dla wszystkich . Jeśli się rozbiega i zbiega, to koniecznie , czyli . Zasadniczą treścią tutaj jest to, że w pewnym sensie liczby są większe niż liczby . ${\ Displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ Displaystyle \ Limsup _ {n \ do \ infty} {\ Frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ infty}$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} {\ Frac {b_ {n}} {a_ {n}}} = 0}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$

Przykład

Niech być analityczny w dysku jednostki i mieć obraz skończonego obszaru. Według wzoru Parsevala obszar obrazu to . Co więcej, rozbieżne. Dlatego w odwrotności testu porównawczego mamy , czyli . ${\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}$${\ Displaystyle D = \ {z \ w \ mathbb {C}: | z | <1 \}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} n | a_ {n} | ^ {2}}$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / n}$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} {\ Frac {n | a_ {n} | ^ {2}} {1/n}} = \ liminf _ {n \ do \ infty} (n | a_ {n}|)^{2}=0}$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} n | a_ {n} | = 0}$

Zobacz też

• Testy konwergencji
• Test bezpośredniego porównania

Bibliografia

Dalsza lektura

• Rinaldo B. Schinazi: Od rachunku do analizy . Springer, 2011, ISBN  9780817682897 , s. 50
• Michele Longo i Vincenzo Valori: Test porównawczy: nie tylko dla serii nieujemnych . Magazyn Matematyka, tom. 79, nr 3 (czerwiec 2006), s. 205–210 ( JSTOR )
• J. Marshall Ash: Test porównania limitów wymaga pozytywnego nastawienia . Magazyn Matematyka, tom. 85, nr 5 (grudzień 2012), s. 374-375 ( JSTOR )

Linki zewnętrzne

• Pauls Online Uwagi dotyczące testu porównawczego