Integracja z powłoką - Shell integration

Objętość jest aproksymowana przez zbiór pustych cylindrów. Gdy ścianki cylindra stają się cieńsze, przybliżenie staje się lepsze. Granicą tego przybliżenia jest całka powłoki.

Integracja powłoki (The sposób powłoki w całkowego ) jest sposób obliczania w objętości od a bryły obrotowej , przy integrowaniu wzdłuż osi prostopadłej do osi obrotu. Jest to przeciwieństwo integracji dysku, która integruje się wzdłuż osi równoległej do osi obrotu.

Definicja

Metoda powłoki wygląda następująco: Rozważ objętość w trzech wymiarach otrzymaną przez obrót przekroju w płaszczyźnie xy wokół osi y . Załóżmy, że przekrój jest określony przez wykres funkcji dodatniej f ( x ) na przedziale [ a , b ] . Wtedy wzór na objętość będzie wyglądał następująco:

${\ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} xf (x) \ dx}$

Jeżeli funkcja ma współrzędną y, a oś obrotu jest osią x, to wzór ma postać:

${\ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} yf (y) \ dy}$

Jeśli funkcja obraca się wokół linii x = h, formuła staje się:

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} \ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (xh) f (x) \ dx i {\ tekst {jeśli}} \ h \ leq a<b \\\ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (hx) f (x) \ dx i {\ tekst {jeśli}} \ a<b \ leq h \ end {przypadki}} }$

a dla obrotów wokół y = k staje się

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} \ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (yk) f (y) \ dy i {\ tekst {jeśli}} \ k \ leq a<b \\\ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (ky) f (y) \ dy i {\ tekst {jeśli}} \ a<b \ leq k. \ koniec {przypadki}} }$

Wzór jest wyprowadzany przez obliczenie całki podwójnej we współrzędnych biegunowych .

Przykład

Rozważmy objętość pokazaną poniżej, której przekrój na przedziale [1, 2] jest określony wzorem:

${\ Displaystyle y = (x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}}$

Przekrój

Objętość 3D

W przypadku całkowania dysku musielibyśmy obliczyć x przy danym y, a ponieważ objętość jest pusta w środku, znaleźlibyśmy dwie funkcje, jedną definiującą bryłę wewnętrzną i drugą definiującą bryłę zewnętrzną. Po zintegrowaniu tych dwóch funkcji z metodą dyskową odjęlibyśmy je, aby uzyskać pożądaną objętość.

Przy metodzie powłoki potrzebujemy tylko następującej formuły:

${\ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {1} ^ {2} x ((x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}) \ dx}$

Rozszerzając wielomian, całka staje się bardzo prosta. W końcu stwierdzamy, że objętość wynosiπ/10 jednostki sześcienne.

Zobacz też

• Solidna rewolucja
• Integracja płyt

Bibliografia

• Weisstein, Eric W. „Metoda muszli” . MatematykaŚwiat .
• Frank Ayres , Elliott Mendelson . Zarysy Schauma : Rachunek . McGraw-Hill Professional 2008, ISBN  978-0-07-150861-2 . s. 244–248 ( kopia internetowa , s. 244, w Google Books )