Test korzeni - Root test

Część serii artykułów na temat
Rachunek różniczkowy
Podstawowe twierdzenie Reguła całkowa Leibniza Granice funkcji Ciągłość Twierdzenie o wartości średniej Twierdzenie Rolle'a
Mechanizm różnicowy Definicje Pochodna  ( uogólnienia ) Mechanizm różnicowy nieskończenie mały funkcji całkowity Koncepcje Notacja różniczkowa Druga pochodna Ukryte różnicowanie Różniczkowanie logarytmiczne Powiązane stawki Twierdzenie Taylora Zasady i tożsamości Suma Produkt Łańcuch Moc Iloraz Reguła L'Hôpital Odwrotność Generał Leibniz Wzór Faà di Bruno
Całka Wykazy całek Transformacja całkowa Definicje Funkcja pierwotna Całkowe  ( niewłaściwe ) Całka Riemanna Integracja Lebesgue'a Integracja konturowa Całka funkcji odwrotnych Integracja przez Części Dyski Cylindryczne muszle Podstawienie  ( trygonometryczne , Weierstrassa , Eulera ) Wzór Eulera Frakcje częściowe Zmiana kolejności Formuły redukcyjne Różniczkowanie pod znakiem całki Algorytm Rischa
Seria Geometryczny  ( arytmetyczno-geometryczny ) Harmoniczny Zmienny Moc Dwumianowy Taylor Testy konwergencji Limit szczytowy (test semestralny) Stosunek Korzeń Całka Bezpośrednie porównanie Porównanie limitów Serie naprzemienne Kondensacja Cauchy'ego Dirichlet Abel
Wektor Gradient Rozbieżność Kędzior Laplacian Kierunkowa pochodna Tożsamości Twierdzenia Gradient Warzywa Stokes ' Rozbieżność uogólniony Stokes
Wiele zmiennych Formalizmy Matryca Napinacz Zewnętrzny Geometryczny Definicje Pochodna częściowa Całka wielokrotna Całka liniowa Całka powierzchniowa Całka objętościowa Jakobian heski
Specjalistyczny Frakcyjny Malliavin Stochastyczny Wariacje
Różne Precalculus Historia Słownik Lista tematów Pszczoła integracji
v t mi

W matematyce The badanie korzeni jest kryterium zbieżności (A testu zbieżności ) o o nieskończonej serii . To zależy od ilości

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

gdzie są warunki szeregu i stwierdza, że ​​szereg jest zbieżny absolutnie, jeśli ta ilość jest mniejsza niż jeden, ale różni się, jeśli jest większa niż jeden. Jest to szczególnie przydatne w połączeniu z szeregami potęg . ${\ displaystyle a_ {n}}$

Wyjaśnienie testu root

Test korzeni został opracowany jako pierwszy przez Augustina-Louisa Cauchy'ego, który opublikował go w swoim podręczniku Cours d'analyse (1821). Dlatego jest czasami nazywany testem korzenia Cauchy'ego lub testem radykalnym Cauchy'ego . Do serii

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$

test root używa liczby

${\ displaystyle C = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

gdzie „lim sup” oznacza górną granicę , prawdopodobnie ∞ +. Zauważ, że jeśli

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

jest zbieżny, to jest równy C i może być zamiast tego użyty w teście roota.

Test root stwierdza, że:

• jeśli C <1, to szereg jest zbieżny absolutnie ,
• jeśli C > 1, to szereg jest rozbieżny ,
• jeśli C = 1 i granica zbliża się ściśle od góry, to szereg rozbiega się,
• w przeciwnym razie test jest niejednoznaczny (szereg może się różnić, zbiegać się absolutnie lub zbiegać się warunkowo ).

Są takie szeregi, dla których C = 1 i szereg jest zbieżny, np. I są inne, dla których C = 1 i szereg jest rozbieżny, np . ${\ displaystyle \ textstyle \ sum 1 / {n ^ {2}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ suma 1 / n}$

Zastosowanie do serii potęg

Ten test może być używany z serią potęgową

${\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (zp) ^ {n}}$

gdzie współczynniki c _n i centrum p są liczbami zespolonymi, a argument z jest zmienną zespoloną.

Wyrazy tego szeregu byłyby wówczas podane przez a _n = c _n ( z - p ) ⁿ . Następnie stosuje się test pierwiastka do a _n jak powyżej. Zauważ, że czasami taki szereg nazywany jest szeregiem potęg "wokół p ", ponieważ promień zbieżności jest promieniem R największego przedziału lub dysku wyśrodkowanego przy p, tak że szereg będzie zbieżny dla wszystkich punktów z ściśle we wnętrzu ( zbieżność na granicy przedziału lub tarczy generalnie musi być sprawdzana osobno). Następstwo testu korzeniowego stosowane do takiej serii potęgą jest twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda : promień zbieżności jest dokładnie uważając, że naprawdę oznacza ∞ jeśli mianownik jest 0. ${\ displaystyle 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

Dowód

Dowodem zbieżności szeregu Σ a _n jest zastosowanie testu porównawczego . Jeśli dla wszystkich n ≥ N ( N pewna stała liczba naturalna ) mamy wtedy . Ponieważ szereg geometryczny jest zbieżny, to wynika z testu porównawczego. Stąd Σ a _n zbiega się absolutnie. ${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ równoważnik k <1,}$${\ Displaystyle | a_ {n} | \ równoważnik k ^ {n} <1}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} k ^ {n}}$${\ Displaystyle \ suma _ {n = N} ^ {\ infty} | a_ {n} |}$

Jeśli dla nieskończenie wielu n , a następnie _n nie zbiegać się do 0 ° C, tym samym cykl jest rozbieżny. ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}}> 1}$

Dowód wniosku : Dla szeregu potęgowego Σ a _n = Σ c _n ( z  -  p ) ⁿ , widzimy z powyższego, że szereg jest zbieżny, jeśli istnieje N takie, że dla wszystkich n ≥ N mamy

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n} |}} <1,}$

równoważny

${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} \ cdot | zp | <1}$

dla wszystkich n ≥ N , co oznacza, że ​​aby szereg był zbieżny, musimy mieć dla wszystkich wystarczająco duże n . To jest równoznaczne z powiedzeniem ${\ displaystyle | zp | <1 / {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}}$

${\ displaystyle | zp | <1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

Więc teraz jedyne inne miejsce, w którym możliwa jest zbieżność, to kiedy ${\ Displaystyle R \ równoważnik 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$

${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n} |}} = 1,}$

(ponieważ punkty> 1 będą się rozchodzić) i nie zmieni to promienia zbieżności, ponieważ są to tylko punkty leżące na granicy przedziału lub dysku, więc

${\ Displaystyle R = 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$

Przykłady

Przykład 1:

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {2 ^ {i}} {i ^ {9}}}}$

Zastosowanie testu roota i wykorzystanie faktu, że ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} n ^ {1 / n} = 1,}$

${\ Displaystyle C = {\ sqrt [{n}] {| {\ Frac {2 ^ {n}} {n ^ {9}}} |}} = {\ Frac {\ sqrt [{n}] {2 ^ {n}}} {\ sqrt [{n}] {n ^ {9}}}} = {\ frac {2} {(n ^ {1 / n}) ^ {9}}} = 2}$

Ponieważ seria się rozbiega. ${\ displaystyle C = 2> 1,}$

Przykład 2:

${\ Displaystyle 1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ...}$

Test root pokazuje zbieżność, ponieważ

${\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = \ limsup _ {n \ do \ infty} {\ sqrt [{n} ] {| .5 ^ {n} |}} =. 5 <1.}$

Ten przykład pokazuje, że test pierwiastka jest silniejszy niż test współczynnika . Test współczynnika nie jest rozstrzygający dla tej serii, jeśli jest nieparzysty, więc (choć nie jest parzysty), ponieważ ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle a_ {n} = a_ {n + 1} =. 5 ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle r = \ lim _ {n \ do \ infty} \ lewo | {\ Frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ prawo | = \ lim _ {n \ do \ infty} \ left | {\ frac {2 \ cdot .5 ^ {n}} {2 \ cdot .5 ^ {n}}} \ right | = 1.}$

Zobacz też

• Test współczynnika
• Szeregi zbieżne

Bibliografia

• Knopp, Konrad (1956). „§ 3.2”. Nieskończone sekwencje i serie . Dover publications, Inc., Nowy Jork. ISBN   0-486-60153-6 .
• Whittaker, ET i Watson, GN (1963). „§ 2.35”. Kurs nowoczesnej analizy (wyd. Czwarte). Cambridge University Press. ISBN   0-521-58807-3 .

Ten artykuł zawiera materiał z testu głównego Proof of Cauchy'ego na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution / Share-Alike License .